4．1.3 独立性与条件概率的关系
学习目标 1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断.2.会求相互独立事件同时发生的概率.3.能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．
知识点
事件A与B独立的充要条件
当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是
P(A|B)＝P(A)，事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”．
思考 “A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)”，与“A与B独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)”矛盾吗？
答案 不矛盾．由条件概率公式P(A|B)＝，当P(AB)＝P(A)P(B)时，有P(A|B)＝＝P(A)．
1．若事件A与事件B相互独立，且P(A)＞0时，有P(B|A)＝P(B)．( √ )
2．若事件A与B相互独立，则B与相互独立，，也相互独立．( × )
3．如果两个事件是对立事件，那么它们一定是相互独立事件．( × )
一、相互独立事件的判断
例1 (多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
答案 AC
解析 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1,3,5点，P(A)＝，在事件B发生的条件下事件A发生的概率P(A|B)＝＝
P(A)
，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件．
反思感悟 (1)两个事件是否相互独立的判断方法
①意义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
②充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
(2)互斥事件与相互独立事件的区别：
互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件以能够同时发生为前提．
跟踪训练1 一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
答案 A
解析 事件A1是否发生对事件A2的发生没有影响，故A1与A2是相互独立事件．
二、相互独立事件同时发生的概率
例2 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率．
解 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝A，则P(D)＝P(A)＝P(A)·P()＝0.5×0.4＝0.2.
(学生)
反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率的关注点
(1)条件：各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
(2)公式：P(A1A2…Ai)＝P(A1)P(A2)…P(Ai)．
跟踪训练2 2020年初，新冠肺炎疫情肆虐全球，各国医疗科研机构都在加紧研制疫苗．如果A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.
求：(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)只有A机构研制出疫苗的概率．
解 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，
故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)
只有A机构研制出疫苗即事件A，，同时发生，
所以P＝P(A)P()P()＝××＝.
三、相互独立事件概率的综合问题
例3 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
反思感悟 相互独立事件概率的综合问题的解题策略
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
跟踪训练3 2020年5月30日，张老师乘火车从济南到北京去开会，若当天从济南到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.8,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.8，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.2，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为：
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.8×0.9＋0.8×0.2×0.9＋0.8×0.8×0.1
＝0.352.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(
)＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.2×0.1＝0.996.
1．甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
答案 A
解析 对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
2．若P(A|B)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
答案 C
解析 因为P(A|B)＝P(A)＝，所以事件A与B相互独立．
3．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )
A．0.2
B．0.8
C．0.4
D．0.3
答案 D
解析 事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P＝0.6×0.5＝0.3.
4．已知事件A，B相互独立，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，则P(A|B)＝________.
答案 0.4
解析 因为事件A，B相互独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.4.
5．加工某零件需经过三道工序，每道工序均为正品时该零件才为正品．设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的正品率为________．
答案
解析 加工出来的零件的正品率为××＝.
1．知识清单：
(1)事件独立性的判断．
(2)求相互独立事件同时发生的概率．
2．方法归纳：正难则反．
3．常见误区：混淆互斥事件与相互独立事件致误．
1．已知事件A，B相互独立，且P()＝0.5，P()＝0.3，则P(B|A)等于( )
A．0.7
B．0.5
C.
0.3
D．0.2
答案 A
解析 因为P()＝0.3，所以P(B)＝0.7，因为事件A，B相互独立，所以P(B|A)＝P(B)＝0.7.
2．(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是( )
A．A与B
B．A与C
C．B与C
D．都不具有独立性
答案 ABC
解析 利用古典概型概率计算公式可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
3．(多选)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，则( )
A．甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为
B．甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为
C．至少有一个气象台预报准确的概率为
D．至少有一个气象台预报准确的概率为
答案 AC
解析 记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
所以甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为
P(AB)＝P(A)×P(B)＝×＝.
至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P()＝1－P()×P()＝1－×＝.
4．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于( )
A．0.3
B．0.4
C．0.5
D．0.6
答案 A
解析 因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立．
因为P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，
所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，
所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.
5．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( )
A．1
B.
C.
D.
答案 C
解析 一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为××＝；②B解出，A，C解不出，概率为××＝；③C解出，A，B解不出，概率为××＝.所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.
6．李明早上要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
答案 0.98
解析 设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
7.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B________(填是或不是)相互独立事件．
答案 是
解析 因为52张牌中有4张K，所以P(A)＝＝，红牌有26张，红K有2张，所以在抽得红牌的条件下抽得K的概率P(A|B)＝＝＝P(A)，因此事件A与B相互独立．
8.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
答案
解析 青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
9．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件1∩2∩A3，且这三次试跳相互独立．
∴P(1∩2∩A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
11．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．
方法一 B＝A1＋1A2，
故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝.
方法二 P(B)＝1－P(1
2)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝.
12.某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1－，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－＝(1－p)4，解得p＝或p＝(舍去)．
13．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
答案
解析 ∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，
∴P()＝，即P(C)＝.
又P(C)＝P()·P(C)＝，
∴P()＝，P(B)＝.
又P(AB)＝，则P(A)＝，
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
14．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为，则一个试验组为甲类组的概率为________．
答案
解析 设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：P(A0)＝×＝，
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
所以一个试验组为甲类组的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
15．四人打麻将，小王最后手中牌除了一张6筒和一张一万外，其他都已成牌，他下一张牌会摸到是4筒或5筒．如果听坎5筒和牌的概率是20%，听4,7筒和牌的概率是40%.则小王和牌的概率为________．(手牌中已有6筒，如果再摸到4筒，此时停牌叫听坎5筒．手牌中有6筒，如果再摸到5筒，此时停牌叫听4,7筒)
答案 0.3
解析 有两种情况：
(1)手中的牌有50%的概率摸到4筒，则打出一万，听坎5筒，有20%的概率和牌．摸到4筒与听坎5筒和牌相互独立，故和牌概率为：0.5×0.2＝0.1.
