(共53张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件.
3.理解随机变量之间的关系，会求简单的离散型随机变量的概率.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 随机变量的概念
概念
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的
，就称X为一个随机变量
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示
取值
随机变量的取值由随机试验的
决定
取值范围
随机变量
组成的集合，称为这个随机变量的取值范围
实数值
结果
所有可能的取值
分类
离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列举出来
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来
思考 随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的？
答案 随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.
知识点二 随机变量与事件的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b
；
(2)事件X≤a与X>a
，
因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
互斥
相互对立
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量.由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝
.
P(Y＝at＋b)
1.随机变量的取值只能是有限个.(
)
2.试验之前不能判断离散型随机变量的所有值.(
)
3.随机变量是用来表示不同试验结果的量.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、随机变量的概念及分类
解 某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
解 某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
解 2021年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(4)一瓶果汁的容量为500±2
mL.
解 由于果汁的容量在498
mL～502
mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.
反思感悟
(1)判断离散型随机变量的方法
①明确随机试验的所有可能结果.
②将随机试验的结果数量化.
③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
(2)从具体实例入手，抽象出离散型随机变量的概念，体现了数学抽象的数学核心素养.
解 只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
跟踪训练1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
解 从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
解 林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.
解 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
二、随机变量的取值及其表示的事件
例2 (1)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示，已知P(ξ＝0)＝0.3，则P(ξ＝1)＝______.
解析 ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标，这两个事件是对立的，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.7.
0.7
(2)某人参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复设奖)，用X表示此人所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的事件.
解 X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1
000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3
000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6
000，表示三关都通过.
反思感悟
随机变量的取值及表示的事件问题的关注点
(1)关键：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意：解答过程中不要漏掉某些试验结果.
(3)公式：互斥事件与对立事件的概率公式.
跟踪训练2
盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件；
解
X可能取的值为0,1,2,3.
解 X＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品.
(3)求X＝1的概率.
三、随机变量之间的关系
例3 已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概率如下表，则a＋2b等于
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 由表知，P(X＝1)＝P(Y＝4)，所以a＋b＝4，
①
P(X＝2)＝P(Y＝7)，所以2a＋b＝7，
②
由①②得，a＝3，b＝1，所以a＋2b＝5.
X
1
2
P(X)
0.4
0.6
Y＝aX＋b
4
7
P(Y)
0.4
0.6
√
反思感悟
两个随机变量关系问题中的两个结论
(1)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是随机变量.
(2)P(X＝t)＝P(Y＝at＋b).
跟踪训练3
把下表补充完整
表一
?
表二
X
2
4
P(X)
?
0.7
Y＝2X－3
1
5
P(Y)
0.3
?
0.3
0.7
解析 因为当X＝2时，Y＝2X－3＝1，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)＝0.3；
因为当X＝4时，Y＝2X－3＝5，
所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.7.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它的取值有
A.2个
B.4个
C.6个
D.7个
√
解析 因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，
故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个.
2.如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C.可能是定值
D.一定是离散型随机变量
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√
解析 若X是离散型随机变量，根据随机变量之间的关系，则Y必是离散型随机变量.
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3.(多选)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件可能是
A.一枚是3点，一枚是1点
B.两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.一枚是4点，一枚是1点
√
解析 ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点.
√
4.已知随机变量X的取值范围是{－1,0,1}，且Y＝X－1，则Y的取值范围是___________.
1
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5
{－2，－1,0}
解析 因为随机变量X的取值范围是{－1,0,1}，且Y＝X－1，
所以－1－1＝－2,0－1＝－1,1－1＝0，所以Y的取值范围是{－2，－1,0}.
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5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的事件的样本点是______________________________.
(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
1.知识清单：
(1)随机变量的概念及分类.
(2)随机变量的取值与表示的事件.
(3)随机变量之间的关系.
2.方法归纳：列举法、转化法.
3.常见误区：对随机变量与离散型随机变量的概念理解错误.
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是
A.某座大桥一天经过的车辆数X
B.某超市5月份每天的销售额
C.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
D.长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ
基础巩固
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√
√
2.已知随机变量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，则P(Y＝2)等于
A.0.1
B.0.2
C.0.4
D.无法确定
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√
解析 因为随机变量Y＝2X，当X＝1时，Y＝2，
所以P(Y＝2)＝P(X＝1)＝0.1.
3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示事件是
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
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√
解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标.
4.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有
A.10个
B.15个
C.17个
D.19个
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√
解析 X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个.
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5.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率
√
解析 A中取到产品的件数是一个常量，不是变量；
B，D也是一个定值.
而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.
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6.掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X，则P(X>4)＝_______.
解析 事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，
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7.已知P(X＝－2)＝0.2，P(X＝2)＝0.3，随机变量Y＝X2，则P(Y＝4)＝______.
