4.2.3 二项分布与超几何分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验及二项分布.2.理解超几何分布及其推导过程.3.能利用二项分布及超几何分布解决一些简单的实际问题．
知识点一 独立重复试验与二项分布
1．n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．
2．二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝
Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
由于表中的第二行中的概率值恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
思考 独立重复试验需要满足什么条件？
答案 (1)每次试验的条件相同；
(2)每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
知识点二 超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M
X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)．
1．二项分布的参数是N，n，M，超几何分布中的参数是n，p.( × )
2．n次独立重复试验的结果可以有多种．( × )
3．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．( √ )
一、n次独立重复试验与二项分布
例1 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的占60%，参加过计算机培训的占75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人员参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
解 (1)任选1名下岗人员，记“该人员参加过财会培训”为事件A，“该人员参加过计算机培训”为事件B，则事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P()＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1.
所以该人员参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布ξ～B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
反思感悟 二项分布问题的注意点
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
(2)二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(3)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
跟踪训练1 (多选)下列随机变量X服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
答案 ACD
解析 选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，举行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义可知，X～B(n,0.3)．
二、超几何分布
例2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率．
解 (1)设甲班的学生数为M，由题意得＝＝＝，整理得M2－M－6＝0，
解得M＝3或M＝－2(舍去)．
即7个学生中，甲班有3人．
(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
即P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
由分布列知
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为.
(学生)
反思感悟
超几何分布问题的两点说明
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
跟踪训练2 某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
解 (1)X的可能取值为0,1,2,3.且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
三、几种分布问题的综合应用
例3 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．
(1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数ξ的分布列；
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列；
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求：
①X的分布列；
②抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况，服从两点分布．
P(ξ＝1)＝，
则P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
ξ
0
1
P
(2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验，
因此η～B，所以
P(η＝0)＝C03＝，
P(η＝1)＝C12＝，
P(η＝2)＝C21＝，
P(η＝3)＝C30＝.
因此η的分布列为
η
0
1
2
3
P
(3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数X服从参数10,3,3的超几何分布，即X～H(10,3,3)，
所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
②设“抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
反思感悟 几种分布的特点及关系
(1)两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几何分布的实际原型是不放回抽样问题．
跟踪训练3 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
答案
解析 若放回抽取，设取得红球的个数为X，则X～B，取出2个颜色不同的球即事件“X＝1”，所以P(X＝1)＝C××＝.若不放回抽取，设取得红球的个数为Y，则Y～H(5,2,3)，所以取到的2个球颜色不同的概率P＝＝.
1．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则( )
A．样本患病率服从B(n，p)
B．n人中患高血压的人数X服从B(n，p)
C．患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)
D．患病人数与样本患病率均服从B(n，p)
答案 B
解析 由二项分布的定义知B正确．
2．任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C2×＝.
3．设8件产品中有2件次品，现从中抽取4件，则表示( )
A．4件产品中有2件次品的概率
B．4件产品中有1件次品的概率
C．4件产品中有2件正品的概率
D．4件产品中有1件正品的概率
答案 B
解析 根据超几何分布的定义可知C表示从2件次品中任选1件，C表示从6件正品中任选3件．
4．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则成功概率为________.
答案
解析 由二项分布参数的意义知，成功概率为.
5．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
答案
解析 所求概率P＝1－＝.
1．知识清单：
(1)独立重复试验与二项分布及其应用．
(2)超几何分布及其应用．
(3)几种分布的综合应用．
2．方法归纳：类比法．
3．常见误区：二项分布与超几何分布判断错误．
1.
(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，如下变量中服从超几何分布的是( )
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
答案 CD
解析 由超几何分布的概念知CD符合．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)
B．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)
C．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B
D．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X～H(10,4,7)
答案 ABD
解析 AB显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．D显然满足超几何分布的条件．
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n
B．1－pn
C．pn
D．1－(1－p)n
答案 D
解析 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设随机变量X表示取出次品的件数，则P(X＝0)＝＝.
5．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.则这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设这名学生在途中遇到红灯的次数为X，则X～B，X的分布列为P(X＝k)＝
Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
至少遇到一次红灯的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－5＝.
6．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
答案
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
7．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，设这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数为X，则P(X＝2)＝________.
答案
解析 由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝4，n＝3，则P(X＝2)＝＝.
8．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则：
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)
答案 (1)0.44 (2)0.19
解析 由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．
(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C×0.72×(1－0.7)≈0.44.
(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C×0.72×(1－0.7)]×[C×0.62×(1－0.6)]≈0.19.
9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．
解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B，
P(X＝0)＝C05＝.
P(X＝1)＝C14＝.
P(X＝2)＝C23＝.
P(X＝3)＝C32＝.
P(X＝4)＝C41＝.
P(X＝5)＝C5＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
10.从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．
解 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p，
依题意有P(A)＝p2＝0.04，
解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
11．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有( )
A．2本
B．3本
C．4本
D．5本
答案 C
解析 设语文课本有n本，则数学课本有7－n(本)(n≥2)．则2本都是语文课本的概率为＝，
由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.
12．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，则X＝3的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P(X＝3)＝C×2×
2＝.
13．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
答案 15
解析 用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
14．如果X～B，Y～B，那么当X，Y变化时，使P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为________．
答案 21
解析 根据二项分布的特点可知，(xk，yk)分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．
15．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2
B．3
C．2或3
D．4
答案 B
解析 P(X＝k)＝Ck6－k＝C6，
又＝＝，
当k<时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)，
当k>时，P(X＝k＋1)∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值．
16．高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖．
(1)若摸出后放回，求中一等奖的概率；
(2)若摸出后不放回，
①求中一等奖的概率；
②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
解 (1)若摸出后放回，设摸到白球的个数为ξ，则ξ～B，中一等奖即事件“ξ＝1”，所以P(ξ＝1)＝C14＝.
