(共62张PPT)
学习目标
1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 复合函数的导数
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝
.
思考 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
答案 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的.
f(g(x))
2.复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝
，即y对x的导数等于
.
y′u·u′x
y对?u的导数与u对x的导数的乘积
1.y＝cos
3x由函数y＝cos
u，u＝3x复合而成.( )
2.函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos
2x.( )
3.函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数：
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
(3)y＝log2(2x＋1)；
(2)y＝cos(x2)；
解 令u＝x2，则y＝cos
u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin
u·2x＝－2xsin(x2).
解 设y＝log2u，u＝2x＋1，
解 设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2.
(4)y＝e3x＋2.
反思感悟
(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
解
设y＝
u＝1－2x，
则y′x＝
(2)y＝5log2(1－x)；
解 函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数：
反思感悟
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(2)y＝sin3x＋sin
x3；
解 y′＝(sin3x＋sin
x3)′
＝(sin3x)′＋(sin
x3)′
＝3sin2xcos
x＋cos
x3·3x2
＝3sin2xcos
x＋3x2cos
x3.
(3)y＝xln(1＋x).
解 y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
例3 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是
三、与切线有关的综合问题
√
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).
解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.
反思感悟
(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求.两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件.
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域.在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内.
1
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝?????.
该切线与坐标轴围成的面积为????????.
2
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，
所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是
A.y＝un，u＝x2－1
B.y＝(u－1)n，u＝x2
C.y＝tn，t＝(x2－1)n
D.
t＝x2－1,
y＝tn
√
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5
√
2.函数y＝(2
020－8x)3的导数y′等于
A.3(2
020－8x)2
B.－24x
C.－24(2
020－8x)2
D.24(2
020－8x)2
1
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3
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5
√
解析 y′＝3(2
020－8x)2×(2
020－8x)′
＝3(2
020－8x)2×(－8)＝－24(2
020－8x)2.
3.函数y＝x2cos
2x的导数为
A.y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B.y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C.y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D.y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
1
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4
5
√
解析 y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
4.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝????????.
1
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5.曲线y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为?
???????.
x＋y－1＝0
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5
又切点坐标为(1,0).
∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列函数是复合函数的是
基础巩固
√
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√
√
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
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D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.
2.函数y＝xln(2x＋5)的导数为
√
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解析 ∵y＝xln(2x＋5)，
解析 y′＝(x3)′ecos
x＋x3(ecos
x)′
＝3x2ecos
x＋x3ecos
x·(cos
x)′
＝3x2ecos
x－x3ecos
xsin
x.
3.函数y＝x3ecos
x的导数为
A.y′＝3x2ecos
x＋x3ecos
x
B.y′＝3x2ecos
x－x3ecos
xsin
x
C.y′＝3x2ecos
x－x3esin
x
D.y′＝3x2ecos
x＋x3ecos
xsin
x
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4.曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于
A.2e
B.e
C.2
D.1
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解析 ∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，
∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.
5.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
A.1
B.2
C.－1
D.－2
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解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
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6.函数y＝sin
2xcos
3x的导数是?
?????????????????.
y′＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x
解析 ∵y＝sin
2xcos
3x，
∴y′＝(sin
2x)′cos
3x＋sin
2x(cos
3x)′
＝2cos
2xcos
3x－3sin
2xsin
3x.
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8.点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是
???
?????，此时点P的坐标为????
????.
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解析 与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短.
设切点为(x0，y0)，
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9.求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
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解 令u＝ex＋x2，则y＝ln
u.
(2)y＝102x＋3；
解 令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln
10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln
10.
(3)y＝sin4x＋cos
4x.
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解 ∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2
x·cos2
x
∴y′＝－sin
4x.
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解 ∵y＝esin
x，
∴y′＝esin
xcos
x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin
x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
综合运用
√
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解析 依题意得
y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.
在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
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所以y′∈[－1,0)，所以tan
α∈[－1,0).
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14.已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是?
???????.
y＝－2x－1
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln
x－3x，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝ln
x－3x，
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所以切线方程为y＝－2x－1.
拓广探究
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解 ∵f(x)＝eπxsin
πx，
∴f′(x)＝πeπxsin
πx＋πeπxcos
πx
＝πeπx(sin
πx＋cos
πx).
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解 设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
