(共66张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.了解二项分布与正态曲线的关系，了解正态分布与标准正态分布的
概念.
2.了解概率密度函数，理解正态曲线的性质.
3.掌握利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.定义：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线，它对应的函数为φμ，σ(x)
＝_____________，其中μ＝E(X)，σ＝
.
知识点一 正态曲线
2.性质：
(1)正态曲线关于直线
对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有
、
的特点；
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为
；
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”，
，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；
，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
x＝μ
中间高
两边低
1
σ越大
σ越小
3.面积：正态曲线与x轴在区间[μ，μ＋σ]内所围的面积约为
，在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围的面积约为
，在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为
.如图：
0.341
3
0.135
9
0.021
5
1.定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的
，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时
称为X的概率密度函数，μ是X的
，σ是X的
，σ2是X的
.
2.三个特殊区间内取值的概率值：
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈
，
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈
，
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈
.
知识点二 正态分布
面积
均值
φμ，σ(x)
标准差
方差
68.3%
95.4%
99.7%
3.“3σ原则”：
X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件).这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
1.标准正态分布的定义：
的正态分布称为标准正态分布.
2.Φ(a)的概念：如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝
，即Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间
内所围的面积.
3.Φ(a)的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝
.
知识点三
标准正态分布
μ＝0且σ＝1
P(X
(－∞，a)
1
1.正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.(
)
2.正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.
(
)
3.正态曲线可以关于y轴对称.(
)
4.若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝
.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、正态曲线
例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝
，方差σ2＝
.
20
2
解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
√
√
√
解析 由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
反思感悟
利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图像求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值
，由此特点结合图像可求出σ.
跟踪训练1 (多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的有
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
√
√
√
解析 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.
二、利用正态分布求概率
例2 设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
解 ∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，
P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683；
解 ∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
(2)P(3≤ξ≤5).
延伸探究
(变换所求)若例2条件不变，求P(ξ>5).
反思感悟
利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
三、正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5
000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比；
解 ∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
解 ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26
mm间的零件大约有5
000×2.15%≈108(个).
(2)若规定尺寸在24～26
mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
反思感悟
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值.
(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化.
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.
跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.3%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.15%.
设该班有x名同学，则x×34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%.
即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.
四、标准正态分布
例4 设随机变量X～N(0,1).
(1)求Φ(－3)的值；
解 因为X～N(0,1)，所以Φ(－3)＝P(X<－3)
(2)若Φ(0.42)＝0.662
8，求Φ(－0.42).
解 因为X～N(0,1)且Φ(0.42)＝0.662
8，
所以由Φ(－a)＋Φ(a)＝1得，Φ(－0.42)＝1－Φ(0.42)＝1－0.662
8＝0.337
2.
反思感悟
求标准正态分布的概率问题的关注点
(1)标准正态曲线特点：关于y轴对称，σ＝1.
(2)Φ(a)的含义：Φ(a)＝P(X(3)理论基础：
①当a＝±1，±2，±3时，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值；
②当a为其它值时，可查表求解.
跟踪训练4 设随机变量X～N(0,1)，
Φ(0.25)＝0.598
7，Φ(0.51)＝0.691
5，求：
(1)Φ(－0.25)；
(2)P(0.25解 Φ(－0.25)＝1－Φ(0.25)＝1－0.598
7＝0.401
3.
解 P(0.255－0.598
7＝0.092
8.
3
随堂演练
PART
THREE
1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝
，
则这个正态总体的均值与标准差分别是
A.10与8
B.10与2
C.8与10
D.2与10
1
2
3
4
5
√
解析 由正态函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.9)＝0.028，则P(ξ<1.9)等于
A.0.028
B.0.056
C.0.944
D.0.972
1
2
3
4
5
√
解析 由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，可得P(ξ<－1.9)＝Φ(－1.9)，P(ξ<1.9)＝Φ(1.9)，
又Φ(－1.9)＋Φ(1.9)＝1，
所以P(ξ<1.9)＝1－P(ξ<－1.9)＝1－0.028＝0.972.
3.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%)
A.4.56%
B.13.55%
C.27.18%
D.31.74%
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√
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4.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ.
5
解析 ∵ξ～N(2,9)，
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ1
2
3
4
5
5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为
.
0.8
解析 如图，易得P(0故P(01.知识清单：
(1)正态曲线及其特点.
(2)正态分布.
(3)正态分布的应用，3σ原则.
(4)标准正态分布.
2.方法归纳：转化化归，数形结合.
3.常见误区：概率区间转化不等价.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D.随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
解析 ∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997，
∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997＝0.003，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件.
基础巩固
1
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√
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2.(多选)已知三个正态函数φi(x)＝
(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则下列结论正确的是
A.σ1＝σ2
B.μ1>μ2
C.μ1＝μ2
D.σ2<σ3
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√
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解析 由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确.
