(共55张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义.
2.掌握简单的条件概率的计算问题.
3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 条件概率
名称
定义
符号表示
计算公式
条件概率
一般地，当事件B发生的概率
，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
______
P(A|B)
＝
，
_________
_________
_____
大于0(即P(B)>0)时
P(A|B)
P(A∩B)
P(B)
P(B)>0
思考 P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？
答案 P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同.
1.对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B).(
)
2.若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(
)
3.P(B|A)＝P(A∩B).(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、求条件概率
例1 (1)把一枚质地均匀的硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝______.
解析 ∵事件A所包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，事件A∩B所包含的基本事件有(正，正)，
(2)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个样本点.在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个样本点，
延伸探究
若本例改为：甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).
解 甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个样本点，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个样本点.
反思感悟
条件概率的题目原型与求解方法
(1)题目原型：在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率.
解 设A＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}.
跟踪训练1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人.全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人.如果要在班内任选1人当学生代表.
(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；
(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；
(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；
(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率.
二、条件概率的实际应用
例2 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
厂别
数量
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1
119
次品
25
56
81
合计
500
700
1
200
从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_____；已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是______.
反思感悟
条件概率实际应用问题的关注点
(1)关键：理清条件和结论，建立条件概率模型.
(2)注意：B∩A事件的含义.
跟踪训练2 晚会后，甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二人相邻的概率是_____.
解析 设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B，
A∩B表示事件“甲、乙且乙、丙相邻”，
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
1
2
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4
5
√
1
2
3
4
5
3.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是
√
解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是
.
4.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为_____.
1
2
3
4
5
解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)＝0.5，P(A∩B)＝0.4，
0.8
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4
5
1
2
3
4
5
解析 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}，
1.知识清单：
(1)条件概率的公式及求解.
(2)条件概率的实际应用问题.
2.方法归纳：列举法、转化法.
3.常见误区：P(A|B)和P(B|A)含混致误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1
2
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4
5
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7
8
9
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11
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15
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√
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解析 设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，
2.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是
A.0.2
B.0.33
C.0.5
D.0.6
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√
解析 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
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3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于
√
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√
解析 设事件A表示“第一次取到新球”，事件B表示“第二次取到新球”.
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√
√
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解析 设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图.
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6.已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝________.
0.75
7.一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.则P(B|A)＝______.
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8.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为_____.
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解析 记“寿命超过500小时”为事件A，
“寿命超过800小时”为事件B，则所求事件为B|A，
因为B?A，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，
P(B∩A)＝P(B)＝0.8，
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9.在5道题中有3道数学题和2道语文题.如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率.
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解 设第1次抽到数学题为事件A，第2次抽到数学题为事件B，则第1次和第2次都抽到数学题为事件A∩B.
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所以在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率为
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10.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
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解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件A∩B.
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(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
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(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解 方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
方法二 因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
综合运用
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11.(多选)下列说法不正确的是
A.P(B|A)
B.P(B|A)＝
是可能的
C.0D.P(A|A)＝0
√
√
√
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由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D不正确.
12.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为
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√
解析 记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2).由题意可知，要求的概率为P(A2|A1).
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√
14.抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数.若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝______.
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拓广探究
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15.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是_____.
解析 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，
解 记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个.
解得x＝5，即白球的个数为5.
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(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率.
解 令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，§4.1 条件概率与事件的独立性
4．1.1 条件概率
学习目标 1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义.2.掌握简单的条件概率的计算问题.3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题．
知识点 条件概率
名称
定义
符号表示
计算公式
条件概率
一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
P(A|B)
P(A|B)
＝
，P(B)>0
思考 P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？
答案 P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同．
1．对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．( × )
2．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( × )
3．P(B|A)＝P(A∩B)．( × )
一、求条件概率
例1 (1)把一枚质地均匀的硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
答案
解析 ∵事件A所包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，事件A∩B所包含的基本事件有(正，正)，
∴P(A)＝，P(A∩B)＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
(2)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个样本点．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个样本点，所以所求概率P＝＝.
延伸探究
若本例改为：甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解 甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个样本点，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个样本点．所以P(B|A)＝＝.
反思感悟 条件概率的题目原型与求解方法
(1)题目原型：在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．
(2)求解方法：
①在原样本空间中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)；
②若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．
跟踪训练1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；
(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；
(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；
(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率．
解 设A＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}．
(1)P(A)＝＝.