(2)手中牌有50%的概率摸到5筒，则打出一万，听4,7筒，有40%的概率和牌．摸到5筒与听4,7筒和牌相互独立，故和牌概率为：0.5×0.4＝0.2.
以上两种情况互斥，故小王和牌的概率为0.1＋0.2＝0.3.
16．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
解 (1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为1·2·3·4·5.
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
P(1·2·3·4·5)＝P(1)·P(2)·P(3)·P(4)·P(5)＝(1－0.2)5＝5.
∴敌机未被击中的概率为5.
(2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：
敌机被击中的概率为1－n，
∴令1－n≥0.9，∴n≤，
两边取常用对数，得n≥≈10.3.
∵n∈N＋，∴n＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．(共62张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进
行判断.
2.会求相互独立事件同时发生的概率.
3.能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是
P(A|B)＝
，事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B
”.
思考 “A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)”，与“A与B独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)”矛盾吗？
知识点
事件A与B独立的充要条件
互不影响
P(A)
答案 不矛盾.
1.若事件A与事件B相互独立，且P(A)＞0时，有P(B|A)＝P(B).(
)
3.如果两个事件是对立事件，那么它们一定是相互独立事件.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、相互独立事件的判断
例1 (多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是
A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，
B＝“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
√
√
解析 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；
B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；
对于C，A事件为出现1,3,5点，P(A)＝
，在事件B发生的条件下事件A发生的概率P(A|B)＝
＝P(A)
，事件A，B相互独立；
D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件.
反思感悟
(1)两个事件是否相互独立的判断方法
①意义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
②充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(A|B)＝P(A).
(2)互斥事件与相互独立事件的区别：
互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件以能够同时发生为前提.
跟踪训练1 一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
解析 事件A1是否发生对事件A2的发生没有影响，故A1与A2是相互独立事件.
√
二、相互独立事件同时发生的概率
例2 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
解 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客只购买甲商品”.
易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)进入商场的1位顾客只购买甲商品的概率.
反思感悟
求相互独立事件同时发生的概率的关注点
(1)条件：各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
(2)公式：P(A1A2…Ai)＝P(A1)P(A2)…P(Ai).
解 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，
他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
三、相互独立事件概率的综合问题
例3 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为
若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
解 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3).
三人都合格的概率：
(2)三人都不合格的概率；
解 三人都不合格的概率：
(3)出现几人合格的概率最大.
解 恰有两人合格的概率：
恰有一人合格的概率：
综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.
反思感悟
相互独立事件概率的综合问题的解题策略
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(
)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件).
跟踪训练3 2020年5月30日，张老师乘火车从济南到北京去开会，若当天从济南到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.8,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.8，P(C)＝0.9，
由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为：
＝0.2×0.8×0.9＋0.8×0.2×0.9＋0.8×0.8×0.1＝0.352.
解 三列火车至少有一列正点到达的概率为
＝1－0.2×0.2×0.1＝0.996.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
3
随堂演练
PART
THREE
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1.甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
√
解析 对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；
对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.
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3.某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为
A.0.2
B.0.8
C.0.4
D.0.3
√
解析 事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P＝0.6×0.5＝0.3.
4.已知事件A，B相互独立，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，则P(A|B)＝______.
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解析 因为事件A，B相互独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.4.
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1.知识清单：
(1)事件独立性的判断.
(2)求相互独立事件同时发生的概率.
2.方法归纳：正难则反.
3.常见误区：混淆互斥事件与相互独立事件致误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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2.(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是
A.A与B
B.A与C
C.B与C
D.都不具有独立性
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解析 利用古典概型概率计算公式可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
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解析 记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
所以甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为
至少有一个气象台预报准确的概率为
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所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.
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6.李明早上要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_______.
0.98
解析 设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
7.从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，则事件A与B_____(填是或不是)相互独立事件.
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是
8.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是______.
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解析 青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.
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9.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立.
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(2)家庭中有三个小孩.
解 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.
这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.
从而事件A与B是相互独立的.
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10.甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
解 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立.
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(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.
解 记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
综合运用
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11.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
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解析 设Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军.
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14.A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为
，服用B有效的概率为
，则一个试验组为甲类组的概率为______.
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解析 设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.
所以一个试验组为甲类组的概率为
拓广探究
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15.四人打麻将，小王最后手中牌除了一张6筒和一张一万外，其他都已成牌，他下一张牌会摸到是4筒或5筒.如果听坎5筒和牌的概率是20%，听4,7筒和牌的概率是40%.则小王和牌的概率为_____.(手牌中已有6筒，如果再摸到4筒，此时停牌叫听坎5筒.手牌中有6筒，如果再摸到5筒，此时停牌叫听4,7筒)
0.3
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解析 有两种情况：
(1)手中的牌有50%的概率摸到4筒，则打出一万，听坎5筒，有20%的概率和牌.摸到4筒与听坎5筒和牌相互独立，故和牌概率为：0.5×0.2＝0.1.
(2)手中牌有50%的概率摸到5筒，则打出一万，听4,7筒，有40%的概率和牌.摸到5筒与听4,7筒和牌相互独立，故和牌概率为：0.5×0.4＝0.2.
以上两种情况互斥，故小王和牌的概率为0.1＋0.2＝0.3.
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16.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
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∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，
∴敌机未被击中的概率为
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(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
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解 设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：
∵n∈N＋，∴n＝11.
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
