4．2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk＋…＋xnpn＝ipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
2．离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
答案 (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
知识点二 常见的几种分布的均值
名称
两点分布
二项分布
超几何分布
公式
E(X)＝p
E(X)＝np
E(X)＝
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( × )
2．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( √ )
3．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．( √ )
一、利用定义求离散型随机变量的均值
例1 袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的分布列如下：
X
5
6
7
8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的分布列为
X
－4
1
3
6
P
∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
二、离散型随机变量均值的性质
例2 已知随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
答案
解析 由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．
解 E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟踪训练2 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
三、求常见的几种分布的均值
例3 (1)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A.
B.
C.
D．1
答案 A
解析 方法一 P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝1×＋2×＝.
方法二 由题意知X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，则E(X)＝＝.
(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6.
①求投篮1次时命中次数X的均值；
②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
解 ①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
反思感悟 求常见的几种分布的均值的关注点
(1)关键：根据题意准确判断分布类型．
(2)计算：若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得均值．
跟踪训练3 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．
(1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值；
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的均值．
解 (1)由题意，X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)由题意，每次检验取到好电池的概率均为，
故Y～B，
则E(Y)＝4×＝.
四、均值的实际应用
例4 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解 (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
(学生)反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
0
1x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)．
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值E(X)等于( )
A.
B．2
C.
D.
答案 A
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为( )
A．0.8
B．4
C．5
D．3
答案 B
解析 ∵X～B(5,0.8)，∴E(X)＝5×0.8＝4.
3．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
4．若随机变量X～H(8,2,3)，则E(X)的值为( )
A.
B.
C.
D．无法确定
答案 C
解析 因为X～H(8,2,3)，所以E(X)＝＝.
5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
答案
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)离散型随机变量的均值的性质．
(3)两点分布、二项分布及超几何分布的均值．
2．方法归纳：函数与方程、转化与化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的均值为( )
A．100
B．200
C．300
D．400
答案 B
解析 由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1
000,0.1)，所以不发芽种子的均值为1
000×0.1＝100.所以补种的种子数的均值为2×100＝200.
2．(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.a＝7
B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1
D．E(bX＋a)＝2.62
答案 ABC
解析 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，
故ABC正确．
3．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( )
A．1.18
B．3.55
C．1.23
D．2.38
答案 A
解析 因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P
所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
4．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 B
解析 设袋中有M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为X，则X～H(7,2，M)，所以E(X)＝＝，
所以M＝3.
5．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20
B．30
C．25
D．40
答案 C
解析 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.
6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
答案 2
解析 ∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.
7．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
8．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
若E(X)＝8.9，则y的值为________．
答案 0.4
解析 由
解得
9．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元)
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
80
50
40
20
10
若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
(1)求这两种金额之和不低于20元的概率；
(2)若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和均值．
解 (1)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10(种)，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率P(A)＝＝.
(2)根据条件，X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35，分布列为
X
5
10
15
20
25
30
35
P
故E(X)＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＋35×＝20.
10．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)随机变量ξ的均值．
解 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
则P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝4＝.
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)由(1)得ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
11．某船队若出海后天气好，可获得5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
答案 B
解析 出海的期望效益E(X)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元)．
12．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法确定
B．0
C．E(X)
D．2E(X)
答案 B
解析 ∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
13．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则E(ξ)的最大值为( )
A．1
B.
C.
D．2
答案 B
解析 由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤，故选B.
14．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0答案 2
解析 依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝0)＝×＝，
则E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝.
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为( )
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0结合选项可知AB正确．
16．某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N＋)的函数解析式；
(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：
日需求量
48
49
50
51
52
53
54
频数
10
20
16
16
15
13
10
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值．
②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．
解 (1)当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，
当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，
∴y＝(n∈N＋)．
(2)①由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.
∴X的可能取值为90,95,100.
P(X＝90)＝＝，
P(X＝95)＝＝，
P(X＝100)＝＝.
∴X的分布列为
X
90
95
100
P
∴E(X)＝×90＋×95＋×100＝98.
②由①知当购进50盒时，E(X)＝98.
当购进51盒时，y＝(n∈N＋)，
设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102，
∴P(Y＝87)＝，
P(Y＝92)＝，
P(Y＝97)＝＝，
P(Y＝102)＝＝，
∴E(Y)＝×87＋×92＋×97＋×102＝＝97.7.
∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合理．(共78张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机
变量的均值.
2.理解离散型随机变量均值的性质.
