(共59张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 导数的几何意义
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的
.于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的
切线AD的斜率k，即k＝
＝
.
f′(x0)
切线
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是
.相应地，切线方程为
.
f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它
为y＝f(x)的
(简称导数).y＝f(x)的导函数记作
或
，即
f′(x)＝y′＝
.
导函数
f′(x)
y′
特别提醒：
?
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
( )
3.函数f(x)＝0没有导数.( )
4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、求切线方程
例1 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.
所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围.
解 曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan
α，
所以tan
α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
反思感悟
求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是____.
－3
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
二、求切点坐标
例2 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点.
(1)平行于直线y＝4x－5；
设P(x0，y0)是满足条件的点.
∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
解 ∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
(3)与x轴成135°的倾斜角.
解 ∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.
即2x0＝－1，
反思感悟
求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标.
(2)利用导数或斜率公式求出斜率.
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标.
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
跟踪训练2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
对于曲线g(x)＝1－x3，
经检验，均符合题意.
三、利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是
A.0B.0C.0D.0√
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0反思感悟
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
√
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，
则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，
观察四个选项的图象，只有A满足.
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
过某点的曲线的切线
典例 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
则切线的斜率为
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，
过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
素养提升
(1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点.
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0)).
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于
A.4
B.－4
C.－2
D.2
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5
√
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
1
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5
2.(多选)下面说法不正确的是
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
√
解析 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误.
√
√
3.曲线f(x)＝
在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于
A.45°
B.60°
C.135°
D.120°
1
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5
√
所以f′(3)＝－1.
又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
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4.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为______.
(3,30)
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
5.已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为_____，实数a的值为_____.
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(2,3)
－5
1
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3
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5
解析 设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
因此切点坐标为
(2,3)，a的值为－5.
1.知识清单：
(1)导数的几何意义.
(2)导函数的概念.
(3)切线方程.
2.方法归纳：方程思想、数形结合.
3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交
基础巩固
√
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解析 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
A.4
B.16
C.8
D.2
√
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解析 设切点为(x0，y0)，
3.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A.4x－y－4＝0
B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0
D.x＋4y＋3＝0
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√
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
4.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是
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√
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，
f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
5.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为
的是
A.(0,0)
B.(1，－1)
C.(－1,1)
D.(1,1)
√
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√
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝____.
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3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，
所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
7.已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为____.
解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
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－1
＝f′(1)＝－1.
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9.在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则
＝2x0＝4，解得x0＝2，
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
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故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
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10.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.
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所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11.若曲线y＝x＋
上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是
A.(－∞，－1)
B.(－1,1)
C.(－∞，1)
D.(1，＋∞)
综合运用
√
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12.已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝____，b＝____.
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解析 由题意知a＋b＝3，
∴a＝1，b＝2.
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13.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为
_______.
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，
点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，
且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，
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14.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为____.
4
在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.
因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，
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拓广探究
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y＝0或3x－y－2＝0
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从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
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16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
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16第2课时 导数的几何意义
学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一 导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝
.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点二 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝
.
特别提醒：
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
1．函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．( √ )
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．( √ )
3．函数f(x)＝0没有导数．( × )
4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( × )
一、求切线方程
例1 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解 因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝
＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan
α，
所以tan
α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案 －3
解析 ∵y′|x＝2＝
＝
＝
(4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
二、求切点坐标
例2 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解 f′(x)＝
＝
＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
反思感悟 求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝
＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝
＝
＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或x0＝－.
经检验，均符合题意．
三、利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A．0B．0C．0D．0答案 C
解析 kAB＝＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
过某点的曲线的切线
典例 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解 设切点为(x0，x＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0))．
②建立方程f′(x0)＝.
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
2．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案 ABD
解析 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°
答案 C
解析 f′(x)＝
＝9
＝－9
＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案 (3,30)
解析 令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝
＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
5．已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________．
答案 (2,3) －5
解析 设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝(舍去)．
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
因此切点坐标为
(2,3)，a的值为－5.
1．知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)导函数的概念．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、数形结合．
3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
解析 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
答案 C
解析 k＝y′|x＝2＝
＝8.
3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝
＝(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A．(0,0)
B．(1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则＝
＝3x－2＝tan?＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
答案 3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
8．设f(x)存在导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为______．
答案 －1
解析
＝
＝f′(1)＝－1.
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解 因为y′＝
＝
＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11．若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,1)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝＝
＝
＝1－<1.
即k<1.
12．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________.
答案 1 2
解析 由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝
＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2.
13．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝
＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案 4
解析 y′＝
＝2x－1，
在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.
因为点P的横坐标是－2，
所以点P的纵坐标是6＋c，
故直线OP的斜率为－，
根据题意有－＝－5，解得c＝4.
15．已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
答案 y＝0或3x－y－2＝0
解析 设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝
＝3x，
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
因为切线过点P，
所以2x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解 设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.§5.1 导数的概念及其意义
第1课时 变化率问题和导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一 瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝
＝
.
知识点二 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点三 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝
＝
.
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( × )
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．( √ )
4．设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)＝
＝
.( √ )
一、函数的平均变化率
例1 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为( )
A．－1
B．－
C．－2
D．2
答案 B
解析 平均变化率为＝＝－.
(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
答案 B
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴＝＝－1.1.
