§4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N
且n>1).
思考 为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?
答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
思考 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N
)．
知识点四 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )
2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )
3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )
4．常数列一定为等比数列．( × )
一、等比数列中的基本运算
例1 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，
故a1＝5.
(3)
因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练1 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为
所以
由得q3＝4，
从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝
二、等比中项的应用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝__________，ac＝___________.
答案 －3 9
解析 因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
反思感悟 (1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )
A．－4
B．±4
C．－2
D．±2
答案 A
解析 因为a4是a1与a7的等比中项，
所以a＝a1a7，
即64＝－16a7，故a7＝－4.
三、等比数列通项公式的推广及应用
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解 (1)∵＝q7－3＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝，
∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝(n∈N
)．
(2)由a＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N
)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练3 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21
B．42
C．63
D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
四、灵活设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
答案 45
解析 (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即
整理得
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
解 方法一 设前三个数分别为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
则第一个数为(4－d)2，
由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为
…，，，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
…，，，，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或
B．4或
C．4
D.
答案 B
解析 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±
B．±2
C.
D．－2
答案 D
解析 因为＝q3＝－8，故q＝－2.
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6
B．－6
C．－12
D．12
答案 AB
解析 ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1
B．－(－2n－1)
C．(－2)n
D．－(－2)n
答案 A
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
5．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝______________.
答案 ±2 (－2)n或－2n
解析 ∵＝q2，
∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比中项的概念．
(4)等比数列的通项公式推广．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)x，G，y成等比数列?G2＝xy，但G2＝xy?x，G，y成等比数列．
(2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108
B．54
C．36
D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
2．(多选)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4
B．4
C．－
D.
答案 AB
解析 由题意得a＝a4a8，
因为a1＝，q＝2，
所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.
3．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
4．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.
B．4
C．2
D.
答案 C
解析 因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
所以a＝a1a7，
设数列{an}的公差为d，则d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
所以公比q＝＝＝2.
5．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1
B．2n
C．22n＋1
D．22n－3
答案 A
解析 由a－3an＋1an－4a＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
所以an＋1－4an＝0，＝4.
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 根据题意，
解得或
7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝________，d＝________.
答案 －1
解析 ∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
解 (1)因为a5＝a3q2，
所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a3qn－3＝32×n－3＝28－n；
当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×n－3.
所以an＝28－n或an＝32×n－3.
(2)当an＝时，
即28－n＝或32×n－3＝，
解得n＝9.
10．在等比数列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
解 (1)因为＝q2＝，
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
12．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2
B．1
C.
D.
答案 C
解析 方法一 ∵a3，a5的等比中项为±a4，
∴a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，
∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，
∴a4＝2.
又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，
∴a2＝a1q＝×2＝.
方法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝.
13．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于( )
A．－2
B．2
C．－8
D.
8
答案 BD
解析 由已知得解得或
故a＝2或a＝8.
14．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
答案 an＝3·(－1)n－1
解析 由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，
两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，
又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，
∴an＝3·(－1)n－1.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②
当d＝3时，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，
解得q＝或(舍去)，
所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N
.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．(共64张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 等比数列的概念
1.定义：一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的
一项的
都等于
常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0).
2
前
比
同一个
公比
思考 为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?
答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
思考 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝
(n∈N
).
a1qn－1
知识点四 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1_______
①
＝am_________
②
＝
·
.
③
其中当②中m＝1时，即化为①.
qn－1
qn－ml
qn
1.数列1，－1,1，－1，…是等比数列.( )
2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.( )
3.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.( )
4.常数列一定为等比数列.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、等比数列中的基本运算
例1 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
解 因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
故a1＝5.
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
①
②
又an＝1，
反思感悟
等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
跟踪训练1 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
所以a5＝405.
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
①
②
二、等比中项的应用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝_____，ac＝___.
－3
9
解析 因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
反思感悟
(1)由等比中项的定义可知
所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于
A.－4
B.±4
C.－2
D.±2
√
解析 因为a4是a1与a7的等比中项，
即64＝－16a7，故a7＝－4.
