(共64张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
1.一般地，我们把按照
排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第
项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第
项，用a2表示……，第
个位置上的数叫做这个数列的第
项，用an表示.其中第1项也叫做
.
2.
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为
.
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
知识点一 数列及其有关概念
答案 不是.顺序不一样.
确定的顺序
项
1
2
n
n
首项
{an}
知识点二 数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数
的数列
无穷数列
项数
的数列
有限
无限
数列{an}是从正整数集N
(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号
，对应的函数值是数列的第n项
，记为an＝f(n).
知识点三 函数与数列的关系
n
an
知识点四 数列的单调性
递增数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
常数列
各项都
的数列
大于
小于
相等
1.如果数列{an}的第n项an与它的
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的
.
2.通项公式就是数列的
，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.
思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
知识点五 通项公式
答案 还可以用列表法、图象法.
序号n
通项公式
函数解析式
1.1,1,1,1是一个数列.( )
2.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.( )
3.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.( )
4.an与{an}表达不同的含义.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
一、数列的有关概念和分类
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；
(2)是递增数列；
(1)(4)(5)是递减数列；
(3)是常数列.
反思感悟
(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2
017,2
018,2
019,2
020,2
021；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(6)是常数列.
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
解 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，
并且奇数项为负，偶数项为正，
解 数列中的项，有的是分数，有的是整数，
(3)0,1,0,1；
解 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(4)9,99,999,9
999.
解 各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，
此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
反思感悟
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解 各项分母分别为21,22,23,24，
易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
解 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，
分子都是比序号大1的数的平方减1，
(3)7,77,777,7
777.
例3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N
.
(1)写出数列的前3项；
三、数列通项公式的简单应用
解 在通项公式中依次取n＝1,2,3，
可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
故45是数列{an}中的第5项.
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
解 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
反思感悟
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N
，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
解 由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
解 当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项.
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N
.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值.
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
核心素养之数学抽象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
CHOU
XIANG
数列单调性的应用
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
则a1a11>a12>…，
又n∈N
，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，
素养提升
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件.
(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
1.下列说法正确的是
A.数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…
B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
1
2
3
4
5
√
解析 数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；
数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；
1
2
3
4
5
在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.
√
解析 把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，
1
2
3
4
5
3.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
1
2
3
4
5
√
√
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
1
2
3
4
5
19
1
2
3
4
5
5.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________.
an＝2n＋1，n∈N
1.知识清单：
(1)数列及其有关概念.
(2)数列的分类.
(3)函数与数列的关系.
(4)数列的单调性.
(5)数列的通项公式.
2.方法归纳：观察、归纳、猜想.
3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列说法正确的是
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
√
√
√
2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是
A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，
又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，
所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
5.数列0.3,0.33,0.333,0.333
3，…的通项公式为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.323是数列{n(n＋2)}的第____项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N
则a2n＝_______；
＝____.
3－4n
解析 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知数列{an}的通项公式为an＝2
020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为_____.
673
又因为n∈N
，
所以正整数n的最大值为673.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
解 各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，
分子分别比分母少1，
解 通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.
分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2，n∈N
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求a2
020；
解 a2
020＝4×2
020－2＝8
078.
(3)2
020是否为数列{an}中的项？
∴2
020不是数列{an}中的项.
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以相等的连续两项是第10项和第11项.
A.第9项，第10项
B.第10项，第11项
C.第11项，第12项
D.第12项，第13项
√
√
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝____.
61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16(共60张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用
来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
思考 仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
知识点一 数列的递推公式
答案 不能.知道了首项和递推公式，才能确定这个数列.
一个式子
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝
.
a1＋a2＋…＋an
知识点二 数列的前n项和Sn与an的关系
1.在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N
，则a2＝2a1.( )
2.利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}.( )
3.递推公式是表示数列的一种方法.( )
4.S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.
( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、由递推公式求数列的指定项
写出这个数列的前5项.
反思感悟
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区.
√
√
而2
020＝673×3＋1，
故a2
020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
√
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
又a1＝1，
a1＝1，
…
反思感悟
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln
an－ln
an－1＝1，
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N
.
例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
解 因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N
.
延伸探究
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解 因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式.
反思感悟
由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
跟踪训练3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
解 当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
(2)Sn＝3n－1.
解 当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，
显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N
).
3
随堂演练
PART
THREE
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N
)，则a4的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于
A.36
B.35
C.34
D.33
√
解析 a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2
020的值为
1
2
3
4
5
√
解析 因为an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
所以a2
020＝a336×6＋4＝a4＝1.
1
2
3
4
5
4.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝__________.
1
2
3
4
5
2n，n∈N
解析 ∵Sn＝n2＋n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
验证当n＝1时上式成立.
∴an＝2n，n∈N
.
1
2
3
4
5
5.数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋___(n∈N
，n≥2).由a10＝55，则a12＝____.
n
78
解析 由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
1.知识清单：
(1)数列的递推公式.
(2)数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N
)，且a1＝0，则此数列的第5项是
A.15
B.255
C.16
D.63
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.(多选)数列2,4,6,8,10，…的递推公式是
A.an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)
B.an＝2an－1(n≥2，n∈N
)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)
D.a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推.
√
√
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项公式an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N
).
5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是
A.a1＝3
B.an＝2n(n≥2)
C.an＝2n
D.an＝2n(n≥2)
√
√
解析 Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.