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于
A.0.16
B.0.32
C.0.68
D.0.84
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解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ<4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
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5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.0<σ3<1<σ2<σ1
D.0<σ1<σ2＝1<σ3
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由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”.故选D.
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6.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为
.
解析 ∵X服从正态分布N(a,4)，
∴正态曲线关于直线x＝a对称，
又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.
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1
7.已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示.若P(X.
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解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图像的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X4－a)＝1－2P(X16
0.36
8.已知X～N(4，σ2)，且P(2，P(|X－2|<4)≈
.
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0.84
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2
解析 ∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.
∵P(2∴P(|X－2|<4)＝P(－2＝P(－21
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9.已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.683，求P(X>4)的值.
16
解 ∵随机变量X～N(3，σ2)，
∴正态曲线关于直线X＝3对称，
又P(2≤X≤4)＝0.683，可得P(X>4)
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10.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
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解 对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)
对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案.
16
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，
综合运用
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11.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9
455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第
A.1
500名
B.1
700名
C.4
500名
D.8
000名
√
16
12.一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1
000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1
011
Ω和982
Ω，可以认为
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
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解析 ∵X～N(1
000,52)，∴μ＝1
000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1
000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1
000＋3×5＝1
015.
∵1
011∈(985,1
015)，982?(985,1
015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.
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13.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个给质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为
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解析 ∵10个螺栓的尺寸，只有103.2>103，
14.已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝
，b＝
.
解析 ∵随机变量X～N(2,22)，
∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.
∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，
D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，又a>0，
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15.(多选)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态曲线如图所示.下列结论中错误的是
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D.对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
拓广探究
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解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错.
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16.为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测数学的平均成绩u0(精确到个位)；
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解 该市此次检测数学的平均成绩
u0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.
16
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
15
16
(2)研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布X～N(μ，σ2)(u＝u0，σ≈19.3).
①按以往的统计数据，数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占29.46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩是多少分(精确到个位)?
1
2
3
4
5
6
7
8
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15
解 记本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为x1，根据题意得，
16
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所以，本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为113分.
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所以，数学成绩为107分大约排在第4
168名.
164.2.5 正态分布
学习目标 1.了解二项分布与正态曲线的关系，了解正态分布与标准正态分布的概念.2.了解概率密度函数，理解正态曲线的性质.3.掌握利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题．
知识点一 正态曲线
1．定义：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线，它对应的函数为φμ，σ(x)＝，其中μ＝E(X)，σ＝.
2．性质：
(1)正态曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”，σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
3．面积：正态曲线与x轴在区间[μ，μ＋σ]内所围的面积约为0.341
3，在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围的面积约为0.135
9，在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为0.021
5.如图：
知识点二 正态分布
1．定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数，μ是X的均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差．
2．三个特殊区间内取值的概率值：
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
3．“3σ原则”：
X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)．这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”．
知识点三
标准正态分布
1．标准正态分布的定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布．
2．Φ(a)的概念：如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X3．Φ(a)的性质：Φ(－a)＋Φ(a)＝1.
1．正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( × )
2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( × )
3．正态曲线可以关于y轴对称．( √ )
4．若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝.( √ )
一、正态曲线
例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝
，方差σ2＝
.
(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
答案 (1)20 2 (2)BCD
解析 (1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
(2)由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图像求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图像可求出σ.
跟踪训练1 (多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的有( )
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
答案 ABD
解析 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．
二、利用正态分布求概率
例2 设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
(2)P(3≤ξ≤5)．
解 ∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683；
(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.954－0.683)＝0.135
5.
延伸探究
(变换所求)若例2条件不变，求P(ξ>5)．
解 P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈(1－0.954)＝0.023.
反思感悟 利用正态分布的对称性求概率
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
三、正态分布的应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5
000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26
mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
解 (1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26
mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
∴尺寸在24～26
mm间的零件大约有5
000×2.15%≈108(个)．
反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.3%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.15%.
设该班有x名同学，则x×34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.3%.
即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
四、标准正态分布
例4 设随机变量X～N(0,1)．
(1)求Φ(－3)的值；
(2)若Φ(0.42)＝0.662
8，求Φ(－0.42)．
解 (1)因为X～N(0,1)，所以Φ(－3)＝P(X<－3)＝[1－P(－3≤X≤3)]≈(1－0.997)＝0.001
5.
(2)因为X～N(0,1)且Φ(0.42)＝0.662
8，所以由Φ(－a)＋Φ(a)＝1得，Φ(－0.42)＝1－Φ(0.42)＝1－0.662
8＝0.337
2.
反思感悟 求标准正态分布的概率问题的关注点
(1)标准正态曲线特点：关于y轴对称，σ＝1.
