(共51张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝____
f(x)＝x
f′(x)＝____
f(x)＝x2
f′(x)＝____
f(x)＝x3
f′(x)＝____
f(x)＝
f′(x)＝____
f(x)＝
f′(x)＝_____
知识点一 几个常用函数的导数
0
1
2x
3x2
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝___
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝_______
f(x)＝sin
x
f′(x)＝______
f(x)＝cos
x
f′(x)＝_______
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝______
f(x)＝ex
f′(x)＝___
0
αxα－1
cos?x
－sin?x
axln?a
ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝_______
f(x)＝ln
x
f′(x)＝___
3.若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.( )
4.若y＝sin
60°，则y′＝cos
60°.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0；
解 y′＝0.
(3)y＝lg
x；
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
反思感悟
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2
020；
解 因为y＝2
020，所以y′＝(2
020)′＝0.
(3)y＝4x；
(4)y＝log3x.
解 因为y＝4x，所以y′＝4xln
4.
解 因为y＝log3x，
二、利用导数研究曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝ln
x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究
求曲线y＝ln
x的过点O(0,0)的切线方程.
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln
x上.
∴设切点Q(x0，y0)，
反思感悟
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为
A.y＝12x－16
B.y＝12x＋16
C.y＝－12x－16
D.y＝－12x＋16
√
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln
x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值.
解 设切点为(x0，ln
x0)，
因为曲线y＝ln
x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以切点为(1,0).
所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
利用导数公式求切点坐标问题
典例 已知直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧
上求一点P，使△ABP的面积最大.
解 由于直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0
＝1.
故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧
上的点，使△ABP的面积最大.
素养提升
(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.给出下列命题：
解析 对于①，y′＝0，故①错；
其中正确命题的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
显然③，④正确.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
√
3.(多选)下列结论正确的是
1
2
3
4
5
√
解析 只有B是错误的.
√
√
1
2
3
4
5
1
解析 因为f(x)＝ln
x(x>0)，
所以x0＝1.
1
2
3
4
5
x＋y－6＝0
∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
1.知识清单：
(1)常用函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式.
(3)切线方程.
2.方法归纳：方程思想、待定系数法.
3.常见误区：不化简成基本初等函数.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.下列求导运算正确的是
基础巩固
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
A.2
B.3
C.4
D.5
2.下列各式中正确的个数是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
解析 ∵②(x－1)′＝－x－2；
④(cos
2)′＝0.
∴②④错误，故选A.
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴a＝4.
3.已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于
A.4
B.－4
C.5
D.－5
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√
A.0
B.－1
C.1
D.2
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16
√
解析 f′(x)＝－sin
x，
5.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为
A.(－1,1)
B.(－1，－1)
C.(1,1)
D.(1，－1)
√
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16
√
解析 y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).
6.已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数.若f(x)＝ln
5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为?????????
?????.
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x－y－1＝0
所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.
4
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(1,1)
解析 设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.
由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.
所以P(1,1).
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，
点P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以
＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).
9.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
1
2
3
4
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解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11.已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有
A.1条
B.2条
C.多于2条
D.不能确定
综合运用
√
解析 y′＝f′(x)＝3x2，
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16
12.若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝????????.
1
2
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2
解析 y′＝αxα－1，
所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，
即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.
13.已知f(x)＝cos
x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集
为???????????????????
?.
解析 ∵f′(x)＝－sin
x，g′(x)＝1，
∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin
x＋1≤0，
即sin
x≥1，则sin
x＝1，
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14.设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
020(x)＝??
??????.
sin
x
解析 由已知得，f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2
020(x)＝f4(x)＝sin
x.
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拓广探究
1
2
3
4
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6
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21
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16
解析 ∵y′＝2x，
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16.设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，求a1＋a2＋…＋a99的值.
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，
所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，
所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
99－lg
100)
＝lg
1－lg
100＝－2.
