章末检测试卷一(第三章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．C
B．C
C．C
D．(－1)m－1C
答案 D
解析 (x－y)n的二项展开式中第m项为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
2．若A＝18C，则m等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案 D
解析 由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6.
3．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( )
A．(34
,34)
B．(43
,34)
C．(34
,43)
D．(A，A)
答案 C
解析 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果．故选C.
4．5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有( )
A．A·A种
B．A·A种
C．A·A种
D．A－4A种
答案 A
解析 先排大人，有A种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A种排法，由分步乘法计数原理可知，有A·A种不同的排法，故选A.
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32
B．－32
C．1
024
D．512
答案 A
解析 由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋
C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.
6．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10
B．11
C．12
D．15
答案 B
解析 分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝C＋C＋1＝11.
7．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．16种
B．36种
C．42种
D．60种
答案 D
解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市1项、一个城市2项，共CA种方法．由分类加法计数原理知，共A＋CA＝60(种)方法．
8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图．现在提供
5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )
A．120
B．26
C．340
D．420
答案 D
解析 如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：
①区域A有5种颜色可选；
②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；
③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；
④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择．
综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种)．故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列问题属于排列问题的是( )
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从10个人中选2人去扫地
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算
答案 AD
解析 根据题意，依次分析选项：
对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；
对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．
故选AD.
10.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有( )
A．C种
B．C种
C．12种
D．32种
答案 AB
解析 因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有C＝C，选AB.
11．下列关于(a－b)10的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1
024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
答案 ABD
解析 由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1
024，故A正确；二项式系数最大的项为Ca5·(－b)5，是展开式的第6项，故B正确；由展开式的通项Tk＋1＝Ca10－k
(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．
12．将4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，关于放法的种数，下列结论正确的有( )
A．CCCC
B．CA
C．CCA
D．18
答案 BC
解析 根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：
方法一 分2步进行分析：
①先将4个不同的小球分成3组，有C种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法．
则没有空盒的放法有CA种．
方法二 分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A种放法．
则没有空盒的放法有CCA种，故选BC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．
答案 90
解析 根据题意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，
∴xi中有2个1和4个0，或3个1、1个－1和2个0，或4个1和2个－1，共有C＋CC＋C＝90(个)，
∴满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.
14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答)
答案 54
解析 当甲、乙带不同兴趣小组时有AA＝36(种)，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有ACC＝18(种)，根据分类加法计数原理可得共有36＋18＝54(种)．
15．若n的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a＝________，展开式中x2的系数为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 －1 －448
解析 由题意得所以n＝7，a＝－1，
所以7的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2)7－kk＝C27－k(－1)k，
令＝2，解得k＝1.
所以x2的系数为C26(－1)1＝－448.
16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种．
答案 54
解析 根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；
②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况．
综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．
(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．
解 (1)1,2,3,4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4
321，最小再生数为1
234.
(2)需要考查5个正整数中相同数的个数．
若5个正整数各不相同，则有A＝120(个)再生数；
若有2个正整数相同，则有＝60(个)再生数；
若有3个正整数相同，则有＝20(个)再生数；
若有4个正整数相同，则有＝5(个)再生数；
若5个正整数全相同，则有1个再生数．
18．(12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
解 (1)将取出的4个球分成三类：
①取4个红球，没有白球，有C种取法；
②取3个红球，1个白球，有CC种取法；
③取2个红球，2个白球，有CC种取法，
故共有C＋CC＋CC＝115(种)取法．
(2)设取x个红球，y个白球，则
故或或
因此，符合题意的取法有CC＋CC＋CC＝186(种)．
19．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队．
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？
(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)选法．
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8
568(种)选法．
(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有CC＋C＝6
936(种)选法．
(4)方法一 (直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：
1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．
所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14
656(种)选法．
方法二 (间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C－(C＋C)＝14
656(种)选法．
20．(12分)已知n的展开式中的第2项和第3项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
(3)求展开式中所有的有理项．
解 二项式n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－k·k＝Ck(k＝0,1,2，…，n)．
(1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得
C·＝C2，即·n＝2·，
解得n＝5.
(2)展开式中所有二项式系数的和为
C＋C＋C＋…＋C＝25＝32.
(3)二项展开式的通项为
Tk＋1＝Ck(k＝0,1,2，…，5)．
当k＝0,2,4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为
T1＝C0x5＝x5，
T3＝C2x2＝x2，
T5＝C4x－1＝.
21．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
解 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，
①若个位数为0，则共有A＝12(个)符合题意的三位数；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数．
故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数．
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位上的数字为0，则共有A＝12(个)符合题意的“凹数”；
②若十位上的数字为1，则共有A＝6(个)符合题意的“凹数”；
③若十位上的数字为2，则共有A＝2(个)符合题意的“凹数”．
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有AA＝12(个)符合题意的五位数；
②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数；
③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数．
故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．
22．(12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
(3)已知(1＋2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.
解 (1)根据题意得C＋C＝7，即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为C＋C＝＋＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为
m2－7m＋21＝2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9.
当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02.
(3)由题意可得，a＝C＝70，
再根据即
求得k＝5或6，此时，b＝7×28，
∴＝.(共42张PPT)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
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解析 (x－y)n的二项展开式中第m项为
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解析 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果.故选C.
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6.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10
B.11
C.12
D.15
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7.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有
A.16种
B.36种
C.42种
D.60种
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8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图.现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为
A.120
B.26
C.340
D.420
解析 如图所示，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：
①区域A有5种颜色可选；
②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选；
③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选；
④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有
3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择.
综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种).故选D.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部全选对的得
5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列问题属于排列问题的是
A.从10个人中选2人分别去种树和扫地
B.从10个人中选2人去扫地
C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算
√
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解析 根据题意，依次分析选项：
对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；
对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题.
故选AD.
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解析 因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；
②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，故不同走法的种数有
，选AB.
11.下列关于(a－b)10的说法，正确的是
A.展开式中的二项式系数之和是1
024
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
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解析 根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中，且没有空盒子，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：
方法一 分2步进行分析：
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方法二 分2步进行分析：
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解析 根据题意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，
∴满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为______.
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14.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_____种.(用数字作答)
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16.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有_____种.
54
解析 根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有
＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；
综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况.
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数.
(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
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(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.
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解 需要考查5个正整数中相同数的个数.
若5个正整数全相同，则有1个再生数.
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18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解 将取出的4个球分成三类：
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(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
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19.(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队.
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
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(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？
解 分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加.
解 方法一 (直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类：
1内4外；2内3外；3内2外；4内1外.
方法二 (间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，
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(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？
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根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，得
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解 展开式中所有二项式系数的和为
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
解 二项展开式的通项为
当k＝0,2,4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为
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(3)求展开式中所有的有理项.
解 将组成的三位数中所有偶数分为两类，
①若个位数为0，则共有
＝12(个)符合题意的三位数；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数.
故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数.
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21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
解 将这些“凹数”分为三类：
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(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”.
解 将符合题意的五位数分为三类：
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(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.
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22.(12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
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将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为
故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9.
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(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
求得k＝5或6，此时，b＝7×28，
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