4.1.2 乘法公式与全概率公式
学习目标 1.会应用乘法公式计算概率.2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．
知识点一 乘法公式
1．公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)．
2．意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出事件A与B同时发生的概率．
知识点二 全概率公式
1．全概率公式：一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
2．定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
(1)任意两个事件互斥，即AiAj＝?，i≠j，i，j＝1,2，…，n；
(2)A1＋A2＋…＋An＝Ω；
(3)P(Ai)＞0
，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．
思考
在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？
答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式．
知识点三 贝叶斯公式
一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝＝.
1．P(AB)＝P(A)P(A|B)．( × )
2．全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为i＝Ω.( × )
3．贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率．( √ )
一、乘法公式
例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
答案 0.4
解析 记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
反思感悟 应用乘法公式的关注点
(1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式．
(2)用途：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率．
(3)拓广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)·P(A)．
跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为________．
答案
解析 设Ai(i＝1,2)为第i次抽到合格品的事件，则有
P(1A2)＝P(1)·P(A2|1)＝×＝.
二、全概率公式
命题角度1 两个事件的全概率问题
例2 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解 如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
(学生)反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为，乙厂每箱装120个，废品率为，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
解 记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝，P(C|B)＝，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝，P(C|B)＝，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
命题角度2 定理1的应用
例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级射手7人．一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率．
解 设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”．
设事件Bi表示“射手是第i级射手”(i＝1,2,3)，
显然，Ω＝B1＋B2＋B3.
且P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝，
P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.7，
P(A|B3)＝0.5.
由全概率公式得到P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)．
＝0.9×＋0.7×＋0.5×
＝0.68.
反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解 (1)从甲箱中任取2个产品的样本点有C＝＝28(个)，
这2个产品都是次品的样本点有C＝3(个)，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
三、贝叶斯公式的应用
例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．
解 记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知
P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.
(1)由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.
(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得
P(A1|B)＝＝＝.
反思感悟 条件概率的内含
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．
跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
P(B3|A)＝＝＝＝.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
1．第一个袋中有黑、白球各2只，
第二个袋中有黑、白球各
3
只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一、二次均取到白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝(1－0.03)＋(1－0.02)＝＝.
3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )
A．0.013
B．0.04
C．0.002
D．0.003
答案 A
解析 设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，
P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．
答案
解析 设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝·＋·＋·＝.
5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
答案 (1)1.47% (2)
解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝＝＝.
1．知识清单：
(1)乘法公式及应用．
(2)全概率公式及应用．
(3)贝叶斯公式及应用．
2．方法归纳：化整为零、转化化归．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( )
A．0.85
B．0.65
C．0.145
D．0.075
答案 C
解析 设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”．则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8
B．0.532
C．0.482
5
D．0.312
5
答案 C
解析 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482
5.
3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是( )
A．0.012
45
B．0.057
86
C．0.026
25
D．0.028
65
答案 C
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026
25.
4．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
5．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R＝“第二次取出的球是红球”，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
P(R|B)＝，
P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝.
6．袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．
答案
解析 设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，
∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝·＋·＝.
7．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 64%
解析 记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记B为事件“股票价格上涨”．
依题设知P(A)＝60%，P()＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%，
于是P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
8．设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的概率为________．
答案 0.55
解析 Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，
∵P(A0)＝＝，P(A|A0)＝1，P(A1)＝＝，
P(A|A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A|A2)＝＝，
∴第二次摸出的2只全是好的概率为P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)
＝×＋×＋＝0.55.
9．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果中靶，求该枪未校正的概率．
解 设A表示枪已校正，B表示射击中靶，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6.
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0.9＋×0.4＝0.7.
(2)P(|B)＝＝＝＝.
10．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
解 设Ai＝“此人来自第i个地区”，i＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B＝“感染此病”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.
由全概率公式得
(1)P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝.
(2)P(A2|B)＝＝.
11．设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝＋＋＋＝.
12．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为第k箱，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式，得P(A)＝(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝＝.
13．若从数字1,2,3,4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设事件Ai表示取出数字i，i＝1,2,3,4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＝.
14．已知某品牌的手机从1
m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，则这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为________．
答案 0.15
解析 设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
15．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则
(1)先取出的零件是一等品的概率为________；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率约为________．
答案 (1) (2)0.22
解析 设Ai＝“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj＝“第j次取到的是一等品”，j＝1,2，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝.
