(共27张PPT)
1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为
A.30
B.20
C.15
D.10
基础巩固
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∴常数项为第9项.
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∴a＝17，b＝12，∴a＋b＝29.
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(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
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5.设a∈Z，且0≤a<13，若512
020＋a能被13整除，则a等于
A.0
B.1
C.11
D.12
√
故能被13整除，要使512
020＋a能被13整除，且a∈Z,0≤a<13，
则只需a＋1＝13，∴a＝12.
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20
∴2n＝64，∴n＝6.
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7.已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.(填数字)
-8
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解析 在所给的等式中，令x＝1可得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，
①
再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，
②
把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8
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解
依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第5项.
化简得x4(1＋lg
x)＝1，所以x＝1或4(1＋lg
x)＝0，
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解 由题意，可得n＝7.
由于n＝7为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，
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解 无常数项.理由如下：
故展开式中无常数项.
(2)此展开式中是否存在常数项？并说明理由.
11.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)的值为
A.45
B.60
C.120
D.210
综合运用
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√
12.(多选)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的有
A.a2＝－144
B.a0＝1
C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
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√
√
√
解析 对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，∴a2＝
×22＝－144，故A正确；
令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；
令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D正确.故选ACD.
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解析 由题意可知n＝8，
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所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.
15.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________.
拓广探究
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－3或1
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解析 在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，
即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9，
令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3.
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解 由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
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解 设常数项为第k＋1项，则
令8－2k＝0，即k＝4，
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(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.
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解 易知m>0，设第k＋1项系数最大，
由于只有第6项和第7项系数最大，再练一课(范围：§3.3)
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
答案 C
解析 因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.
2．二项式12的展开式中的常数项是( )
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
答案 C
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝C·x12－k·k＝C·2k·，令12－k＝0，解得k＝8.
∴常数项为第9项．
3．若(1＋)4＝a＋b(a，b均为有理数)，则a＋b等于( )
A．33
B．29
C．23
D．19
答案 B
解析 ∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，且a，b为有理数，
∴a＝17，b＝12，∴a＋b＝29.
4．设(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．(－1)10
答案 C
解析 (－1)10＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，①
(＋1)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，②
①＋②得：2(a0＋a2＋…＋a10)＝(－1)10＋(＋1)10，
①－②得：2(a1＋a3＋…＋a9)＝(－1)10－(＋1)10，
(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝2－2
＝＝[(－1)(＋1)]10＝1.
5．设a∈Z，且0≤a<13，若512
020＋a能被13整除，则a等于( )
A．0
B．1
C．11
D．12
答案 D
解析 512
020＋a＝(52－1)2
020＋a＝C522
020－C522
019＋C522
018－…－C52＋C＋a，由于C522
020－C522
019＋C522
018－…－C52含有因数52，故能被13整除，要使512
020＋a能被13整除，且a∈Z,0≤a<13，则只需a＋1＝13，∴a＝12.
6．若n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
答案 20
解析 ∵n的展开式的二项式系数之和为2n，
∴2n＝64，∴n＝6.
∴Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k.
由6－2k＝0，得k＝3，∴其常数项为T3＋1＝C＝20.
7．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＋a6＝________.(填数字)
答案 －8
128
解析 在所给的等式中，令x＝1可得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27，①
再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－4)7，②
把①②相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝27＋(－4)7，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝－8
128.
8．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为______．
答案 －5
解析 6的展开式中，
Tk＋1＝Cx6－k·k＝(－1)kCx6－2k，
令6－2k＝0，解得k＝3，T4＝C(－1)3＝－C；
令6－2k＝－1，解得k＝(舍去)；
令6－2k＝－2，解得k＝4，T5＝C(－1)4x－2，
所以(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.
9．已知n的展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg
x)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1
120，求x的值．
解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第5项．
依题意得C(2x)4(xlg
x)4＝1
120，
化简得x4(1＋lg
x)＝1，所以x＝1或4(1＋lg
x)＝0，
故所求x的值为1或.
10．已知n的展开式中的第4项与第5项的二项式系数相等．
(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)此展开式中是否存在常数项？并说明理由．
解 (1)由题意，可得n＝7.
由于n＝7为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，
它们分别是T4＝C()43＝35，
T5＝C()34＝35.
(2)无常数项．理由如下：
由Tk＋1＝C()7－kk＝C，
令＝0，得k＝，不符合题意，
故展开式中无常数项．
11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)的值为( )
A．45
B．60
C．120
D．210
答案 C
解析 含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.
12．(多选)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的有( )
A．a2＝－144
B．a0＝1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
答案 ACD
解析 对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，∴a2＝－C×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D正确．故选ACD.
13．若(2x＋3y)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n－4的展开式中x2的系数为( )
A．－304
B．304
C．－208
D．208
答案 A
解析 由题意可知n＝8，
故n－4＝4，
其展开式的通项为Tk＋1＝C(－4)4－kk，k＝0,1,2,3,4，
k的展开式的通项为C(x2)k－mm＝Cx2k－4m，m＝0,1，…，k，
令2k－4m＝2，得k＝2m＋1，可得或
所以，x2的系数为C×C×(－4)3＋C×C×(－4)1＝－304.
14．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
答案 2
解析 6的展开式的通项为
Tk＋1＝C(ax2)6－k·k＝Ca6－k·bkx12－3k，
令12－3k＝3，解得k＝3，由Ca6－3b3＝20，得ab＝1，
所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.
15．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________.
答案 －3或1
解析 在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，
即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9，
令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)
＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3.
16．已知n的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n的值；
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．
解 (1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第k＋1项，则
Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k，
令8－2k＝0，即k＝4，
则Cm4＝，解得m＝±.
(3)易知m>0，设第k＋1项系数最大，
则
化简可得≤k≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