3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量取值水平，解决
一些相关的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.离散型随机变量的均值的概念
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
?
则称
＝
为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
知识点一 离散型随机变量的均值
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk＋…＋xnpn
2.离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的
，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的
.
3.离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有
.
加权平均数
平均水平
E(aX＋b)＝aE(X)＋b
思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
答案 (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.
名称
两点分布
二项分布
超几何分布
公式
E(X)＝___
E(X)＝____
E(X)＝____
知识点二 常见的几种分布的均值
p
np
1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(
)
2.若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(
)
3.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、利用定义求离散型随机变量的均值
例1 袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.
解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
故X的分布列如下：
反思感悟
求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义求E(X).
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为
且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴X的分布列为
二、离散型随机变量均值的性质
例2 已知随机变量X的分布列为
?
若Y＝－2X，则E(Y)＝______.
解析 由随机变量分布列的性质，得
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
反思感悟
求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性质法：直接套用公式E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.
跟踪训练2 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为
√
解析 因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
三、求常见的几种分布的均值
例3 (1)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于
√
解 投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
?
则E(X)＝0.6.
(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6.
①求投篮1次时命中次数X的均值；
X
0
1
P
0.4
0.6
②求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.
解 由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，
则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
反思感悟
求常见的几种分布的均值的关注点
(1)关键：根据题意准确判断分布类型.
(2)计算：若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得均值.
跟踪训练3 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.
(1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值；
解 由题意，X可取的值为1,2,3，
抽取次数X的分布列为
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的均值.
四、均值的实际应用
例4 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
解 X的所有可能取值有6,2,1，－2，
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解 E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元).
解 设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
反思感悟
解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化.
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值.
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断.
跟踪训练4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
01x>2
0x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
解 依题意得，X1的分布列为
?
X2的分布列为
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车.
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则X的均值E(X)等于
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为
A.0.8
B.4
C.5
D.3
√
解析 ∵X～B(5,0.8)，∴E(X)＝5×0.8＝4.
1
2
3
4
5
3.设ξ的分布列为
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为
，则此人试验次数ξ的均值是______.
1
2
3
4
5
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
所以ξ的分布列为
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的均值.
(2)离散型随机变量的均值的性质.
(3)两点分布、二项分布及超几何分布的均值.
2.方法归纳：函数与方程、转化与化归.
3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的均值为
A.100
B.200
C.300
D.400
解析 由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1
000,0.1)，所以不发芽种子的均值为1
000×0.1＝100.
所以补种的种子数的均值为2×100＝200.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
2.(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则
?
A.a＝7
B.b＝0.4
C.E(aX)＝44.1
D.E(bX＋a)＝2.62
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
16
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，
故ABC正确.
16
3.现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为
随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为
A.1.18
B.3.55
C.1.23
D.2.38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
16
所以X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
解析 设袋中有M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为X，则X～H(7,2，M)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是
A.20
B.30
C.25
D.40
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝______.
解析 ∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.
16
2
7.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝______，b＝_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.
①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，
②
16
0
8.某射手射击所得环数X的分布列如下：
?
若E(X)＝8.9，则y的值为______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.4
16
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
?
若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验.
(1)求这两种金额之和不低于20元的概率；
16
处罚金额x(单位：元)
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
80
50
40
20
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解 设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10(种)，满足金额之和不低于20元的有6种，
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和均值.
16
处罚金额x(单位：元)
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
80
50
40
20
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解 根据条件，X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35，分布列为
16
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
15
10.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为
，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解 ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
从而ξ的分布列为
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
(2)随机变量ξ的均值.
解 由(1)得ξ的均值为
16
解析 出海的期望效益E(X)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元).
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.某船队若出海后天气好，可获得5
000元；若出海后天气坏，将损失2
000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是
A.2
000元
B.2
200元
C.2
400元
D.2
600元
√
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析 ∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
16
12.若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为
A.无法确定
B.0
C.E(X)
D.2E(X)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
?
则E(ξ)的最大值为
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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2
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1
2
3
4
5
6
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14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
解析 根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
结合选项可知AB正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理.
(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N＋)的函数解析式；
解 当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，
当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值.
16
日需求量
48
49
50
51
52
53
54
频数
10
20
16
16
15
13
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解 由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.
∴X的可能取值为90,95,100.
16
∴X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由.
16
日需求量
48
49
50
51
52
53
54
频数
10
20
16
16
15
13
10
解 由①知当购进50盒时，E(X)＝98.
