§3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点一 二项式定理
一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn.
上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中
Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数．
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项称二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
答案 一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同．
1．(a＋b)n展开式中共有n项．( × )
2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( × )
3．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( × )
4．(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．( √ )
5．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．( × )
一、二项式定理的正用、逆用
例1 (1)求4的展开式．
解 方法一 4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋
C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
解 原式＝C(x＋1)n(－1)0＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
反思感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
跟踪训练1 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解 原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
二、二项展开式的通项的应用
例2 在8中，求：
(1)展开式中含x的一次项；
(2)展开式中所有的有理项．
解 Tk＋1＝C()8－k·k＝C·2－k·，
(1)令4－k＝1，解得k＝4.
所以含x的一次项为T5＝C2－4x＝x.
(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(学生)反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练2 在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
三、求两个多项式积的特定项
例3 (1)若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A．10
B．－10
C．2
D．－2
答案 (1)D (2)C
解析 (1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1，故选D.
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·14·
(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.
反思感悟 求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．
跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答)．
答案 －20
解析 由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
二项式的展开式中特定项的求法
典例 求(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数．
解 方法一 ∵(1＋2x－3x2)5＝[1＋(2x－3x2)]5＝1＋5(2x－3x2)＋10(2x－3x2)2＋10(2x－3x2)3＋5(2x－3x2)4＋(2x－3x2)5＝1＋5x(2－3x)＋10x2(2－3x)2＋10x3(2－3x)3＋5x4(2－3x)4＋x5(2－3x)5.
∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和，即
10C·21·(－3)2＋5C·23·(－3)1＋25＝92.
方法二 ∵(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5·(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，
∴展开式中x5的系数为243－5×405＋270×10－10×90＋5×15－1＝92.
方法三 (1＋2x－3x2)5相当于5个(1＋2x－3x2)相乘，因此要求展开式中含x5项的系数，只需借助二项式定理的原理求解即可：C(2x)5＋C(2x)3·C(－3x2)·1＋C(2x)·C(－3x2)2·12＝92x5.
故展开式中x5的系数为92.
[素养提升] 本例的求解采用了三种方法，其中方法三是最优解，其求解应用了二项式定理的原理，避免了方法一、二计算的繁杂．在学习中要重视数学运算方法的择优，提升数学运算素养．
1.5的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A．－10
B．10
C．－5
D．5
答案 D
2.5的展开式中的常数项为( )
A．80
B．－80
C．40
D．－40
答案 C
3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．x3
B．－x3
C．(1－x)3
D．(x－1)3
答案 A
4．若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝________.
答案 11
5．C·2n＋C·2n－1＋…＋C·2n－k＋…＋C＝________.
答案 3n
解析 原式＝(2＋1)n＝3n.
1．知识清单：
(1)二项式定理．
(2)二项展开式的通项公式．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项．
1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于( )
A．1
B．－1
C．(－1)n
D．3n
答案 C
解析 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2.6的展开式中的常数项为( )
A．60
B．－60
C．250
D．－250
答案 A
解析 6的展开式中的常数项为C()4·2＝60.
3.9的展开式中的第4项是( )
A．56x3
B．84x3
C．56x4
D．84x4
答案 B
解析 由通项知T4＝Cx63＝84x3.
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840
B．－840
C．210
D．－210
答案 A
解析 在通项Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.
5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5
B．5
C．－10
D．10
答案 D
解析 (1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
6．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.
7．如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．
答案 8 28
解析 Tk＋1＝C()n－kk＝C，由题意知，k＝2时，＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C＝28.
8．(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________．(用数字填写答案)
答案 －40
解析 (x2－x－2)4＝[x2－(x＋2)]4，展开后只有(x＋2)4与－Cx2(x＋2)3中含x3项，其系数和为C×2－C×C×22＝－40.
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
解 (1)因为T3＝C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解 由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N＋，∴1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)
＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.
11．(多选)对于二项式n(n∈N＋)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有一次项
答案 AD
解析 二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.
12．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
答案 B
解析 方法一 (1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)m，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·
(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
方法二 (1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
13．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
答案 D
解析 5的展开式的通项为Tk＋1＝C·5－k·(－1)k＝(－1)kC.
令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.
故(x2＋2)·5的展开式的常数项是
(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案 (1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kC.