三、等比数列通项公式的推广及应用
例3 在等比数列{an}中.
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
反思感悟
(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练3 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于
A.21
B.42
C.63
D.84
√
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，
解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，
于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
四、灵活设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.
45
解析 (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.所以a＝6.
由题意知第4个数为12q－6.
故所求的四个数为9,6,4,2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟
几个数成等比数列的设法
推广到一般：奇数个数成等比数列设为
(2)四个符号相同的数成等比数列设为
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为
√
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
3
随堂演练
PART
THREE
1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于
A.6
B.－6
C.－12
D.12
√
√
∴ab＝±6.
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
1
2
3
4
5
√
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
1
2
3
4
5
4.等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于
A.(－2)n－1
B.－(－2n－1)
C.(－2)n
D.－(－2)n
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
√
5.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为____，通项公式为an＝____________.
1
2
3
4
5
±2
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
(－2)n或－2n
1.知识清单：
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项的概念.
(4)等比数列的通项公式推广.
2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
3.常见误区：
(1)x，G，y成等比数列?G2＝xy，但G2＝xy?x，G，y成等比数列.
(2)四个数成等比数列时设成
aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.
4
课时对点练
PART
FOUR
1.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为
A.108
B.54
C.36
D.18
基础巩固
1
2
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5
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15
16
√
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
1
2
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16
√
所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.
√
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为
A.16
B.27
C.36
D.81
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16
√
4.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为
√
设数列{an}的公差为d，则d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
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16
A.22n－1
B.2n
C.22n＋1
D.22n－3
√
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16
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列.
由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
6.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
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16
1或－2
7.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋
a2＝1，且a1＝___，d＝_____.
解析 ∵a2，a3，a7成等比数列，
－1
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.
①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.
②
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16
8.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
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9.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
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10.在等比数列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
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(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
解 a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于
A.3
B.2
C.1
D.－2
综合运用
√
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
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√
解析 方法一 ∵a3，a5的等比中项为±a4，
∴a4＝2.
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方法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
解得q＝2，
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13.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于
A.－2
B.2
C.－8
D.
8
√
√
故a＝2或a＝8.
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14.若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是_______________.
an＝3·(－1)n－1
解析 由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，
两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，
又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，
∴an＝3·(－1)n－1.
拓广探究
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15.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.
275或8
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，
①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，
②
当d＝3时，an＝3n－1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
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16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
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解 设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，
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16
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围.
解 bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2).(共68张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
3.理解等比数列的常用性质.
4.掌握等比数列的判断及证明方法.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 实际应用题常见的数列模型
1.储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y＝a(1＋r)n.
2.总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝N(1＋p)n.
知识点二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
)，则
.
(2)若m，p，n成等差数列，则
成等比数列.
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或
)的等比数列.
ak·al＝am·an
am，ap，an
pq
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成
A.64
B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，
所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.
√
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么
A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.
两个等比数列的积一定是等比数列.
√
3.某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加
A.24%
B.32%
C.1.083－1
D.1.084－1
解析 设2018年储蓄量为a
，根据等比数列通项公式得
2019年储蓄量为a(1＋0.08)＝1.08a，
2020年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a，
2021年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a，
所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了
√
＝1.083－1.
4.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，
√
2
题型探究
PART
TWO
一、数列的实际应用
例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N
)年后这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
反思感悟
等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精
_____________升.
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为
二、等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列.
解 在等比数列{an}中，
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
反思感悟
利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
跟踪训练2 (1)公比为
的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于
A.4
B.5
C.6
D.7
√
又因为an>0，
所以a7＝4，
所以a16＝a7q9＝32，
即log2a16＝5.
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝_____.
解析 方法一 因为{an}是等比数列，
所以a2＝
所以a8＝
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，
解得a1＝3.
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列.
证明 因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
反思感悟
判断一个数列是等比数列的常用方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若
＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.