设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合理.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16(共72张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的
方差.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
知识点一 离散型随机变量的方差、标准差
因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝_________________________________
____________________________能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差._________称为离散型随机变量X的标准差，它也刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…
＋[xn－E(X)]2pn
知识点二 离散型随机变量方差的性质
1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝
.
2.D(c)＝0(其中c为常数).
a2D(X)
知识点三 两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
(其中p为成功概率)
__________?
p(1－p)
np(1－p)
1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(
)
2.若a是常数，则D(a)＝0.(
)
3.离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.
(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、求离散型随机变量的方差
例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
解 ξ的分布列为
解 由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
反思感悟
(1)求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
②求出X取每个值的概率；
③写出X的分布列；
④计算E(X)；
⑤计算D(X).
(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ).
跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列如下表：
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).
二、两点分布与二项分布的方差
例2 (1)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.
0.8
解析 依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.
(2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝
，则n＝____，p＝______.
6
解析 由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝
，
反思感悟
两点分布与二项分布方差的计算步骤
(1)判断：判断随机变量服从什么分布.
(2)计算：直接代入相应的公式求解方差.
跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
解 用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019
6.
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.
解 用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为
≈0.44.
三、方差的应用
例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
?
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好.
反思感悟
均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
?
?
试评定这两个保护区的管理水平.
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
解 甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些.
四、分布列、均值、方差的综合应用
例4 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及方差.
解 由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
故X的分布列为
反思感悟
处理综合问题的方法
第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立.
第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率.
第三步：列分布列，并计算均值及方差.
跟踪训练4 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy.求：
(1)X所取各值的分布列；
解 由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,4.
“X＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为
“X＝1”是指两次取的卡片上都标着1，
“X＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为
“X＝4”是指两次取的卡片上都标着2，
则X的分布列为
(2)随机变量X的均值与方差.
3
随堂演练
PART
THREE
1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为
A.2
B.3
C.4
D.5
1
2
3
4
5
√
解析 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.
1
2
3
4
5
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
√
3.(多选)下列说法中错误的是
A.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
1
2
3
4
5
√
√
√
解析 E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝
，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝_____.
解析 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的方差、标准差.
(2)离散型随机变量的方差的性质.
(3)两点分布与二项分布的方差.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：方差公式套用错误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
解析 随机变量ξ服从两点分布，
所以D(ξ)＝m(1－m).
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
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15
√
16
2.(多选)已知X的分布列为
?
则
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2
3
4
5
6
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15
√
16
√
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2
3
4
5
6
7
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11
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13
14
15
16
3.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
?
?
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好
A.甲
B.乙
C.甲、乙均可
D.无法确定
1
2
3
4
5
6
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15
√
16
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
1
2
3
4
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15
解析 ∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，
D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴D(X1)故派甲运动员参加较好.
16
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2
3
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16
解析 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，
故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，所以D(X)＝p(1－p).
4.设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是
A.0和1
B.p和p2
C.p和1－p
D.p和(1－p)p
√
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2
3
4
5
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16
5.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝
，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于
A.6
B.9
C.3
D.4
√
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2
3
4
5
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6.已知随机变量X的分布列如表所示：
?
则a＝________，D(X)＝________.
解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，
E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
16
0.5
3.56
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a
7.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为____________.
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3
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16
0.4,0.1,0.5
8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(01
2
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15
16
解析 随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且
P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.
从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2
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15
9.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
?
?
(1)求a，b的值；
16
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
解 由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
1
2
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4
5
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15
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.
16
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
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解 E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣.
16
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10.已知X的分布列为
?
(1)求X2的分布列；
16
从而X2的分布列为
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(2)计算X的方差；
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(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
16
解 因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，
D(Y)＝42D(X)＝11.
解析 同时抛掷两枚均匀的硬币一次，两枚硬币同时出现反面的概率为
综合运用
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12.(多选)已知随机变量X的分布列是
√
√
√
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13.已知随机变量ξ的分布列为
?
?
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于
A.0
B.2
C.4
D.无法计算
16
√
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当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，
故D(ξ)无法取得最小值.
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拓广探究
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15.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝_____，D(ξ)＝_____.
1
1
解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
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所以ξ的分布列为
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16.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：
?
?
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
1
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16
解 根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
?
?