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是________________．
答案 [5，＋∞)
解析 ∵6的展开式的中间项为第4项，
即f(x)＝T4＝C(x2)6－33＝x3，
∵f(x)≤mx在x∈上恒成立．
∴x3≤mx，即m≥x2在x∈上恒成立，
∴m≥×()2＝5.
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
解 (1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxk，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，
即m＋2n＝12，所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N＋，
所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值．第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角
及二项式定理的应用
学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.3.会用二项式定理解决整除问题．
知识点一 杨辉三角及其性质
当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
图中所示的二项式系数表在我国称为“杨辉三角”，它至少具有以下性质：
(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；
(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
知识点二 二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
与最
大值
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
思考 若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？
答案 n＝7或8或9.
1．二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.( × )
2．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )
一、与杨辉三角有关的问题
例1 杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )
A．第6行
B．第7行
C．第8行
D．第9行
答案 B
解析 由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．
(2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
答案 34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第
34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3.
二、二项展开式的系数和问题
例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
解 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
延伸探究
在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5.
解 (1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
反思感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，
令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
三、二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，
∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C·(3x2)2＝90x6，
T4＝C·(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，
假设Tk＋1项系数最大，则有
∴
即∴≤k≤，
∵k∈N，∴k＝4，
∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝405.
反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．
跟踪训练3 已知n(n∈N＋)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．
解 ∵n的展开式的通项是Tk＋1＝C()n－k·k＝(－2)kC(0≤k≤n，k∈N)，
∴T5＝T4＋1＝24C，T3＝T2＋1＝22C.
∵＝，
∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1，则8＝(1－2)8＝1，
即所求各项系数的和为1.
(2)展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kC
(0≤k≤8，k∈N)．
令＝，解得k＝1，
∴展开式中含的项为
T2＝T1＋1＝(－2)1C＝－16.
(3)展开式的第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数的绝对值分别为C2k－1，C2k，C2k＋1.
若第k＋1项的系数绝对值最大，
则有解得5≤k≤6，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，
即T6＝－1
792，T7＝1
792x－11.
四、二项式定理的应用
例4 (1)试求2
02110除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除．
(1)解 2
02110＝(8×252＋5)10.
∵其展开式中除末项为510外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2
02110除以8的余数与510除以8的余数相同．
又∵510＝255＝(3×8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴510除以8的余数为1，即2
02110除以8的余数也为1.
(2)证明 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．
反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
跟踪训练4 (1)求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N
)能被25整除．
证明 原式＝4·6n＋5n－4
＝4·(5＋1)n＋5n－4
＝4·(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52＋C·51)＋4C＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n.
以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C·(－0.002)＋C·(－0.002)2＋…＋C·(－0.002)6.
由题意知T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000
06<0.001，
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，
故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 A
解析 二项式系数和为2n＝32，∴n＝5.
2．(多选)11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．第8项
答案 BC
解析 由于n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
3．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于( )
A．4
B．－71
C．64
D．199
答案 C
解析 ∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
4．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20
B．21
C．22
D．23
答案 C
解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
5．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．
答案 1 64
解析 令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1．知识清单：
(1)“杨辉三角”及其性质．
(2)二项式系数的性质．
(3)赋值法求各项系数和．
(4)用二项式定理解决整除问题．
2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．
3．常见误区：
(1)赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．
(2)“二项式系数”与“项的系数”不能混淆．
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项
B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项
D．第n－k＋2项
答案 D
解析 第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．
2．已知(1＋x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
答案 B
解析 ∵展开式中只有第7项的二项式系数最大，
∴n＝12，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
∴展开式中奇数项的二项式系数之和为＝211.
3．若(1＋ax)5展开式的系数和为243，则a的值为( )
A．－4
B．－2
C．2
D．3
答案 C
解析 令x＝1，∴(1＋a)5＝243＝35，
∴1＋a＝3，
∴a＝2.
4．若C＝C(n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于( )
A．81
B．27
C．243
D．729
答案 A
解析 由C＝C，可得n＝4(n＝－4舍)．
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81.
5．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1
024，则中间项系数是( )
A．330
B．462
C．682
D．792
答案 B
解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1
024，∴n＝11，
∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462.
6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
答案 5
解析 (7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
7．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项为________．
答案 x4
解析 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C××(2x)4＝x4.
8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.
答案 7
解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
10．已知(1＋mx)n(m为正实数)的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x2项的系数为84.
