沪教版（上海）数学八年级下册：20.4 一次函数的应用（3） 教案

20.4一次函数的应用（3）
初探平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题
【设计意图】
平面直角坐标系中图形位置的确定，是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。本节课是从综合题中抽取出几何模型，把综合题分解为若干小综合题，通过一题多变，由易到难的引申，实现对常规方法的归纳和总结。本节课还注意对数学思想方法的复习，始终强调数形结合的基本思想，强化分类讨论的意识和方法。
【教学目标】
1.教学目标：
（1）先复习平行四边形的性质，接着从解决书后一个练习题入手，通过变式训练，将ABC补成平行四边形，进一步理解图形变换；
（2）再把几何图形放在平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结；通过题后小结，提高学习效果，同时提高解题能力；
（3）将专题细化，一题多变，充分引申，最大限度的发挥例题的作用。掌握数学解题策略，争取提升小综合题的解决能力。
2.教学重点与难点：
(1)掌握分类方法，根据已知点正确画出符合要求的平行四边形，不漏解。
(2)掌握利用点的平移方法和中点算法，正确求出未知点的坐标。
【教学过程】
一、复习巩固
1、回忆平行四边形的性质
2、如图，已知EF、ED、FD分别过ΔABC的顶点A、B、C，且EF∥BC，ED∥AC，FD∥AB。
(1)
指出图中所有的平行四边形．
(2)
求证：点A、B、C分别是线段EF、ED、DF的中点．
3、变式训练
如图1，请将ABC补成平行四边形。
方法1
过顶点画对边平行线，三条平行线的交点就是第四个顶点。
方法2
以AB为平行四边形的一边或是对角线进行分类，从而得到第四个顶点。
方法3
以AB、BC、AC为平行四边形的对角线进行分类，从而得到第四个顶点。
图
2
引申：将平行四边形放在平面直角坐标系下，如何求点的坐标？
二、新课探索
【探究1】三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性
例
1
如图，在平面直角坐标系中A（-1,0）、B（3,0）、C(0，-3)，请在平面内找一个点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，先画出点D的位置，再写出点D的坐标；
已知三点，求第四点方法归纳：
1
构造全等及平移
2
中点的算法：若M(x1,y1),N(x2,y2),则其中点坐标为（),即有
同一条对角线上的两个顶点的横坐标之和相等，；
同一条对角线上的两个顶点的纵坐标之和相等，.
练习1如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
（1）求直线AC的表达式；
（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标．
【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
解
（1）由直线y＝2x＋12分别交x轴、y轴于A、B两点，
得A(－6,
0)、B(0,
12)．
所以OB＝12，OC＝6，C(0,
6)．
因此直线AC的解析式为y＝x＋6．
（2）因为BP//AC，BP＝AC，
所以按照由A到C的方向平移点B，就可以得到点P．
因为A(－6,
0)
C(0,
6)，
所以B(0,
12)
P(6,
18)．
【第（2）题拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
如下图，联结△ABC，过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，3条直线两两相交就得到3个符合条件的点P．
由C(0,
6)A(－6,
0)，得B(0,
12)P2(－6,
6)．
由B(0,
12)A(－6,
0)，得C(0,
6)
P3(－6,
－6)．
点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移或中点算法直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．
【探究2】二个定点，二个动点，探究平行四边形的存在性
例2
如图，在平面直角坐标系中A（-1,0）、B（3,0），以及一个不定点C,记为C(a，b)，请在平面内找一个点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，画出点D的位置并求出坐标；(用含a,b的式子表示）
点评：本题已知两个定点坐标，第3个点虽不是具体数值（含字母a，b），但依然可以根据平行四边形的性质,利用点的平移直接写出第四个顶点的坐标．
练习2如图，
在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴的负半轴相交于点A，与轴相交于点B，△AOB的面积为3，点C、D在反比例函数的图像上，四边形ABCD是平行四边形．
（1）
求这个一次函数的解析式；
（2）
求点C、D的坐标．
解
（1）点B横坐标（0，–3），OB=3．
由，得，OA=2，点A（–2，0）
，
∴一次函数解析式为
（2）因为AB//CD，AB＝CD，
所以按照由B到A的方向平移点C，就可以得到点D．
因为B(0,
-3)
按左2上3平移到A(-2,
0)，
所以C（）按左2上3平移到D（）
设点C的坐标为（），∴点D的坐标为（）
∴．
∴．
∴点C、D的坐标分别为C（）、D（）或C（）、D（）．
点评：①本题已知两个定点坐标，但依然可以根据平行四边形的性质,利用点的平移求出第三、四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，各种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨，不易遗漏．
三、课堂小结
1、平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题分两大类：三定一动，两定一动。
2、①三定一动
方法1
过顶点画对边平行线，三条平行线的交点就是第四个顶点。
方法2
以AB为平行四边形的一边或是对角线进行分类，从而得到第四个顶点。
方法3
以AB、BC、AC为平行四边形的对角线进行分类，从而得到第四个顶点。
②两定一动
以定线段作为平行四边形的边或线段进行分类，从而得到第三、四个顶点。
3、求未知点的坐标的方法
①利用点的平移
②中点的算法
同一条对角线上的两个顶点的横坐标之和相等，;
同一条对角线上的两个顶点的纵坐标之和相等，.
4、常用的思想方法：
数形结合思想
、分类讨论思想
四、布置作业(见学习单)
五、教学反思
图1
A
O
x
y
B
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