从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
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(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A,100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
1
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11
12
13
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15
16
当x＝75时，f(x)取得最小值3.第2课时 离散型随机变量的方差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
知识点一 离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.称为离散型随机变量X的标准差，它也刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．
知识点二 离散型随机变量方差的性质
1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c为常数)．
知识点三 两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)
(其中p为成功概率)
np(1－p)
1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × )
2．若a是常数，则D(a)＝0.( √ )
3．离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( √ )
4．若a，b为常数，则＝a.( × )
一、求离散型随机变量的方差
例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解 (1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或即为所求．
反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
②求出X取每个值的概率；
③写出X的分布列；
④计算E(X)；
⑤计算D(X)．
(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)．
跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
(1)求E(ξ)，D(ξ)，；
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．
解 (1)E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，＝.
(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝，D(η)＝4D(ξ)＝.
二、两点分布与二项分布的方差
例2 (1)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．
(2)为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝，则n＝________，p＝________.
答案 (1)0.16 (2)6
解析 (1)依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.
(2)由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，∴p＝，n＝6.
(学生)
反思感悟
两点分布与二项分布方差的计算步骤
(1)判断：判断随机变量服从什么分布．
(2)计算：直接代入相应的公式求解方差.
跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019
6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
三、方差的应用
例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．
(学生)反思感悟 均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解 甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些．
四、分布列、均值、方差的综合应用
例4 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及方差．
解 (1)P＝×＋×＝.
(2)由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝×＝.
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
反思感悟 处理综合问题的方法
第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．
第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率．
第三步：列分布列，并计算均值及方差．
跟踪训练4 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy.求：
(1)X所取各值的分布列；
(2)随机变量X的均值与方差．
解 (1)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,4.
“X＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(X＝0)＝1－×＝，
“X＝1”是指两次取的卡片上都标着1，
其概率为P(X＝1)＝×＝，
“X＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(X＝2)＝2××＝，
“X＝4”是指两次取的卡片上都标着2，
其概率为P(X＝4)＝×＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.
1．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 C
解析 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
答案 B
3．(多选)下列说法中错误的是( )
A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
答案 ABD
解析 E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度．
4．设随机变量X～B，则D(X)＝________.
答案
解析 因为X～B，所以D(X)＝4××＝.
5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
答案
解析 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的方差、标准差．
(2)离散型随机变量的方差的性质．
(3)两点分布与二项分布的方差．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：方差公式套用错误．
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m
B．2m(1－m)
C．m(m－1)
D．m(1－m)
答案 D
解析 随机变量ξ服从两点分布，
所以D(ξ)＝m(1－m)．
2．(多选)已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则( )
A．E(X)＝
B．D(X)＝
C．D(X)＝
D．E(X)＝
答案 AC
解析 ∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( )
A．甲
B．乙
C．甲、乙均可
D．无法确定
答案 A
解析 ∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，
D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴D(X1)故派甲运动员参加较好．
4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1
B．p和p2
C．p和1－p
D．p和(1－p)p
答案 D
解析 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，
故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，所以D(X)＝p(1－p)．
5．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于( )
A．6
B．9
C．3
D．4
答案 A
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
∴D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，
∴D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6.
6．已知随机变量X的分布列如表所示：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
a
则a＝________，D(X)＝________.
答案 0.5 3.56
解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，
E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
7．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________________________．
答案 0.4,0.1,0.5
解析 由题意知，
解得
8．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0答案
解析 随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且
P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.
从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2
＝－2＋.
∵09．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣．
10．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
解 (1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，
从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)由(1)知a＝，
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，
D(Y)＝42D(X)＝11.
11．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于( )
A.
B.
C.
D．5
答案 A
解析 同时抛掷两枚均匀的硬币一次，两枚硬币同时出现反面的概率为P＝＝，
∴ξ～B，
∴D(ξ)＝10××＝.
12．(多选)已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
a
b
若E(X)＝，则( )
A．a＝
B．b＝
C．D(X)＝
D．D(X)＝
答案 ABC
解析 由题意得a＋b＝.①
由E(X)＝＋2a＋3b＝，②
得2a＋3b＝，
联立①②，得a＝，b＝.
所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选ABC.
13．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
m
n
P
a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于( )
A．0
B．2
C．4
D．无法计算
答案 D
解析 由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值．
14．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1答案 3
解析 由已知得
即
解得或
又x115．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.
答案 1 1
解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
16．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A,100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．
解 (1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D＝2D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋30
000)
＝(x－75)2＋3，
当x＝75时，f(x)取得最小值3.