0.5
解析 由题意，事件Y＝4是X＝－2与X＝2的并事件，
所以P(Y＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.
8.一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X，则“X＝6”表示的事件为______________________.
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第6次能打开房门
解析 X可能取值为1,2,3，…，10.
X＝n表示第n次能打开房门.
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9.在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得0分，设一名同学回答这三个问题的总得分为X.
(1)求X的取值范围；
解 这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分.
X的取值范围是{300,200,100,0}.
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(2)若已知这名同学不得分的概率为0.06，能得满分的概率为0.43，求不得0分与不得满分的概率.
解 因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分”，所以X＝0与X>0是对立事件，X＝300与X<300是对立事件，
又P(X＝0)＝0.06，P(X＝300)＝0.43，
所以P(X>0)＝1－P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；
P(X<300)＝
1－P(X＝300)＝1－0.43＝0.57.
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10.一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，抽到白球的个数为X，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的取值范围；
解 由题意得，X可能的取值为0,1,2,3，所以X的取值范围是{0,1,2,3}.
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(2)求最终得分Y的可能取值；
解 由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，
所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
即Y的可能取值为6,11,16,21.显然，Y为离散型随机变量.
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解 因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
综合运用
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√
解析 因为1次试验的成功次数为0或1，故X可能取值有两种，即0,1.
12.在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.则X的取值范围为____________.
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{0,1,2,3}
解析 因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤X≤3，
所以X的取值范围为{0,1,2,3}.
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13.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，则ξ＝6表示的试验结果有______种.
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14.甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围为________；若已知甲一次也未中的概率为0.05，则他至少击中一次的概率为______.
0.95
解析 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次，
故ξ的可能取值为0,1,2,3.
因为一次也未中的概率为0.05，即P(ξ＝0)＝0.05，
所以P(ξ>0)＝1－0.05＝0.95.
{0,1,2,3}
15.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能取值有______个.
拓广探究
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16.投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.
(1)求P(X＝6)；
解 样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6),
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6),
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6),
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点，所得点数之和为X，则X的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
“X＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，
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(2)求P(Y＝6).
解 所得点数和为偶数的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6),
(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，共18个样本点，所得点数之和是偶数为Y，则Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12}，
“Y＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，§4.2 随机变量
4．2.1 随机变量及其与事件的联系
学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其表示的事件.3.理解随机变量之间的关系，会求简单的离散型随机变量的概率．
知识点一 随机变量的概念
概念
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示
取值
随机变量的取值由随机试验的结果决定
取值范围
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围
分类
离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列举出来
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来
思考 随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的？
答案 随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．
知识点二 随机变量与事件的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，
因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
1．随机变量的取值只能是有限个．( × )
2．试验之前不能判断离散型随机变量的所有值．( × )
3．随机变量是用来表示不同试验结果的量．( √ )
一、随机变量的概念及分类
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)2021年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2
mL.
解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)2021年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(4)由于果汁的容量在498
mL～502
mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
反思感悟 (1)判断离散型随机变量的方法
①明确随机试验的所有可能结果．
②将随机试验的结果数量化．
③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
(2)从具体实例入手，抽象出离散型随机变量的概念，体现了数学抽象的数学核心素养．
跟踪训练1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解 (1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
二、随机变量的取值及其表示的事件
例2 (1)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示，已知P(ξ＝0)＝0.3，，则P(ξ＝1)＝________.
答案 0.7
解析 ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标，这两个事件是对立的，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.7.
(2)某人参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复设奖)，用X表示此人所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的事件．
解 X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1
000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3
000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6
000，表示三关都通过．
反思感悟 随机变量的取值及表示的事件问题的关注点
(1)关键：明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
(3)公式：互斥事件与对立事件的概率公式．
跟踪训练2 盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件；
(3)求X＝1的概率．
解 (1)X可能取的值为0,1,2,3.
(2)X＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品．
(3)P(X＝1)＝＝.
三、随机变量之间的关系
例3 已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概率如下表，则a＋2b等于( )
X
1
2
P(X)
0.4
0.6
Y＝aX＋b
4
7
P(Y)
0.4
0.6
A.3
B．4
C．5
D．6
答案 C
解析 由表知，P(X＝1)＝P(Y＝4)，所以a＋b＝4，①
P(X＝2)＝P(Y＝7)，所以2a＋b＝7，②
由①②得，a＝3，b＝1，所以a＋2b＝5.
反思感悟 两个随机变量关系问题中的两个结论
(1)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是随机变量．
(2)P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
跟踪训练3 把下表补充完整
表一
X
2
4
P(X)
0.7
表二
Y＝2X－3
1
5
P(Y)
0.3
答案 0.3 0.7
解析 因为当X＝2时，Y＝2X－3＝1，所以P(X＝2)＝
P(Y＝1)＝0.3；因为当X＝4时，Y＝2X－3＝5，
所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.7.