P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，
P(B1|A3)＝＝0.6，
由全概率公式得P(B1)＝(Ai)P(B1|Ai)
＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝.
(2)因为P(B1B2|A1)＝≈0.155
1，
P(B1B2|A2)＝≈0.151
7，
P(B1B2|A3)＝≈0.353
8.
由全概率公式得P(B1B2)＝(Ai)P(B1B2|Ai)
≈(0.155
1＋0.151
7＋0.353
8)≈0.22.
16．玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2个次品的概率分别为，，，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回．求顾客买下该箱玻璃杯的概率．
解 设Ai＝“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0,1,2)”，B＝“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，
由题意知，P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝.
∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×1＋×＋×＝.(共67张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.会应用乘法公式计算概率.
2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 乘法公式
同时发生
1.公式：P(BA)＝P(A)P(B|A).
2.意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出事件A与B
的概率.
P(B)＝________________________.
2.定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
(1)任意两个事件
，即AiAj＝?，i≠j，i，j＝1,2，…，n；
知识点二 全概率公式
互斥
(2)A1＋A2＋…＋An＝
；
(3)P(Ai)＞0
，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
且P(B)＝_________________________.
思考
在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？
答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.
Ω
知识点三 贝叶斯公式
1.P(AB)＝P(A)P(A|B).(
)
2.全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为
＝Ω.(
)
3.贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、乘法公式
例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_____.
解析 记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
0.4
反思感悟
应用乘法公式的关注点
(1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式.
(2)用途：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率.
(3)拓广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)·P(A).
解析 设Ai(i＝1,2)为第i次抽到合格品的事件，则有
跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为______.
二、全概率公式
解 如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，
反思感悟
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与
).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
解 记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
命题角度2 定理1的应用
例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级射手7人.一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率.
解 设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”.
设事件Bi表示“射手是第i级射手”(i＝1,2,3)，
显然，Ω＝B1＋B2＋B3.
P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.7，P(A|B3)＝0.5.
由全概率公式得到P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3).
反思感悟
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝
(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
解
设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
三、贝叶斯公式的应用
例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件.
(1)求取到的是次品的概率；
解 记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”.则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知
P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.
解 由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得
反思感悟
条件概率的内含
(1)公式P(A1|B)＝
反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系.
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重.
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
由全概率公式得P(A)＝
(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起.
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 由贝叶斯公式得
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
解析 设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”.则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
1
2
3
4
5
3.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是
A.0.013
B.0.04
C.0.002
D.0.003
√
解析 设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
4.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为______.
1
2
3
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5
解析 设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.
1
2
3
4
5
5.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为_______；
1.47%
解析 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”.
P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
1
2
3
4
5
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为______.
1.知识清单：
(1)乘法公式及应用.
(2)全概率公式及应用.
(3)贝叶斯公式及应用.
2.方法归纳：化整为零、转化化归.
3.常见误区：事件拆分不合理或不全面.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
解析 设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”.
则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝
(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.
基础巩固
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16
1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为
A.0.85
B.0.65
C.0.145
D.0.075
√
2.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为
A.0.8
B.0.532
C.0.482
5
D.0.312
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解析 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝
(Ai)·P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482
5.
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3.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是
A.0.012
45
B.0.057
86
C.0.026
25
D.0.028
65
√
解析 用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
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解析 设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
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解析 设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，
B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，
R＝“第二次取出的球是红球”，
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6.袋中装有编号为1,2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为____________.
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7.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________.
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64%
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8.设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的概率为________.
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0.55
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解析 Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，
∴第二次摸出的2只全是好的概率为P(A)＝P(A2)·P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)P(A|A0)
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9.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
解 设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
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(2)若任取一支枪射击，结果中靶，求该枪未校正的概率.
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解 设Ai＝“此人来自第i个地区”，i＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，B＝“感染此病”，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
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(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率.
综合运用
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11.设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为
√
解析 设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0,1,2,3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，
12.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为
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解析 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为第k箱，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.
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14.已知某品牌的手机从1
m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，则这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为_____.
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0.15
解析 设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
拓广探究
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15.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则
(1)先取出的零件是一等品的概率为______；
解析 设Ai＝“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj＝“第j次取到的是一等品”，j＝1,2，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
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(2)两次取出的零件均为一等品的概率约为________.
0.22
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解 设Ai＝“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0,1,2)”，B＝“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，
