4．2.2 离散型随机变量的分布列
学习目标 1.理解离散型随机变量的分布列的概念与性质.2.会求简单的离散型随机变量的分布列.3.理解两点分布的定义，并能简单的运用．
知识点一 离散型随机变量的分布列
1．定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
此表称为X的概率分布或分布列．
2．性质：
(1)pk≥0，k＝1,2,3，…，n；
(2)k＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点二 两点分布与伯努利试验
1．两点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
1－p
则这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布)．
2．伯努利试验：一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．
两点分布也常称为伯努利分布，p常常被称为成功概率．
思考
为什么两点分布也常称为伯努利分布？
答案 因为伯努利试验的结果只有两种，如果将其分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，因此伯努利试验中“成功”出现的次数X服从参数p的两点分布．
1．离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应的概率都相等．( × )
2．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √ )
3．在两点分布中，事件X＝0与事件X＝1是相互独立的.
( × )
一、分布列的性质及应用
例1 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
解 由题意，所给分布列为
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一 P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二 P＝1－P＝1－＝.
延伸探究
(变换所求)若本例条件不变，求P.
解 ∵
∴P＝P＋P
＋P＝＋＋＝.
反思感悟 分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练1 若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
试求出离散型随机变量X的分布列．
解 由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
当c＝时，9c2－c＝9×2－>1，
3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.
故所求分布列为
X
0
1
P
二、两点分布
例2 在一次购物抽奖活动中，在10张奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券3张，其余6张没有奖品．某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
解 抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(学生)
反思感悟 两点分布的关注点
(1)判断方法：
①看取值：随机变量只取两个值0和1.
②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
(2)特别情况：有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，可以利用两点分布来研究．
跟踪训练2 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
解 由题意知，X服从两点分布，
P(X＝0)＝＝，
所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
三、求离散型随机变量的分布列
命题角度1 求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列
例3 已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
解 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
反思感悟 求离散型随机变量η＝f(ξ)分布列的步骤
(1)确定η的取值，由变量ξ与η的关系确定．
(2)确定每个η取值的概率．
(3)列分布列．
注意：若ξ是一个随机变量，a，b∈R，则η＝aξ＋b也是一个随机变量．
跟踪训练3 已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列．
解 由η1＝－ξ＋，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝，，，－，－，－，相应的概率值为，，，，，.
故η1的分布列为
η1
－
－
－
P
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.
所以P(η2＝8)＝，P(η2＝3)＝＋＝，
P(η2＝0)＝＋＝，P(η2＝－1)＝.
故η2的分布列为
η2
8
3
0
－1
P
命题角度2 利用排列、组合求分布列
例4 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
(学生)反思感悟 求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值；
(2)每一个取值所对应的概率；
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练4 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )
A.
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
B.
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0
C.
X
1
2
3
P
－
D.
X
1
2
3
P
lg
1
lg
2
lg
5
答案 C
解析 C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．所以C项不是随机变量的分布列．
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
a
0.4
则常数a的值为( )
A．0
B．0.4
C．0.6
D.
1
答案 C
解析 根据两点分布概率的特点知，a＝1－0.4＝0.6.
3．设离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
P
p
则p的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由分布列的性质可知p＝1－－－＝.
4．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从有5名种子选手，3名非种子选手中选1人，选出种子选手的人数为随机变量X
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
答案 A
解析 A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，其它可以．
5．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．
答案 0,1,2
解析 由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，
得Y∈{0,1,2}．
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的分布列的概念及其性质．
(2)两点分布．
(3)求简单的离散型随机变量的分布列．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．
1．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(XA．(－∞，2]
B．[1,2]
C．(1,2]
D．(1,2)
答案 C
解析 由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X2．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.2
0.2
m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
答案 A
解析 由0.1＋0.2＋0.2＋0.2＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,3，则a的值为( )
A．1
B.
C.
D.
答案 C
解析 ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
由＋＋＝1，解得a＝.
4．(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列能成为X的概率分布列的一组数据是( )
A．0，，0,0，
B．0.1,0.2,0.3,0.4
C．p,1－p(0≤p≤1)
D.，，…，
答案 ABC
解析 根据离散型随机变量的概率分布列中，概率和为1.
对于A,0＋＋0＋0＋＝1，满足题意；
对于B,0.1＋0.2＋0.3＋0.4＝1，满足题意；
对于C，p＋(1－p)＝1，满足题意；
对于D，＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝≠1，不满足题意．
5．离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 X的分布列为
X
1
2
3
4
P
∴＋＋＋＝1，解得a＝，
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝.
6．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
X
0
1
P
a
b
则a＝________，b＝________.
答案
解析 X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.
7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________.
答案 0.1 10
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.
答案
解析 P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝.
9．设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
10.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
解 ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P(ξ＝0)＝＝，
“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，
则P(ξ＝1)＝＝，
“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，
则P(ξ＝2)＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
11．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于( )
A．0.25
B．0.35
C．0.45
D．0.55
答案 B
解析 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
12．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为( )
A．18
B．21
C．24
D．10
答案 B
解析 ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种．
13．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，且2b＝a＋c，则( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A.a＝
B．b＝
C．c＝
D．P(|X|＝1)＝
答案 BD
解析 由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝.
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－＝.
14．若随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
P
a
b
则a2＋b2的最小值为________．
答案
解析 由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
15．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，设取球次数为X，则P(1答案
解析 X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
∴P(116．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的样本点；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
解 (1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的样本点为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P(共72张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解离散型随机变量的分布列的概念与性质.
2.会求简单的离散型随机变量的分布列.
3.理解两点分布的定义，并能简单的运用.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率
都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示，
此表称为X的概率分布或分布列.
