(共24张PPT)
1.(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是
基础巩固
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√
√
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2.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则
A.Sn＝2n2－6n
B.Sn＝n2－3n
C.an＝4n－8
D.an＝2n
√
解析 设等差数列{an}的公差为d，
√
∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，
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3.在等差数列{an}中，a2
000＝log27，a2
022＝
则a2
011等于
A.0
B.7
C.1
D.49
√
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解析 因为数列{an}是等差数列，
故a2
011＝0.
4.在等差数列{an}中，若a1
009＋a1
010＋a1
011＋a1
012＝18，则该数列的前
2
020项的和为
A.18
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B.9
072
C.9
090
D.12
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解析 ∵a1＋a2
020＝a1
009＋a1
012＝a1
010＋a1
011，
而a1
009＋a1
010＋a1
011＋a1
012＝18，∴a1＋a2
020＝9，
5.(多选)已知首项为正数的数列{an}为等差数列，且(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)<0，则
A.S12>0
B.
a6>0
C.S13>0
D.
a6＋a7>0
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解析 由等差数列的性质可得(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)
＝2(a6＋a7)(3a7)＝6(a6＋a7)a7<0，
因为首项为正数的数列{an}为等差数列，
若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，
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6.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则d＝__，
a6＝____.
解析 设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴d＝2，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
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∵a8＝2，
…，
∴{an}是以3为周期的数列，
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解析 根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列.设数列为{an}，
则a1＝21，d＝1，n＝19，
8.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片____块.
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解 当n＝1时，a1＝S1＝－11，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2－13n＋1)－[(n－1)2－13(n－1)＋1]＝2n－14，
9.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－13n＋1.
(1)求数列的通项公式；
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(2)求Sn的最大或最小值.
开口向上的抛物线上的一些孤立的点，
又因为n∈N
，
所以Sn的最小值为S6＝S7＝－41.
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10.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，
所以3a2＝12，解得a2＝4.
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2.
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，n∈N
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(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式.
解 由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列.
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n，n∈N
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综合运用
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11.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2
020>0，S2
021<0，则下列说法正确的是
A.S1
010最大
B.|a1
010|>|a1
011|
C.a1
011>0
D.
数列中绝对值最小的项为a1
011
√
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解析 ∵S2
020>0，S2
021<0，
∴a1
010＋a1
011>0，a1
011<0，
可得a1
010>0，a1
011<0，|a1
010|>|a1
011|，故A，B都正确，C错误，
由等差数列的单调性即可得出：
此数列中绝对值最小的项为a1
011，故D正确.
12.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为
A.1.5尺
B.2.5尺
C.3.5尺
D.4.5尺
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解析 ∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，
其晷长依次成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，
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∴立秋的晷长为a4＝1.5＋3＝4.5.
13.一物体从1
960
m的高空降落，如果第1秒降落4.90
m，以后每秒比前一秒多降落9.80
m，那么经过____秒落到地面.
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20
解析 该物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
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拓广探究
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∴这一数列不是单调递增数列，故错误；
C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周期数列，故正确；
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16.已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
解 由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去).
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(2)求m，k(m，k∈N
)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解 由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N
知，2m＋k－1>k＋1>1，再练一课(范围：§4.1～§4.2)
1．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
答案 ABD
解析 对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin
不合题意，故选ABD.
2．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则( )
A．Sn＝2n2－6n
B．Sn＝n2－3n
C．an＝4n－8
D．an＝2n
答案 AC
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.
3．在等差数列{an}中，a2
000＝log27，a2
022＝log2，则a2
011等于( )
A．0
B．7
C．1
D．49
答案 A
解析 因为数列{an}是等差数列，所以由等差数列的性质可知2a2
011＝a2
000＋a2
022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2
011＝0.
4．在等差数列{an}中，若a1
009＋a1
010＋a1
011＋a1
012＝18，则该数列的前2
020项的和为( )
A．18
126
B．9
072
C．9
090
D．12
084
答案 C
解析 ∵a1＋a2
020＝a1
009＋a1
012＝a1
010＋a1
011，而a1
009＋a1
010＋a1
011＋a1
012＝18，∴a1＋a2
020＝9，
∴S2
020＝(a1＋a2
020)×2
020＝9
090.
