(共61张PPT)
学习目标
1.了解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
思考 如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
答案 f(x)是常数函数.
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递____
f′(x)<0
单调递____
增
减
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
知识点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
____
比较“
”(向上或向下)
越小
____
比较“
”(向上或向下)
快
陡峭
慢
平缓
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.
( )
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
3.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.
( )
4.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、函数图象与导函数图象的关系
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为
解析 由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
√
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是
√
反思感悟
(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性.
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.
跟踪训练1 (1)已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
√
解析 当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
故选C.
二、利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间：
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍).
f′(x)，f(x)随x的变化如表所示.
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
f(1)
单调递增
解 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)，f(x)随x的变化如下表所示.
反思感悟
求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减.解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增.
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________________.
解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
(2)设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln
a)，单调递增区间为(ln
a，＋∞).
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
利用导数求参数的取值范围
典例 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围.
解 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
素养提升
(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
√
1
2
3
4
5
解析 ∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上是单调递增，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
2.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是
A.(－∞，2)
B.(0,3)
C.(3,4)
D.(2，＋∞)
1
2
3
4
5
√
解析 ∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合.
√
3.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则
1
2
3
4
5
√
解析 f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，
∴a≤0.
4.若函数f(x)＝
x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为
A.－1≤a≤2
B.－2≤a≤1
C.a＞2或a＜－1
D.a＞1或a＜－2
1
2
3
4
5
√
解析 若函数f(x)有3个单调区间，
则f
′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，
解得a＞1或a＜－2.
(－∞，－1]
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2
3
4
5
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2
3
4
5
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
1.知识清单：
(1)函数的单调性与其导数的关系.
(2)利用导数判断函数的单调性.
(3)利用导数求函数的单调区间.
2.方法归纳：方程思想、分类讨论.
3.常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足；忽略定义域的限制.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是
A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
B.在(1,2)上，f(x)单调递增
C.在(4,5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
基础巩固
√
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√
解析 由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增，
当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是单调递减.
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2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为
A.(2，＋∞)
B.(－∞，2)
C.(－∞，0)
D.(0,2)
√
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解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为(0,2).
3.函数f(x)＝ln
x－4x＋1的单调递增区间为
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√
4.(多选)函数f(x)＝xe－x的单调递增区间可以是
A.[－1,0]
B.[2,8]
C.[1,2]
D.[0,1]
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√
解析 由f′(x)＝e－x－x·e－x＝(1－x)·e－x>0，
e－x>0，得x<1.
√
5.函数f(x)＝xcos
x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
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√
解析 因为f(x)＝xcos
x，所以f′(x)＝cos
x－xsin
x.
因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.
由f′(0)＝1可排除C，D.
而f′(1)＝cos
1－sin
1<0，排除B.
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6.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为____________.
(－2，－1)
解析 f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1).
(－3，－1)∪(0,1)
解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0；
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
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解析 f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
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9.试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间.
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解 函数f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
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综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，
无单调递增区间；
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10.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解 ∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1,3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.
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(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
解 f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
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11.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为单调递减，函数g(x)＝x2－aln
x在(1,2)上为单调递增，则a等于
综合运用
√
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解析 因为函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，
依题意得，g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2≥a在(1,2)上恒成立，故a≤2.所以a＝2.
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12.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA.f(x)g(x)>f(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
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又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，
又因为f(x)>0，g(x)>0，
所以f(x)g(b)>f(b)g(x).
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13.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________.
[－1,1)
解析 令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.
∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，
14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
(－∞，－1)∪(0,1)
解析 因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
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15.(多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是
A.3f(4)<4f(3)
B.4f(4)>5f(3)
C.3f(3)<4f(2)
D.3f(3)>4f(2)
拓广探究
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解析 由(x＋1)f′(x)>f(x)，得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，
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∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD.
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16.已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1).
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当f′(x)>0时，解得－1当f′(x)<0时，解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞).
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(2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为单调递减，求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
易求得在区间[1，＋∞)上g′(x)>0，
故g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
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