(2)P(B)＝＝.
(3)P(A∩B)＝＝.
(4)方法一 P(A|B)＝＝＝.
方法二 P(A|B)＝＝.
二、条件概率的实际应用
例2 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
厂别
数量
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1
119
次品
25
56
81
合计
500
700
1
200
从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
答案
解析 从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
方法一 已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
方法二 设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.
(学生)
反思感悟
条件概率实际应用问题的关注点
(1)关键：理清条件和结论，建立条件概率模型．
(2)注意：B∩A事件的含义．
(3)公式：P(A|B)＝，P(B|A)＝.
跟踪训练2 晚会后，甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二人相邻的概率是________．
答案
解析 设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)＝＝，A∩B表示事件“甲、乙且乙、丙相邻”，故P(A∩B)＝＝，于是P(B|A)＝＝.
1．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝，P(B)＝，则P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由P(A|B)＝＝＝.
2．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案 C
解析 P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
答案 B
解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是.
4．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为________．
答案 0.8
解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，
则P(A)＝0.5，P(A∩B)＝0.4，
则P(B|A)＝＝0.8.
5．某产品长度合格的概率为，质量合格的概率为，长度、质量都合格的概率为，任取一件产品，已知其质量合格，则它的长度也合格的概率为________．
答案
解析 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}，
则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
任取一件产品，已知其质量合格，它的长度也合格即为A|B，其概率P(A|B)＝＝.
1．知识清单：
(1)条件概率的公式及求解．
(2)条件概率的实际应用问题．
2．方法归纳：列举法、转化法．
3．常见误区：P(A|B)和P(B|A)含混致误．
1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝＝＝.
2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2
B．0.33
C．0.5
D．0.6
答案 A
解析 记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝＝＝.故选B.
4．学校体育器械室1号箱装有10个篮球，其中有6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设事件A表示“第一次取到新球”，事件B表示“第二次取到新球”．
则n(A)＝CC，n(A∩B)＝CC.
P(B|A)＝＝＝.
5．(多选)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则有( )
A．P(A)＝
B．P(B)＝
C．P(A∩B)＝
D．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为
答案 AB
解析 设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x，y)，建立一一对应的关系，由题意作图如图．
显然：P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝，P(B|A)＝＝，或P(B|A)＝＝＝.
6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)＝________.
答案 0.75
解析 因为P(A|B)＝，所以P(A∩B)＝0.3.所以P(B|A)＝＝＝0.75.
7．一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.则P(B|A)＝________.
答案
解析 由古典概型的概率计算公式可知P(A)＝，
P(A∩B)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝.
8．有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________．
答案
解析 记“寿命超过500小时”为事件A，
“寿命超过800小时”为事件B，则所求事件为B|A，
因为B?A，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，
P(B∩A)＝P(B)＝0.8，
所以P(B|A)＝
＝.
9．在5道题中有3道数学题和2道语文题．如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率．
解 设第1次抽到数学题为事件A，第2次抽到数学题为事件B，则第1次和第2次都抽到数学题为事件A∩B.
从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为A＝20.
事件A所含样本点的总数为A×A＝12.
故P(A)＝＝.
因为事件A∩B有A＝6(个)样本点，
所以P(A∩B)＝＝.
所以在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率为
P(B|A)＝＝＝.
10．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件A∩B.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的样本点n(Ω)＝A＝30，
根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝A＝12，
于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
11．(多选)下列说法不正确的是( )
A．P(B|A)B．P(B|A)＝是可能的
C．0D．P(A|A)＝0
答案 ACD
解析 由条件概率公式P(B|A)＝及012．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)．由题意可知，要求的概率为P(A2|A1)．因为P(A1)＝，P(A1∩A2)＝＝，所以P(A2|A1)＝＝＝.
13．将三颗骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数都不相同”，B表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为P(A|B)＝，P(A∩B)＝＝＝＝，
P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝.
所以P(A|B)＝＝＝.
14．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝________.
答案
解析 ∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
15．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是________．
答案
解析 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(A∩B)＝A，
P(B|A)＝＝.
16．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数；
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个．
则P(A)＝1－＝，
解得x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(B∩C)＝＝＝，
P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.