5．(多选)已知首项为正数的数列{an}为等差数列，且(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)<0，则( )
A．S12>0
B.
a6>0
C．S13>0
D.
a6＋a7>0
答案 ABD
解析 由等差数列的性质可得(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)
＝2(a6＋a7)(3a7)＝6(a6＋a7)a7<0，
故可得或
因为首项为正数的数列{an}为等差数列，
若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，
所以
所以a6>0>a7，
所以S12＝×12＝×12>0，
S13＝×13＝13a7<0.
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则d＝________，
a6＝________.
答案 2 13
解析 设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴d＝2，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
7．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
答案
解析 由an＋1＝，
得an＝1－，
∵a8＝2，
∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，
…，
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1＝a7＝.
8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片________块．
答案 570
解析 根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列．设数列为{an}，
则a1＝21，d＝1，n＝19，
∴S19＝＝570，
即该斜面共铺了570块瓦片．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－13n＋1.
(1)求数列的通项公式；
(2)求Sn的最大或最小值．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－11，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－13n＋1)－[(n－1)2－13(n－1)＋1]＝2n－14，
所以数列{an}的通项公式是
an＝
(2)因为Sn＝n2－13n＋1＝2－，
其图象是以n＝为对称轴，
开口向上的抛物线上的一些孤立的点，
又因为n∈N
，
所以Sn的最小值为S6＝S7＝－41.
10．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
解 (1)因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，
所以3a2＝12，解得a2＝4.
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2.
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，n∈N
.
(2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n，n∈N
.
11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2
020>0，S2
021<0，则下列说法正确的是( )
A．S1
010最大
B．|a1
010|>|a1
011|
C．a1
011>0
D.
数列中绝对值最小的项为a1
011
答案 ABD
解析 ∵S2
020>0，S2
021<0，
∴＝>0，
＝2
021a1
011<0，
∴a1
010＋a1
011>0，a1
011<0，
可得a1
010>0，a1
011<0，|a1
010|>|a1
011|，故A，B都正确，C错误，
由等差数列的单调性即可得出：
此数列中绝对值最小的项为a1
011，故D正确．
12．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( )
A．1.5尺
B．2.5尺
C．3.5尺
D．4.5尺
答案 D
解析 ∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，
其晷长依次成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，
根据题意??
∴立秋的晷长为a4＝1.5＋3＝4.5.
13．一物体从1
960
m的高空降落，如果第1秒降落4.90
m，以后每秒比前一秒多降落9.80
m，那么经过________秒落到地面．
答案 20
解析 该物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1
960，
即4.90t2＝1
960，解得t＝20.
14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________；若的值为正整数，则n＝________.
答案 1或3
解析 在等差数列中，＝
＝＝，
∵＝，
∴＝＝.
∵＝＝＝＝3
－
为正整数，
∴n
＝
1或3.
15．(多选)如果一个实数数列{an}满足条件：a－an＝d(d为常数，n∈N
)，则这一数列为“伪等差数列”，d称“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：其中正确的结论是( )
A．对于任意的首项a1，若d<0，则这一数列必为有穷数列
B．当d>0，a1>0时，这一数列必为单调递增数列
C．这一数列可以是周期数列
D．若这一数列的首项为1，伪公差为3，－可以是这一数列中的一项
答案 CD
解析 A项，当a1＝，d＝－，an>0时，
依题意，an＝，故错误；
B项，当d>0，a1>0时，∵an＋1＝±，
∴这一数列不是单调递增数列，故错误；
C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周期数列，故正确；
D项，∵a1＝1，d＝3，
∴a2＝±＝±2，
∴当a2＝2时，a3＝±＝±，故正确．
16．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N
)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解 (1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去)．
所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
(2)由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N
知，2m＋k－1>k＋1>1，故所以
