(共27张PPT)
概率与统计内容在考试考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，该题目的设置常常以社会、经济、科技发展为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生统计图表的识别，应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
一、统计图表与正态分布
例1 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；
解 由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，
所以随机变量ξ的分布列为
?
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
ξ
90
－30
P
0.67
0.33
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表).
①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；
解 由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数μ和样本方差σ2分别为
μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×
0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)
2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
因为Z～N(100,150)，
从而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.683.
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间[87.8,112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X).
附：
≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.683，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954.
解 由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的概率约为0.683，依题意知X～B(500，0.683)，所以E(X)＝500×0.683＝341.5.
反思感悟
本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键.
二、统计图表与统计分析
例2 一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在20岁至60岁的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：
(1)为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有10
000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
解 根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：
移动支付
年龄
总计
年龄<40
年龄≥40
使用
?
?
?
不使用
?
?
?
总计
?
?
200
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断，能否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？
解 补充列联表为：
移动支付
年龄
总计
年龄<40
年龄≥40
使用
85
40
125
不使用
10
65
75
总计
95
105
200
∵56.17>10.828，
∴有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关.
(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55,60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移动支付的顾客为X人，求X的分布列.
a＝P(x2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
解 X的可能取值为0,1,2，
所以X的分布列为：
三、概率统计中的最值问题
例3 某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25
℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20
℃，需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
?
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
最高气温(℃)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
解 由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20
℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25
℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？
最高气温(℃)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
解 由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；
当400当n>600时，
所以当n＝400时，Y的均值取得最大值640.
四、概率统计中的决策问题
例4 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种：可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8
400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格均值作为决策依据.
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
解 在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格均值为：
E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8
500>8
400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买.
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值；
解 X的可能取值为0,1,2，
∴X的分布列为：
?
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.
解 设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则
一箱产品中，设正品的价格的均值为η，则η＝8
000,9
000，
事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，
事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则
∴E(η)＝8
000×0.64＋9
000×0.36＝8
360<8
400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买.微专题2 概率与统计的综合应用
概率与统计内容在考试考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，该题目的设置常常以社会、经济、科技发展为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生统计图表的识别，应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
一、统计图表与正态分布
例1 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和均值；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间[87.8,112.2]内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.683，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954.
解 (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
90
－30
P
0.67
0.33
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数μ和样本方差σ2分别为
μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100,150)，
从而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.683.
②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间[87.8，112.2]内的概率约为0.683，依题意知X～B(500，0.683)，所以E(X)＝500×0.683＝341.5.
反思感悟 本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．
二、统计图表与统计分析
例2 一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20岁至60岁的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：
(1)为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10
000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断，能否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？
移动支付
年龄
总计
年龄<40
年龄≥40
使用
不使用
总计
200
(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55,60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移动支付的顾客为X人，求X的分布列．
附：χ2＝
a＝P(x2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
解 (1)根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：
＝，
所以超市当天应准备的环保购物袋个数为
10
000×＝6
250.
(2)补充列联表为：
移动支付
年龄
总计
年龄<40
年龄≥40
使用
85
40
125
不使用
10
65
75
总计
95
105
200
则χ2＝≈56.17，
∵56.17>10.828，
∴有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．
(3)X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
三、概率统计中的最值问题
例3 某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25
℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20
℃，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温(℃)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的均值取得最大值？
解 (1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20
℃为事件A1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A2，最高气温不低于25
℃为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知
P(X＝200)＝P(A1)＝＝，
P(X＝400)＝P(A2)＝＝，
P(X＝600)＝P(A3)＝＝，
故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为
X
200
400
600
P
(2)由题意得，当n≤200时，E(Y)＝2n≤400；
当200当400E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×n×2＝－n＋800∈[560,640)；
当n>600时，
E(Y)＝×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1
760－2n<560.
所以当n＝400时，Y的均值取得最大值640.
四、概率统计中的决策问题
例4 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种：可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8
400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格均值作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．
解 (1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格均值为：
E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8
500>8
400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64，
P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32，
P(X＝2)＝C×0.22×0.80＝0.04，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则
P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，
一箱产品中，设正品的价格的均值为η，则η＝8
000,9
000，
事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，
则P(η＝8
000)＝P(B1|A)＝
＝＝0.64，
事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则
P(η＝9
000)＝P(B2|A)＝
＝＝0.36，
∴E(η)＝8
000×0.64＋9
000×0.36＝8
360<8
400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