当n＝1时，不符合上式，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N
，则an＝_______________.
－2n＋1，n∈N
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，a1＝S1＝－1也符合上式.
∴an＝－2n＋1(n∈N
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝______.
解析 a1a2…a8＝82，
①
a1a2…a9＝92，
②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N
)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
解 因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，
所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项.
解 b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
以上各式累加得，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由此可知，an＋3＝an.
所以数列{an}的周期为3，
又2
020＝3×673＋1，所以a2
020＝a1＝0.
12.如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是
A.数列{an}是递增数列
B.数列{Sn}是递增数列
C.数列{an}的最大项是a11
D.数列{Sn}的最大项是S11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，
所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；
因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33＝S34，
所以数列{Sn}不是递增数列，所以选项B错误；
因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，
所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；
数列{Sn}的最大项是最后项，所以选项D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.a1
B.a9
C.a10
D.不存在
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
所以此数列为递减数列，故最大项为a1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 方法一 (累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二 (迭代法)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
…
方法三 (构造特殊数列法)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.在一个数列中，如果对任意n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝____.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故m所有可能的取值为4,5,32.第2课时 数列的递推公式
学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式．
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考 仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
答案 不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
知识点二 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
1．在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N
，则a2＝2a1.( √ )
2．利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}．( × )
3．递推公式是表示数列的一种方法．( √ )
4．S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.
( × )
一、由递推公式求数列的指定项
例1 设数列{an}满足an＝
写出这个数列的前5项．
解 由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．
跟踪训练1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是( )
A．1
B.
C.
D.
答案 C
解析 a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
(2)已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2
020的值为( )
A.
B．－1
C．2
D．1
答案 C
解析 由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1,2，，－1，….
而2
020＝673×3＋1，
故a2
020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
例2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二 (迭代法) a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1，所以an＝(n∈N
)．
方法三 (累加法) an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N
)．
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
跟踪训练2 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
解 因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1
＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N
.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln
an－ln
an－1＝1，
所以ln?＝1，
即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N
.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
解 因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N
.
延伸探究
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解 因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式．
所以an＝
反思感悟 由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
跟踪训练3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
(2)Sn＝3n－1.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N
)．
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N
)，则a4的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 D
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A．36
B．35
C．34
D．33
答案 C
解析 a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2
020的值为( )
A．2
B．1
C.
D.
答案 B
解析 因为an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
所以a2
020＝a336×6＋4＝a4＝1.
4．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝________.
答案 2n，n∈N
解析 ∵Sn＝n2＋n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
验证当n＝1时上式成立．
∴an＝2n，n∈N
.
5．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N
，n≥2)．由a10＝55，则a12＝________.
答案 n 78
解析 由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.
1．知识清单：
(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N
)，且a1＝0，则此数列的第5项是( )
A．15
B．255
C．16
D．63
答案 B
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是( )
A．an＋1＝2an
B．an＋1＝－2an
C．an＋1＝an
D．an＋1＝－an
答案 D
3．(多选)数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)
B．an＝2an－1(n≥2，n∈N
)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)
D．a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N
)
答案 CD
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推．
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项公式an等于( )
A．n2＋1
B．n＋1
C．1－n
D．3－n
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N
)．
5．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是( )
A．a1＝3
B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n
D．an＝2n(n≥2)
答案 AD
解析 Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.
当n＝1时，不符合上式，
故an＝
6．已知在数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N
)，则a2
020＝________.
答案 －
解析 ∵a2＝－＝－，a3＝－＝2＝a1，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2
020＝a2＝－.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N
，则an＝________.
答案 －2n＋1，n∈N
解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，a1＝S1＝－1也符合上式．
∴an＝－2n＋1(n∈N
)．
8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝______.
答案
解析 a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
9．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N
)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项．
解 (1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，
所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
(2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
10．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an.
解 因为an＋1－an＝，
所以a2－a1＝，
a3－a2＝，
a4－a3＝，
…，
an－an－1＝(n≥2)，
以上各式累加得，
an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
所以an＋1＝1－，
所以an＝－(n≥2)，
因为a1＝－1也符合上式，
所以an＝－(n∈N
)．
11．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N
)，则a2
020等于( )
A．－3
B．0
C.
D．3
答案 B
解析 由题意知a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，a5＝＝－，…，由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，
又2
020＝3×673＋1，所以a2
020＝a1＝0.
12．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．数列{an}的最大项是a11
D．数列{Sn}的最大项是S11
答案 C
解析 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，
即a7>a8，
所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；
因为2月23日新增确诊病例数为0，
所以S33＝S34，
所以数列{Sn}不是递增数列，
所以选项B错误；
因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，
所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；
数列{Sn}的最大项是最后项，所以选项D错误．
13．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1
B．a9
C．a10
D．不存在
答案 A
解析 因为a1>0，且an＋1＝an，
所以an>0，
所以＝<1，
所以an＋1所以此数列为递减数列，故最大项为a1.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，则它的通项公式an＝________.
答案
解析 方法一 (累乘法)
把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an>0，∴an＋1＋an>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，
∴···…·
＝×××…×＝(n≥2)，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N
.
方法二 (迭代法)
同方法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
方法三 (构造特殊数列法)
同方法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝(n∈N
)．
15．在一个数列中，如果对任意n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.