(2)①若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布(N＝30,
n＝5,
M＝10)，由公式得，
P(X＝4)＝＝，
所以获一等奖的概率为.
②根据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数”，
则X服从超几何分布(N＝30，n＝5，M＝10)．
X的可能取值为0,1,2,3,4,5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝，
故中奖的概率约为.(共70张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解n次独立重复试验及二项分布.
2.理解超几何分布及其推导过程.
3.能利用二项分布及超几何分布解决一些简单的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.n次独立重复试验
在相同条件下
n次伯努利试验，约定这n次试验是
的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
知识点一 独立重复试验与二项分布
重复
相互独立
2.二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝_________(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：
X～B(n，p)
思考 独立重复试验需要满足什么条件？
答案 (1)每次试验的条件相同；
(2)每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝
，k＝t，t＋1，…，s，
X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作
___.
知识点二 超几何分布
一个离散
型随机变量
X～H(N，n，M)
1.二项分布的参数是N，n，M，超几何分布中的参数是n，p.(
)
2.n次独立重复试验的结果可以有多种.(
)
3.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、n次独立重复试验与二项分布
例1 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的占60%，参加过计算机培训的占75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人员参加过培训的概率；
解 任选1名下岗人员，记“该人员参加过财会培训”为事件A，“该人员参加过计算机培训”为事件B，则事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.
所以该人员参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列.
反思感悟
二项分布问题的注意点
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.
(2)二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
跟踪训练1 (多选)下列随机变量X服从二项分布的是
A.投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射
击到击中目标所需要的射击次数
C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n
次数据电脑被病毒感染的次数
√
√
√
解析 选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为
，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；
选项B：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；
选项C：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，举行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；
选项D：由二项分布的定义可知，X～B(n,0.3).
二、超几何分布
例2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为
.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
解得M＝3或M＝－2(舍去).即7个学生中，甲班有3人.
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率.
解 由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.
所以X的分布列为
由分布列知
反思感悟
超几何分布问题的两点说明
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列.
跟踪训练2 某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.
(1)求X的分布列；
解 X的可能取值为0,1,2,3.
即X的分布列为
解 去执行任务的同学中有男有女的概率为
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.
三、几种分布问题的综合应用
例3 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.
(1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数ξ的分布列；
解 抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况，服从两点分布.
因此X的分布列为
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件.每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列；
因此η的分布列为
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件.每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求：
①X的分布列；
解 若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数X服从参数10,3,3的超几何分布，即X～H(10,3,3)，
所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为
P(X＝m)＝
，m＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
②抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
解 设“抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
反思感悟
几种分布的特点及关系
(1)两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布.
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几何分布的实际原型是不放回抽样问题.
跟踪训练3 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于_____，不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率等于______.
若不放回抽取，设取得红球的个数为Y，则Y～H(5,2,3)，
3
随堂演练
PART
THREE
1.某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则
A.样本患病率
服从B(n，p)
B.n人中患高血压的人数X服从B(n，p)
C.患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)
D.患病人数与样本患病率均服从B(n，p)
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√
解析 由二项分布的定义知B正确.
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√
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3.设8件产品中有2件次品，现从中抽取4件，则
表示
A.4件产品中有2件次品的概率
B.4件产品中有1件次品的概率
C.4件产品中有2件正品的概率
D.4件产品中有1件正品的概率
√
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解析 由二项分布参数的意义知，成功概率为
.
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5
5.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)
1.知识清单：
(1)独立重复试验与二项分布及其应用.
(2)超几何分布及其应用.
(3)几种分布的综合应用.
2.方法归纳：类比法.
3.常见误区：二项分布与超几何分布判断错误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.
(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，如下变量中服从超几何分布的是
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
解析 由超几何分布的概念知CD符合.
基础巩固
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√
√
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2.(多选)下列说法正确的是
A.某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变
量，且X～B(10,0.6)
B.某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，
且X～B(8，p)
C.从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，
则摸球次数X是随机变量，且X～B
D.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取
出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X～H(10,4,7)
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解析 AB显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义.D显然满足超几何分布的条件.
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3.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1－p)n
B.1－pn
C.pn
D.1－(1－p)n
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解析 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
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6.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为______.
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，
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7.某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，设这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数为X，则P(X＝2)＝________.
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解析 由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝4，n＝3，
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8.已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则：
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
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0.44
解析 由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布.
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(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是______.(结果保留两位有效数字)
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9.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列.
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解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，
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所以X的分布列为
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10.从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
解 设任取一件产品是二等品的概率为p，
依题意有P(A)＝p2＝0.04，
解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
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(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列.
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解 若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2.
所以X的分布列为
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解析 设语文课本有n本，则数学课本有7－n(本)(n≥2).
由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.
综合运用
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11.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是
，则语文课本共有
A.2本
B.3本
C.4本
D.5本
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解析 已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，
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13.50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为______.
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解析 根据二项分布的特点可知，(xk，yk)分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个.
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拓广探究
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∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值.
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16.高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球.规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖.
(1)若摸出后放回，求中一等奖的概率；
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(2)若摸出后不放回，
①求中一等奖的概率；
解 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布(N＝30,
n＝5,
M＝10)，由公式得，
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②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.
解 根据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数”，
则X服从超几何分布(N＝30，n＝5，M＝10).
X的可能取值为0,1,2,3,4,5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：
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