(共52张PPT)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则
求函数的导数.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝
.
(2)[f(x)·g(x)]′＝
，特别地，[cf(x)]′＝
.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、利用运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(2)y＝3x2＋xcos
x；
解 y′＝(3x2＋xcos
x)′＝(3x2)′＋(xcos
x)′
＝6x＋x′cos
x＋x(cos
x)′＝6x＋cos
x－xsin
x.
(4)y＝lg
x－ex；
反思感悟
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln
x；
解 y′＝(x2＋xln
x)′＝(x2)′＋(xln
x)′
＝2x＋(x)′ln
x＋x(ln
x)′
＝2x＋ln
x＋1.
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1).
解 方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′
＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
二、利用运算法则求曲线的切线
√
(2)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
①求a，b的值；
解 f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
设切点的坐标为(x0，y0)，
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
反思感悟
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.
跟踪训练2 (1)曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为
A.y＝－x＋2
B.y＝5x－4
C.y＝－5x＋6
D.y＝x－1
√
解析 由y＝x3－4x2＋4，得y′＝3x2－8x，
y′|x＝1＝3－8＝－5，
所以曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6.
(2)已知函数f(x)＝
曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x
＋2y－3＝0，则a，b的值分别为____.
1,1
例3 (1)曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是
三、与切线有关的综合问题
√
解析 设曲线y＝xln
x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.
∵y′＝ln
x＋1，
∴
＝ln
x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).
(2)设曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线与直线
x＋2y＋1＝0垂直，则
实数a＝___.
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
所以f′(1)＝2.
因为f(x)＝a(x－1)ex，
所以f′(x)＝aex
＋a(x－1)ex＝axex，
反思感悟
本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
√
1
2
3
4
5
2.设函数y＝－2exsin
x，则y′等于
A.－2excos
x
B.－2exsin
x
C.2exsin
x
D.－2ex(sin
x＋cos
x)
1
2
3
4
5
√
解析 y′＝－2(exsin
x＋excos
x)
＝－2ex(sin
x＋cos
x).
A.－1
B.0
C.1
D.2
1
2
3
4
5
√
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
1
2
3
4
5
1
所以f′(1)＝1.
1
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)导数的运算法则.
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列运算中正确的是
基础巩固
√
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√
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′，故错误；
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D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′，故正确.
2.函数f(x)＝excos
x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为
√
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解析 对函数求导得f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)，∴f′(0)＝1，
解析 ∵f(x)＝xln
x，
∴f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln
x0＋1＝2，
即ln
x0＝1，解得x0＝e.
3.设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0等于
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√
4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A.－1
B.－2
C.2
D.0
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√
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5.(多选)当函数y＝
(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是
A.a
B.0
C.－a
D.a2
√
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√
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0
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所以f
′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
8.已知函数f(x)＝ex·sin
x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是_______.
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y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin
x，f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
9.若曲线y＝x2－ax＋ln
x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围.
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10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
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(2)设函数g(x)＝exsin
x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解 由(1)可知g(x)＝exsin
x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin
x＋excos
x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin
0＋e0cos
0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
A.1
B.－1
C.7
D.－7
综合运用
√
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解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln
x，x>0，
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
12.已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln
x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于
√
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解析 ∵f′(x)＝f′(－1)·x－2，
∴f′(－1)＝－f′(－1)－2，
解得f′(－1)＝－1.
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14.已知函数f(x)＝xln
x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为___________.
x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln
x上，∴设切点坐标为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln
x(x>0)，
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∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln
1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
15.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝____.
拓广探究
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212
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解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212.
16.偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式.
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解 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x).
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1).∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
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165.2.2 导数的四则运算法则
学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
1.′＝ex.( √ )
2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( √ )
3．当g(x)≠0时，′＝.( √ )
一、利用运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x5＋x3；
(2)y＝3x2＋xcos
x；
(3)y＝；
(4)y＝lg
x－ex；
(5)y＝(＋1).
解 (1)y′＝′＝′＋′＝x4＋4x2.