(1)求m，n的值；
(2)求含x奇数次幂的系数和．
解 (1)(1＋mx)n的展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(mx)k＝mk·C·xk，
所以解得
(2)(1＋mx)n＝(1＋2x)7，令(1＋2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令含x的奇数次幂的系数和＝a1＋a3＋a5＋a7.
令x＝1，得37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
令x＝－1，得－1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7，
两式相减，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝1
094，
所以含x的奇数次幂的系数和为1
094.
11．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A．21
B．35
C．45
D．28
答案 B
解析 ∵Tk＋1＝C(3x)k＝3kCxk，又由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，故选B.
12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
13．(多选)设二项式n的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第8项
B．第9项
C．第10项
D．第11项
答案 CD
解析 因为展开式的第5项为T5＝C，所以令－4＝1，解得n＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.
14．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.
答案 6
解析 (x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为C，
∴a＝C.同理，b＝C.
∵13a＝7b，∴13·C＝7·C.
∴13·＝7·.∴m＝6.
15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
A．a＝1，b＝2，n＝5
B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6
D．a＝－1，b＝－2，n＝5
答案 AD
解析 只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.
16．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
解 (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tk＋1＝Cmk，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)∵(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
∴含x2项的系数为C24－C22＝1
008.(共68张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解二项式系数的性质并灵活运用.
2.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二
项式系数.
3.会用二项式定理解决整除问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 杨辉三角及其性质
当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
图中所示的二项式系数表在我国称为“杨辉三角”，它至少具有以下性质：
(1)每一行都是
的，且两端的数都是
；
(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之
.
对称
1
和
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“
”的两个二项式系数相等，即
＝
______
增减性
与最
大值
增减性：当k<
时，二项式系数是逐渐
；当k>
时，二项式系数是逐渐
.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数____最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数______，_______相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
知识点二 二项展开式的通项
等距离
增大的
减小的
2n
2n－1
思考 若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？
答案 n＝7或8或9.
2.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、与杨辉三角有关的问题
例1 杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是
A.第6行
B.第7行
C.第8行
D.第9行
√
解析 由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.
反思感悟
解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.
(2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，
解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3.
二、二项展开式的系数和问题
例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
解 令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
解 由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
(3)a1＋a3＋a5.
解 因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
延伸探究
在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
解 因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5.
反思感悟
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
跟踪训练2 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，
令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
6
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.
解 令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
解 由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
三、二项式系数性质的应用
解 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，
∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为
(2)求展开式中系数最大的项.
∵k∈N，∴k＝4，
反思感悟
(1)二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用
∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去).
(2)求展开式中含
的项；
∴展开式中含
的项为
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，
即T6＝－1
792
，T7＝1
792x－11.
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
若第k＋1项的系数绝对值最大，
四、二项式定理的应用
例4 (1)试求2
02110除以8的余数；
解 2
02110＝(8×252＋5)10.
∵其展开式中除末项为510外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2
02110除以8的余数与510除以8的余数相同.
又∵510＝255＝(3×8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴510除以8的余数为1，即2
02110除以8的余数也为1.
证明 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.
素养
提升
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
跟踪训练4 (1)求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N
)能被25整除.
证明 原式＝4·6n＋5n－4
＝4·(5＋1)n＋5n－4
以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，
故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于
A.5
B.6
C.7
D.8
√
解析 二项式系数和为2n＝32，∴n＝5.
1
2
3
4
5
√
√
1
2
3
4
5
3.设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于
A.4
B.－71
C.64
D.199
√
解析 ∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
4.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于
A.20
B.21
C.22
D.23
1
2
3
4
5
√
解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
5.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为____；各项的二项式系数的和为______.
1
2
3
4
5
解析 令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1
64
1.知识清单：
(1)“杨辉三角”及其性质.
(2)二项式系数的性质.
(3)赋值法求各项系数和.
(4)用二项式定理解决整除问题.
2.方法归纳：一般与特殊、函数与方程.
3.常见误区：
(1)赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项.
(2)“二项式系数”与“项的系数”不能混淆.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是
A.第n－k项
B.第n－k－1项
C.第n－k＋1项
D.第n－k＋2项
基础巩固
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√
2.已知(1＋x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为
A.212
B.211
C.210
D.29
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√
解析 ∵展开式中只有第7项的二项式系数最大，
∴n＝12，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
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3.若(1＋ax)5展开式的系数和为243，则a的值为
A.－4
B.－2
C.2
D.3
√
解析 令x＝1，∴(1＋a)5＝243＝35，
∴1＋a＝3，
∴a＝2.