跟踪训练3 (1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).
又a1，a3，a5均不为0，
∴a1，a3，a5成等比数列.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
3
随堂演练
PART
THREE
1.在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于
√
又因为a1<0，a2>0，
所以q<0.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则
的值为
A.4
B.2
C.－2
D.－4
√
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为
A.100
B.－100
C.10
000
D.－10
000
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
A.－3
B.－1
C.1
D.9
√
√
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
5.某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为____________万元.
1
2
3
4
5
a(1＋m%)19
1
2
3
4
5
解析 设从2020年1月开始，
第n个月该厂的生产总值是an万元，
则an＋1＝an＋anm%，
∴数列{an}是首项a1＝a，
公比q＝1＋m%的等比数列.
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元).
1.知识清单：
(1)等比数列的实际应用.
(2)等比数列的常用性质.
(3)等比数列的判定和证明.
2.方法归纳：方程和函数思想.
3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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√
2.在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于
A.2
B.－2
C.±2
D.4
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√
解析 由等比数列的性质可得，
∴a3＝1，a7＝4，
∴a5＝2.
解析 因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，
所以a5＝3，
3.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于
A.38
B.39
C.9
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解析 因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，
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5.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是
√
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6.已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.
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3×2n－3
解析 由已知得a10＝a3·q7＝3·q7＝384，
所以q7＝128＝27，
故q＝2.
所以an＝a3·qn－3＝3×2n－3.
7.已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝___.
解析 因为数列{an}为等比数列，
且a3＋a5＝π，
所以a4(a2＋2a4＋a6)
π2
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＝(a3＋a5)2＝π2.
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2
且数列{nan＋1}是等比数列，
2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，
所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以nan＋1＝2n，
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9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
解 ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
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10.已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
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(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
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解 设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
∴a5，a7的等比中项为±3.
11.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于
综合运用
√
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解析 因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，
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代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
12.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于
A.±2
B.±4
C.2
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√
解析 ∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，
∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，
∴q>0，∴a8a15＝2.
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13.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于_____.
解析 由于{an}是等比数列，
－213
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
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所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1
024.
拓广探究
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解析 ∵{an}是等比数列，
∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，
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16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
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16第2课时 等比数列的应用及性质
学习目标 1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法．
知识点一 实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y
＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，
则总产值y
＝
N
(1
＋
p)n.
知识点二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( )
A．64
B．128
C．256
D．255
答案 C
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
答案 C
解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
3．某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加( )
A．24%
B．32%
C．1.083－1
D．1.084－1
答案 C
解析 设2018年储蓄量为a
，根据等比数列通项公式得
2019年储蓄量为a(1＋0.08)＝1.08a，
2020年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a，
2021年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a，
所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了
＝1.083－1.
4．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.
B.
C．2
D．2
答案 C
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2.
一、数列的实际应用
例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N
)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．
答案 8
解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－为公比的等比数列，
即：第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－(升)，第三次取出的为2升，…，
第n次取出的纯酒精为n－1升，
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为
a9＋a10＝8＋9
＝8(升)．
二、等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解 (1)在等比数列{an}中，
∵a2a4＝，
∴a＝a1a5＝a2a4＝，
∴a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a6a8＋a＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
反思感悟 利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
跟踪训练2 (1)公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 B
解析 因为a3a11＝16，
所以a＝16.
又因为an>0，
所以a7＝4，
所以a16＝a7q9＝32，
即log2a16＝5.
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
答案 5
解析 方法一 因为{an}是等比数列，
所以a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a.
所以a·a·a＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)
＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.
因为an>0，
所以a4a5a6＝5.
方法二 因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a·a2＝a＝5，
所以a2＝
因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a＝10，
所以a8＝
同理a4a5a6＝a＝
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
(1)解 因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，
解得a1＝3.
(2)证明 因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，
即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，
所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N
，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N
，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
跟踪训练3 (1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③得＝，
∴a4＝.④
由①得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，
即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.