(2)Φ(a)的含义：Φ(a)＝P(X(3)理论基础：
①当a＝±1，±2，±3时，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值；
②当a为其它值时，可查表求解．
跟踪训练4 设随机变量X～N(0,1)，
Φ(0.25)＝0.598
7，Φ(0.51)＝0.691
5，求：
(1)Φ(－0.25)；
(2)P(0.25解 (1)Φ(－0.25)＝1－Φ(0.25)＝1－0.598
7＝0.401
3.
(2)P(0.255－0.598
7＝0.092
8.
1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A．10与8
B．10与2
C．8与10
D．2与10
答案 B
解析 由正态函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.9)＝0.028，则P(ξ<1.9)等于( )
A．0.028
B．0.056
C．0.944
D．0.972
答案 D
解析 由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，可得P(ξ<－1.9)＝Φ(－1.9)，P(ξ<1.9)＝Φ(1.9)，
又Φ(－1.9)＋Φ(1.9)＝1，所以P(ξ<1.9)＝1－P(ξ<－1.9)＝1－0.028＝0.972.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.4%)
A．4.56%
B．13.55%
C．27.18%
D．31.74%
答案 B
解析 P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]≈(95.4%－68.3%)＝13.55%.故选B.
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ.
答案 2
解析 ∵ξ～N(2,9)，
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴＝2，∴c＝2.
5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为
．
答案 0.8
解析 如图，易得P(0故P(01．知识清单：
(1)正态曲线及其特点．
(2)正态分布．
(3)正态分布的应用，3σ原则．
(4)标准正态分布．
2．方法归纳：转化化归，数形结合．
3．常见误区：概率区间转化不等价．
1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
答案 D
解析 ∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.997＝0.003，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
2．(多选)已知三个正态函数φi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A．σ1＝σ2
B．μ1>μ2
C．μ1＝μ2
D．σ2<σ3
答案 AD
解析 由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
答案 A
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ<4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10
B．100
C.
D.
答案 C
解析 由正态曲线上的最高点为知＝，∴D(X)＝σ2＝.
5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．0<σ3<1<σ2<σ1
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
答案 D
解析 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.
6．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为
．
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4)，
∴正态曲线关于直线x＝a对称，
又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.
7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示．若P(X.
答案 0.36
解析 ∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图像的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X4－a)＝1－2P(X8．已知X～N(4，σ2)，且P(2，P(|X－2|<4)≈
.
答案 2 0.84
解析 ∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.
∵P(2∴∴σ＝2.
∴P(|X－2|<4)＝P(－2＝P(－2＝[P(－2＝P(－29．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.683，求P(X>4)的值．
解 ∵随机变量X～N(3，σ2)，
∴正态曲线关于直线X＝3对称，
又P(2≤X≤4)＝0.683，可得P(X>4)＝×[1－P(2≤X≤4)]＝×(1－0.683)＝0.158
5.
10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
解 对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(55；
对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，
P(X>5)＝≈0.977，
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9
455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1
500名
B．1
700名
C．4
500名
D．8
000名
答案 A
解析 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.683)＝0.158
5.所以0.158
5×9
455≈1
500.
12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1
000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1
011
Ω和982
Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
答案 C
解析 ∵X～N(1
000,52)，∴μ＝1
000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1
000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1
000＋3×5＝1
015.
∵1
011∈(985,1
015)，982?(985,1
015)，
∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．
13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个给质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵10个螺栓的尺寸，只有103.2>103，∴工人随机将其中的8个给质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B.
14．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝
，b＝
.
答案 －1
解析 ∵随机变量X～N(2,22)，
∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.
∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，
D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，
又a>0，
∴a＝，b＝－1.
15．(多选)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态曲线如图所示．下列结论中错误的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
答案 ABD
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错．
16．为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测数学的平均成绩u0(精确到个位)；
(2)研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布X～N(μ，σ2)(u＝u0，σ≈19.3)．
①按以往的统计数据，数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占29.46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩是多少分(精确到个位)?
②已知A市考生约有10
000名，某学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
说明：P(x>x1)＝1－Φ表示x>x1的概率，Φ用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N(0,1)，从而利用标准正态分布表Φ(x0)，求x>x1时的概率P(x>x1)，这里x0＝，相应于x0的值．Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，即Φ(x0)＝P(x参考数据：Φ(0.54)＝0.705
4，Φ(0.21)＝0.583
2.
解 (1)该市此次检测数学的平均成绩
u0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.
(2)①记本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为x1，根据题意得，
P(x>x1)＝1－Φ＝1－Φ＝0.294
6，
即Φ＝0.705
4，
由Φ(0.54)＝0.705
4得，＝0.54?x1＝113.422≈113，
所以，本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为113分．
②P(x>107)＝1－Φ≈1－Φ(0.21)＝1－0.583
2＝0.416
8,10
000×0.416
8＝4
168.
所以，数学成绩为107分大约排在第4
168名．