知识点一 离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
P(X＝xk)＝pk
2.性质：
(1)Pk
0，k＝1,2,3，…，n；
(2)
＝p1＋p2＋…＋pn＝
.
≥
1
1.两点分布：如果随机变量X的分布列为
则这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布).
2.伯努利试验：一个所有可能结果只有
的随机试验，通常称为伯努利试验.
两点分布也常称为伯努利分布，p常常被称为
.
知识点二 两点分布与伯努利试验
两种
X
1
0
P
p
______
成功概率
1－p
思考
为什么两点分布也常称为伯努利分布？
答案 因为伯努利试验的结果只有两种，如果将其分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，因此伯努利试验中“成功”出现的次数X服从参数p的两点分布.
1.离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应的概率都相等.
(
)
2.在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(
)
3.在两点分布中，事件X＝0与事件X＝1是相互独立的.
(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、分布列的性质及应用
解 由题意，所给分布列为
反思感悟
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练1 若离散型随机变量X的分布列为
试求出离散型随机变量X的分布列.
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
解 由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
故所求分布列为
二、两点分布
例2 在一次购物抽奖活动中，在10张奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券3张，其余6张没有奖品.某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.
解 抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
因此X的分布列为
反思感悟
两点分布的关注点
(1)判断方法：
①看取值：随机变量只取两个值0和1.
②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.
(2)特别情况：有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，可以利用两点分布来研究.
跟踪训练2 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列.
解 由题意知，X服从两点分布，
所以随机变量X的分布列为
三、求离散型随机变量的分布列
命题角度1 求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列
例3 已知随机变量ξ的分布列为
所以η1的分布列为
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，
所以η2的分布列为
反思感悟
求离散型随机变量η＝f(ξ)分布列的步骤
(1)确定η的取值，由变量ξ与η的关系确定.
(2)确定每个η取值的概率.
(3)列分布列.
注意：若ξ是一个随机变量，a，b∈R，则η＝aξ＋b也是一个随机变量.
跟踪训练3 已知随机变量ξ的分布列为
故η1的分布列为
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.
故η2的分布列为
命题角度2 利用排列、组合求分布列
例4 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解 用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
故X的分布列为
反思感悟
求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值；
(2)每一个取值所对应的概率；
(3)用所有概率之和是否为1来检验.
解 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
跟踪训练4 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解 X的可能取值为200,300,400.
故X的分布列为
3
随堂演练
PART
THREE
1.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
5
√
X
0
1
2
P
0.7
0.15
0.15
X
－2
0
2
4
P
0.5
0.2
0.3
0
X
1
2
3
P
lg
1
lg
2
lg
5
解析 C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点.
所以C项不是随机变量的分布列.
1
2
3
4
5
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为
A.0
B.0.4
C.0.6
D.
1
解析 根据两点分布概率的特点知，a＝1－0.4＝0.6.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.设离散型随机变量X的分布列如下：
?
则p的值为
√
4.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是
A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C.从有5名种子选手，3名非种子选手中选1人，选出种子选手的人数为随
机变量X
D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
1
2
3
4
5
解析 A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，其它可以.
√
1
2
3
4
5
5.已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________.
0,1,2
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的分布列的概念及其性质.
(2)两点分布.
(3)求简单的离散型随机变量的分布列.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
1.若随机变量X的分布列为
?
则当P(XA.(－∞，2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
解析 由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X基础巩固
1
2
3
4
5
6
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8
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15
√
16
2.设离散型随机变量X的分布列为
?
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
√
解析 由0.1＋0.2＋0.2＋0.2＋m＝1，得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.2
0.2
m
16
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4
5
6
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8
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√
解析 ξ的分布列为
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12
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√
√
√
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3
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6
7
8
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12
13
14
15
解析 根据离散型随机变量的概率分布列中，概率和为1.
对于B,0.1＋0.2＋0.3＋0.4＝1，满足题意；
对于C，p＋(1－p)＝1，满足题意；
16
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2
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√
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3
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15
解析 X的分布列为
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3
4
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11
12
13
14
15
6.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
?
则a＝________，b＝________.
X
0
1
P
a
b
16
1
2
3
4
5
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15
16
7.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝_____，n＝_____.
1
2
3
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15
10
0.1
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
16
8.把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝______.
1
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15
9.设离散型随机变量X的分布列为：
?
求：(1)2X＋1的分布列；
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
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1
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3
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5
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15
解 由分布列的性质知：
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
?
从而由上表得两个分布列为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
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1
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15
2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
16
1
2
3
4
5
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8
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15
(2)|X－1|的分布列.
解 |X－1|的分布列
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
16
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2
3
4
5
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15
10.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列.
16
1
2
3
4
5
6
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14
15
解 ξ的所有可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，
“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，
“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，
16
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3
4
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15
因此ξ的分布列为
16
综合运用
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2
3
4
5
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9
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14
15
11.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
?
A.0.25
B.0.35
C.0.45
D.0.55
√
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
16
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15
解析 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，
可解得x＝2，y＝5，
16
12.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为
A.18
B.21
C.24
D.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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√
16
1
2
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5
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15
√
X
－1
0
1
P
a
b
c
13.(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，且2b＝a＋c，则
√
16
14.若随机变量X的分布列如下表所示：
?
则a2＋b2的最小值为______.
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拓广探究
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15.袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，设取球次数为X，则P(116
解析 X的可能取值为1,2,3,4,5，
1
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16
16.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的样本点；
解
由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}.
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以A包含的样本点为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0).
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2
3
4
5
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16
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列.
解
由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
故ξ的分布列为