(2)y′＝(3x2＋xcos
x)′＝(3x2)′＋(xcos
x)′＝6x＋x′cos
x＋x(cos
x)′＝6x＋cos
x－xsin
x.
(3)y′＝′＝＝＝.
(4)y′＝(lg
x－ex)′＝(lg
x)′－(ex)′＝－ex.
(5)y′＝′
＝′
＝－.
反思感悟 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln
x；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln
x)′＝(x2)′＋(xln
x)′
＝2x＋(x)′ln
x＋x(ln
x)′
＝2x＋ln
x＋x·
＝2x＋ln
x＋1.
(2)y′＝′＝
＝
＝.
(3)y′＝′＝＝.
(4)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
二、利用运算法则求曲线的切线
例2 (1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 B
解析 y′＝＝，故＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
(2)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
①求a，b的值；
②如果曲线y＝f(x)的切线与直线y＝－x＋3垂直，求切线的方程．
解 ①f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
②∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练2 (1)曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋2
B．y＝5x－4
C．y＝－5x＋6
D．y＝x－1
答案 C
解析 由y＝x3－4x2＋4，得y′＝3x2－8x，
y′|x＝1＝3－8＝－5，
所以曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6.
(2)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.
B.
C．1
D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln
x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln
x＋1，
∴＝ln
x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝xln
x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
(2)设曲线
y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线与直线
x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
答案
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
所以f′(1)＝2.
因为f(x)＝a(x－1)ex，
所以f′(x)＝aex
＋a(x－1)ex＝axex，
所以f′(1)＝ae，故a＝.
反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3 求曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．
解 由题意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝×2×1＝1.
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
2．设函数y＝－2exsin
x，则y′等于( )
A．－2excos
x
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2ex(sin
x＋cos
x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin
x＋excos
x)
＝－2ex(sin
x＋cos
x)．
3．若函数f(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝
＝
＝，
所以f′(1)＝1.
5．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f?的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x，∴f?＝1.
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，′＝，故错误；
D项中，(cos
x·sin
x)′＝(cos
x)′sin
x＋cos
x(sin
x)′，故正确．
2．函数f(x)＝excos
x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0
B.
C．1
D.
答案 B
解析 对函数求导得f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)，∴f′(0)＝1，∴函数f(x)＝excos
x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为.
3．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2
B．e
C.
D．ln
2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln
x，∴f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln
x0＋1＝2，即ln
x0＝1，解得x0＝e.
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．(多选)当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A．a
B．0
C．－a
D．a2
答案 AC
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
6．已知f(x)＝，则f′＝________.
答案
解析 因为f′(x)
＝
＝
＝
＝
＝.
所以f′＝＝.
7．已知f(x)＝，则f′(1)
＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.
答案 0
解析 因为f′(x)＝＝(x≠0)．
所以f
′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
解得x0＝.
8．已知函数f(x)＝ex·sin
x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin
x，f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
9．若曲线y＝x2－ax＋ln
x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解 ∵y＝x2－ax＋ln
x，∴y′＝2x－a＋，
由题意可知，存在实数x>0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，
∴a＝2x＋≥2(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)．
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin
x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin
x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin
x＋excos
x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin
0＋e0cos
0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于( )
A．1
B．－1
C．7
D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝＝，
又f′(1)＝tan
＝－1，∴a＝7.
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln
x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于( )
A.
B．1
C．－
D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln
x，x>0，
所以f′(x)＝ln
x＋(x＋a)·，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－，所以a＝－，故选C.
13．已知函数f(x)＝f′(－1)－2x＋3，则f(－1)的值为________．
答案
解析 ∵f′(x)＝f′(－1)·x－2，
∴f′(－1)＝－f′(－1)－2，
解得f′(－1)＝－1.
∴f(x)＝－－2x＋3，
∴f(－1)＝.
14．已知函数f(x)＝xln
x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln
x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln
x(x>0)，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln
1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
答案 212
解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212.
16．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
