再练一课(范围：4.2.1～4.2.4)
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于( )
A．0.665
B．0.008
56
C．0.918
54
D．0.991
44
答案 D
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝C×0.10×0.95＋C×0.1×0.94＋C×0.12×0.93
＝0.991
44.
2．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝.
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．C2×
B．C2×
C.2×
D.2×
答案 C
解析 P(X＝3)＝2×.
4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于( )
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
答案 B
解析 由题意可知X服从超几何分布，
∴E(X)＝＝2.5.
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X)
B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4
D．D(X)＝
答案 AB
解析 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，∴P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＝，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；在D中，D(X)＝，故D错误，故选AB.
6．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.
答案 100
解析 由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.
7．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．
答案
解析 设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
8．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝________.
答案
解析 箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是P＝A×××＝.变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B，∴ξ的方差D(ξ)＝3××＝.
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．甲、乙两人射击，甲射击1次中靶的概率是p1，乙射击1次中靶的概率是p2，且，是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解 (1)由题意可知X甲～B(5，p1)．
∴D(X甲)＝5p1(1－p1)＝.
∴p－p1＋＝0，解得p1＝.
又·＝6，∴p2＝.
(2)两类情况：共击中3次的概率为
C20×C11＋C11×
C20＝.
共击中4次的概率为
C20×C20＝.
则所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为
×＝，
则两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
11．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，在10次试验中，成功次数X的均值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 成功的概率为1－＝，
所以X～B，所以E(X)＝10×＝.
12．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0
A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
答案 A
解析 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0把方差看作函数y＝x(1－x)，函数在上为增函数，
∴由题意可知，D(ξ1)13．“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P＝C×2××＝.
14．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为________．
答案
解析 根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
15．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
答案
解析 因为随机变量X～B(2，p)且P(X≥1)＝，
所以P(X<1)＝1－＝，即(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)．
所以随机变量Y～B，
所以P(Y＝2)＝C2＝.
16．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列和均值．
解 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)由题意知X～B，
则P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝4×＝.(共33张PPT)
1.若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于
A.0.665
B.0.008
56
C.0.918
54
D.0.991
44
基础巩固
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2
3
4
5
6
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9
10
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√
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
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16
2.已知随机变量X的分布列为
?
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于
√
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4.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
√
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√
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7.一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________.
解析 设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
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8.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝______.
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解析 箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是
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9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
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解 设抽到他能背诵的课文的数量为X，
X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，
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所以X的分布列为
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(2)他能及格的概率.
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(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
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解 两类情况：共击中3次的概率为
共击中4次的概率为
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(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
综合运用
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√
12.已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.
若0，则
A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
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√
解析 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0，∴E(ξ1)∴由题意可知，D(ξ1)1
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13.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
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解析 根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为
，
∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为_____.
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解析 根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
拓广探究
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解 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
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(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列和均值.
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∴随机变量X的分布列为