(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为__________________．
答案 1<2<3
解析 由平均变化率的几何意义知：1＝kOA，2＝kAB，
3＝kBC，由图象知：kOA反思感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解 (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
二、求瞬时速度
例2
一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解 (1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，
＝
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝
(－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝
.
跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
答案 1
解析 因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以
＝(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
解 质点M在t＝2
s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴
＝4a＝8，即a＝2.
三、求函数在某点处的导数
例3 求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴
＝＝2.
从而y′|x＝1＝2.
反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)求极限
.
跟踪训练3 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
答案 B
解析
＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
答案 D
解析 因为＝
＝＝，
所以f′(m)＝
＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
1．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0
B．1
C．2
D．Δx
答案 A
解析 ＝＝0.
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
答案 C
解析 ＝＝＝4.2.
3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝
＝18
m/s，则下列说法中正确的是( )
A．18
m/s是物体从开始到3
s这段时间内的平均速度
B．18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18
m/s是物体在3
s这一时刻的瞬时速度
D．18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案 C
4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
答案 D
解析 因为
＝
＝
(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，
所以当t＝0时，其速度为2.
5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
答案 3
解析 因为f′(1)＝
＝
＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
1．知识清单：
(1)平均变化率．
(2)瞬时速度．
(3)函数在某点处的导数．
2．方法归纳：极限法、定义法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy等于( )
A.
B．－
C．1
D．－1
答案 B
解析 Δy＝－(2＋1)＝－.
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 C
解析 平均变化率为＝＝5.
3．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3
B．3
C．6
D．－6
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为(－3Δt－6)＝－6.
4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于( )
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
答案 C
解析 f′(0)＝
＝
＝
(Δx－3)＝－3.
5．(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 AD
解析 因为f′(1)＝
＝t2＝4，
所以t＝±2.
6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案 5
解析 因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是________．
答案 2
解析 由题意知，
＝
＝
＝2－6t.
当t＝0时，v＝2－6×0＝2，
即物体的初速度是2.
8．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f′(0)＝__________.
答案 －1
解析 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝
＝－1.
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx，
∴f′(1)＝
＝
＝(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4
s时物体的运动的平均速度和4
s时的瞬时速度．
解 自运动开始到t
s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，
故前4
s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时，
＝2＋6×4＝26，
所以4
s时物体的瞬时速度为26m/s.
11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
答案 BC
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．
12．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案 B
解析 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
13．设函数f(x)可导，则
等于( )
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.?f′(1)
D．f′(3)
答案 C
解析
＝
＝?f′(1)．
14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
答案 [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，
所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)
＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24
m/s.
即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24
m/s.
(2)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为
＝
(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.(共52张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 瞬时速度
瞬时速度的定义
(1)物体在
的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间
某一时刻
极限
知识点二 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝________
.我们把比值
叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.
f(x0＋Δx)
－f(x0)
知识点三 函数在某点处的导数
f′(x0)或
1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( )
2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( )
3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )
4.设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、函数的平均变化率
√
A.－0.11
B.－1.1
C.3.89
D.0.29
√
解析 ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分
别为
则三者的大小关系为___________.
反思感悟
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
解 因为f(x)＝3x2＋5，
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
解 f(x0＋Δx)－f(x0)
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
二、求瞬时速度
例2
一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
解 当t＝0时的速度为初速度.
在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
∴物体的初速度为3.
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度.
解 取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
反思感悟
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).
跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝____.
1
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以t0＝1.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2
s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
三、求函数在某点处的导数
从而y′|x＝1＝2.
反思感悟
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
跟踪训练3 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为
A.2x
B.2
C.2＋Δx
D.1
√
A.－4
B.2
C.－2
D.±2
√
3
随堂演练
PART
THREE
1.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是
A.0
B.1
C.2
D.Δx
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
A.4
B.4x
C.4.2
D.4.02
√
A.18
m/s是物体从开始到3
s这段时间内的平均速度
B.18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18
m/s是物体在3
s这一时刻的瞬时速度
D.18
m/s是物体从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
4.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为
A.－2
B.－1
C.0
D.2
√
所以当t＝0时，其速度为2.
5.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝___.
1
2
3
4
5
3
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
1.知识清单：
(1)平均变化率.
(2)瞬时速度.
(3)函数在某点处的导数.
2.方法归纳：极限法、定义法.
3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为
A.3
B.4
C.5
D.6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
3.一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是
A.－3
B.3
C.6
D.－6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
4.已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于
A.Δx－3
B.(Δx)2－3Δx
C.－3
D.0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
5.(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是
A.－2
B.－1
C.1
D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
所以t＝±2.
6.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝____.
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
14
15
16
5
解析 因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去).
7.一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是___.
解析 由题意知，
2
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
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15
16
当t＝0时，v＝2－6×0＝2，即物体的初速度是2.
解析 ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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15
16
－1
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值.
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx，
即2a＝2，∴a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
13
14
15
16
10.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4
s时物体的运动的平均速度和4
s时的瞬时速度.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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15
16
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
所以4
s时物体的瞬时速度为26m/s.
11.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
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15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的
用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
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14
15
16
√
解析 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好.
1
2
3
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5
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15
16
√
14.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.
解析 由平均变化率的定义可知，
函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
[x3，x4]
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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2
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).
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16.若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
解 因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)
＝3×(52－32)＝48，
1
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10
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13
14
15
16
即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24
m/s.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
(2)物体在t＝1时的瞬时速度.
解 物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.