1．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它的取值有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．7个
答案 C
解析 因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
2．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
答案 D
解析 若X是离散型随机变量，根据随机变量之间的关系，则Y必是离散型随机变量．
3．(多选)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件可能是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是4点，一枚是1点
答案 AB
解析 ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
4．已知随机变量X的取值范围是{－1,0,1}，且Y＝X－1，则Y的取值范围是________．
答案 {－2，－1,0}
解析 因为随机变量X的取值范围是{－1,0,1}，且Y＝X－1，所以－1－1＝－2,0－1＝－1,1－1＝0，所以Y的取值范围是{－2，－1,0}．
5．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的事件的样本点是__________________．
答案 (1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)
1．知识清单：
(1)随机变量的概念及分类．
(2)随机变量的取值与表示的事件．
(3)随机变量之间的关系．
2．方法归纳：列举法、转化法．
3．常见误区：对随机变量与离散型随机变量的概念理解错误．
1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A．某座大桥一天经过的车辆数X
B．某超市5月份每天的销售额
C．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
D．长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ
答案 AB
2．已知随机变量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，则P(Y＝2)等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.4
D．无法确定
答案 A
解析 因为随机变量Y＝2X，当X＝1时，Y＝2，所以P(Y＝2)＝
P(X＝1)＝0.1.
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示事件是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
答案 C
解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标．
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )
A．10个
B．15个
C．17个
D．19个
答案 C
解析 X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．
5．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
答案 C
解析 A中取到产品的件数是一个常量，不是变量；B，D也是一个定值．而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
6．掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X，则P(X>4)＝________.
答案
解析 事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，所以P(X>4)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＝.
7．已知P(X＝－2)＝0.2，P(X＝2)＝0.3，随机变量Y＝X2，则P(Y＝4)＝________.
答案 0.5
解析 由题意，事件Y＝4是X＝－2与X＝2的并事件，所以P(Y＝4)＝
P(X＝－2)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.
8．一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X，则“X＝6”表示的事件为________．
答案 第6次能打开房门
解析 X可能取值为1,2,3，…，10.
X＝n表示第n次能打开房门．
9．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得0分，设一名同学回答这三个问题的总得分为X.
(1)求X的取值范围；
(2)若已知这名同学不得分的概率为0.06，能得满分的概率为0.43，求不得0分与不得满分的概率．
解 这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分．
(1)X的取值范围是{300,200,100,0}．
(2)因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分”，所以X＝0与X>0是对立事件，X＝300与X<300是对立事件，
又P(X＝0)＝0.06，P(X＝300)＝0.43，
所以P(X>0)＝1－
P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；
P(X<300)＝
1－P(X＝300)＝1－0.43＝0.57.
10．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，抽到白球的个数为X，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的取值范围；
(2)求最终得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)．
解 (1)由题意得，X可能的取值为0,1,2,3，所以X的取值范围是{0,1,2,3}．
(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0,1,2,3，所以Y对应的值为5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.即Y的可能取值为6,11,16,21.显然，Y为离散型随机变量．
(3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
所以P(Y>16)＝P(X>2)＝，
所以P(Y≤16)＝1－
P(Y>16)＝1－＝.
11．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)的值是( )
A．0
B.
C.
D．1
答案 C
解析 因为1次试验的成功次数为0或1，故X可能取值有两种，即0,1.又“成功率是失败率的2倍”，所以P(X＝1)＝.
12．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.则X的取值范围为________．
答案 {0,1,2,3}
解析 因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤X≤3，
所以X的取值范围为{0,1,2,3}．
13．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则ξ＝6表示的试验结果有________种．
答案 20
解析 ξ＝6表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20(种)．
14．甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围为________；若已知甲一次也未中的概率为0.05，则他至少击中一次的概率为________．
答案 {0,1,2,3}
0.95
解析 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次，故ξ的可能取值为0,1,2,3.因为一次也未中的概率为0.05，即P(ξ＝0)＝0.05，所以P(ξ>0)＝1－0.05＝0.95.
15．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能取值有________个．
答案 24
解析 后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
16．投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.
(1)求P(X＝6)；
(2)求P(Y＝6)．
解 样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6),
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6),
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6),
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点，所得点数之和为X，则X的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(1)“X＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，所以P(X＝6)＝.
(2)所得点数和为偶数的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6),
(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，共18个样本点，所得点数之和是偶数为Y，则Y的取值范围是{2,4,6,8,10,12}，
“Y＝6”表示的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，所以P(Y＝6)＝.