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16§5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos?x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin?x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln?a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
1．若y＝，则y′＝×2＝1.( × )
2．若f(x)＝，则f′(x)＝－.( √ )
3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.( × )
4．若y＝sin
60°，则y′＝cos
60°.( × )
一、利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0；
(2)y＝x；
(3)y＝lg
x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝xln?＝－xln
3.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝
∴
(5)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
(3)要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2
020；
(2)y＝；
(3)y＝4x；
(4)y＝log3x.
解 (1)因为y＝2
020，
所以y′＝(2
020)′＝0.
(2)因为y＝＝
所以y′＝
(3)因为y＝4x，
所以y′＝4xln
4.
(4)因为y＝log3x，
所以y′＝.
二、利用导数研究曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝ln
x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝，
∴k＝y′|x＝e＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，
即x－ey＝0.
延伸探究
求曲线y＝ln
x的过点O(0,0)的切线方程．
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln
x上．
∴设切点Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
∴＝，即x0＝e，
∴Q(e,1)，
∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16
B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16
D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln
x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．
解 设切点为(x0，ln
x0)，
由y＝ln
x得y′＝.
因为曲线y＝ln
x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以＝＝1，
即x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
利用导数公式求切点坐标问题
典例 已知直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 由于直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0
＝1.
故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．
1．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 C
解析 对于①，y′＝0，故①错；
对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；
显然③，④正确．
2．已知f(x)＝，则f′(8)等于( )
A．0
B．2
C.
D．－1
答案 C
解析 f(x)＝，得f′(x)＝
∴f′(8)
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝，则y′＝
D．若y＝x，则y′＝1
答案 ACD
解析 只有B是错误的．
因为y′
4．已知f(x)＝ln
x且f′(x0)＝，则x0＝????????.
答案 1
解析 因为f(x)＝ln
x(x>0)，
所以f′(x)＝，
所以f′(x0)＝＝，
所以x0＝1.
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是????????????．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，
∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数.
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cos
x)′＝－sin
x
B．(x3)′＝x3ln
x
C．(ex)′＝xex－1
D．(ln
x)′＝
答案 A
2．下列各式中正确的个数是( )
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③()′
④(cos
2)′＝－sin
2.
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 A
解析 ∵②(x－1)′＝－x－2；
④(cos
2)′＝0.
∴②④错误，故选A.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴a＝4.
4．若函数f(x)＝cos
x，则f′＋f?的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin
x，
所以f′＋f?＝－sin
＋cos
＝0.
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1)
B．(－1，－1)
C．(1,1)
D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
6．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln
5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为??????????????．
答案 x－y－1＝0
解析 由已知得f′(x)＝ln
5
＝，
所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.
7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是????????．
答案 4
解析 因为y′＝，
所以切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，
由题意知··a＝2，所以a＝4.
8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为????????．
答案 (1,1)
解析 设f(x)＝ex，
则f′(x)＝ex，
所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝－.
由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.
所以P(1,1)．
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
10．已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，x)在切线上，
所以x＋2＝2x0，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2或
y＋2＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( )
A．1条
B．2条
C．多于2条
D．不能确定
答案 B
解析 y′＝f′(x)＝3x2，
设切点为(x0，x)，
由3x＝1，得x0＝±，
即在点和点处均有斜率为1的切线，故有2条．
12．若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝????????.
答案 2
解析 y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.
13．已知f(x)＝cos
x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为????????????????????．
答案
解析 ∵f′(x)＝－sin
x，g′(x)＝1，
∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin
x＋1≤0，
即sin
x≥1，则sin
x＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
14．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
020(x)＝????????.
答案 sin
x
解析 由已知得，f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2
020(x)＝f4(x)＝sin
x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是????????．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg?＝lg
n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg
1－lg
2)＋(lg
2－lg
3)＋…＋(lg
99－lg
100)＝lg
1－lg
100＝－2.