又a1，a3，a5均不为0，
∴a1，a3，a5成等比数列．
(2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3.
1．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A.
B.
C．－
D.或－
答案 C
解析 因为a4＝a2·q2，
所以q2＝＝＝.
又因为a1<0，a2>0，
所以q<0.
所以q＝－.
2．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
答案 B
解析 由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a＝32＝25，得a6＝2，
则＝＝a6＝2.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100
B．－100
C．10
000
D．－10
000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10
000.
4．(多选)在等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．9
答案 CD
解析 由3a1，a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，
即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
∴＝＝＝q2＝9或1.
5．某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为_____________万元．
答案 a(1＋m%)19
解析 设从2020年1月开始，
第n个月该厂的生产总值是an万元，
则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，
公比q＝1＋m%的等比数列．
∴an＝a(1＋m%)n－1.
∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．
1．知识清单：
(1)等比数列的实际应用．
(2)等比数列的常用性质．
(3)等比数列的判定和证明．
2．方法归纳：方程和函数思想．
3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．±
B．－
C.
D．±
答案 C
解析 根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝＝.
2．在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于( )
A．2
B．－2
C．±2
D．4
答案 A
解析 由等比数列的性质可得，a2a3a4＝a＝1，
a6a7a8＝a＝64，
∴a3＝1，a7＝4，
∴a＝a3a7＝4，
易知a5与a3和a7同号，
∴a5＝2.
3．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于( )
A．38
B．39
C．9
D．7
答案 C
解析 因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，
所以a5＝3，
所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9.
4．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于( )
A．－
B．－3
C.
D．3
答案 B
解析 因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，
所以＝＝－3.
5．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )
A．{a}是等比数列
B．{anan＋1}是等比数列
C.是等比数列
D．{lg|an|}是等比数列
答案 ABC
解析 由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n>1)．A中，＝2＝q2为常数，故A正确；B中，＝＝q2，故B正确；C中，＝＝为常数，故C正确；D中，不一定为常数，故D错误．
6．已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.
答案 3×2n－3
解析 由已知得a10＝a3·q7＝3·q7＝384，
所以q7＝128＝27，
故q＝2.
所以an＝a3·qn－3＝3×2n－3.
7．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________.
答案 π2
解析 因为数列{an}为等比数列，
且a3＋a5＝π，
所以a4(a2＋2a4＋a6)
＝a4a2＋2a＋a4a6
＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝π2.
8．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是________，an＝________.
答案 2
解析 因为在数列{an}中，a2＝，a3＝，
且数列{nan＋1}是等比数列，
2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，
所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以nan＋1＝2n，
解得an＝.
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
解 ∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，
此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
10．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.由已知，得
∴解得
若G是a5，a7的等比中项，则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
∴a5，a7的等比中项为±3.
11．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于( )
A．2
B．－2
C.
D．－
答案 D
解析 因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，
所以Sn＝na1＋n·(n－1)·(－1)，
由S1，S2，S4成等比数列可知S＝S1·S4，
代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
解得a1＝－.
12．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于( )
A．±2
B．±4
C．2
D．4
答案 C
解析 ∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，
∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，
∴q>0，∴a8a15＝2.
13．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
答案 －213
解析 由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
14．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
答案 1
024
解析 因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，
所以
解得a1＝16，q＝，
所以an＝16×n－1＝25－n，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1
024.
15．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________.
答案 或
解析 ∵{an}是等比数列，
∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，
∴或
∵＝q10，∴q10＝或q10＝.
而＝q10，∴＝或.
16．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
(1)解 根据根与系数的关系，得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得－＝3.
所以an＋1＝an＋.
(2)证明 因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝.
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，
可化为x2－x＋1＝0，
即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，
所以an≠，即an－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)解 当a1＝时，
a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以an－＝×n－1＝n，
所以an＝＋n，n∈N
即数列{an}的通项公式为an＝＋n，n∈N
.