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√
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81.
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解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1
024，∴n＝11，
√
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6.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_____.
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8.若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____.
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7
解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
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解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
9.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
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解 各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(2)各项系数之和；
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(3)所有奇数项系数之和.
解 令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
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10.已知(1＋mx)n(m为正实数)的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x2项的系数为84.
(1)求m，n的值；
解 (1＋mx)n的展开式的通项公式为
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(2)求含x奇数次幂的系数和.
解 (1＋mx)n＝(1＋2x)7，令(1＋2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令含x的奇数次幂的系数和＝a1＋a3＋a5＋a7.
令x＝1，得37＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
令x＝－1，得－1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7，
所以含x的奇数次幂的系数和为1
094.
综合运用
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11.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为
A.21
B.35
C.45
D.28
√
12.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为
A.7
B.8
C.9
D.10
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√
解析 由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
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√
√
所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项.故选CD.
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6
14.设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝____.
拓广探究
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15.(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为
A.a＝1，b＝2，n＝5
B.a＝－2，b＝－1，n＝6
C.a＝－1，b＝2，n＝6
D.a＝－1，b＝－2，n＝5
√
√
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解析 只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.
如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.
根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.
解 由题意可得2n＝256，解得n＝8，
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解得m＝2或m＝－2(舍去).
故m，n的值分别为2,8.
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(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(共57张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 二项式定理
一般地，当n是正整数时，
有(a＋b)n＝___________________________________.
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第
项称二项展开式的通项，记作Tk＋1＝
.
思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
k＋1
1.(a＋b)n展开式中共有n项.(
)
2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(
)
3.
an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项.(
)
4.(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.(
)
5.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、二项式定理的正用、逆用
反思感悟
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
二、二项展开式的通项的应用
(2)展开式中所有的有理项.
反思感悟
求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
三、求两个多项式积的特定项
例3 (1)若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1
√
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
C.2
D.－2
√
反思感悟
跟踪训练3
(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______(用数字作答).
－20
二项式的展开式中特定项的求法
典例 求(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数.
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
解 方法一 ∵(1＋2x－3x2)5＝[1＋(2x－3x2)]5＝1＋5(2x－3x2)＋10(2x－3x2)2＋10(2x－3x2)3＋5(2x－3x2)4＋(2x－3x2)5＝1＋5x(2－3x)＋10x2(2－3x)2＋10x3(2－3x)3＋5x4(2－3x)4＋x5(2－3x)5.
∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和，即
方法二 ∵(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5·(1＋3x)5＝(1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5)·(1＋15x＋90x2＋270x3＋405x4＋243x5)，
∴展开式中x5的系数为243－5×405＋270×10－10×90＋5×15－1＝92.
方法三 (1＋2x－3x2)5相当于5个(1＋2x－3x2)相乘，因此要求展开式中含x5项的系数，只需借助二项式定理的原理求解即可：
故展开式中x5的系数为92.
素养
提升
本例的求解采用了三种方法，其中方法三是最优解，其求解应用了二项式定理的原理，避免了方法一、二计算的繁杂.在学习中要重视数学运算方法的择优，提升数学运算素养.
3
随堂演练
PART
THREE
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2
3
4
5
√
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4
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√
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4
5
3.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于
A.x3
B.－x3
C.(1－x)3
D.(x－1)3
√
4.若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝______.
1
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11
1
2
3
4
5
解析 原式＝(2＋1)n＝3n.
3n
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
1.知识清单：
(1)二项式定理.
(2)二项展开式的通项公式.
2.方法归纳：转化化归.
4
课时对点练
PART
FOUR
解析 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
基础巩固
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5.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
B.5
C.－10
D.10
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6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)
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28
8.(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为______.(用数字填写答案)
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所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
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(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
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10.已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
解 由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N＋，∴1≤m≤18.
＝m2－19m＋171.
综合运用
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令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.
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(2)含x的整数次幂的项有_____个.
拓广探究
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[5，＋∞)
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16
16.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
解 当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
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(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
1
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解 h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
即m＋2n＝12，所以m＝12－2n.
所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值.
