24.3 第1课时 圆周角定理及推论 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第24章
圆
24.3
圆周角
第1课时
圆周角定理及推论
学习目标
1.
理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.
理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理
解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.
理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
（难点）
问题1
什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角.
问题2
圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
复习引入
.
O
B
C
导入新课
像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公
共点的角叫做圆周角.
圆周角的定义
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
观察图中的∠A，它
有什么特点？
观察与思考
O
A
B
C
讲授新课
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系?
圆周角定理及其推论
观察与思考
你能证明吗？
O
A
C
B
圆心O
在∠BAC
的内部
圆心O在∠BAC
的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
下面给出猜想的证明：
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角，按圆心与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：
(1)
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2)
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
(3)
圆心O在∠BAC的外部
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
O
A1
A2
A3
知识要点
A
C
B
如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C
所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)
∠BOC=
?，理由是
.
；
(2)
∠BDC=
?，理由是
.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
练一练
典例精析
例1
如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC
＝130°，则∠D等于
(　　)
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.
故选A.
A
圆周角定理的推论
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
，D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
相等，
合作探究
∵
D
A
B
O
C
E
F
问题2
如图，若
∠A与∠B相等吗？
相等，
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理推论1
D
A
B
O
C
E
F
几何语言
知识要点
完成下列填空：
∠1=
.
∠2=
.
∠3=
.
∠5=
.
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线，
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
练一练
思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC
=
，
∠ABC=
.
90°
90°
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
O
A
C
B
D
例2
如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD
=
60°，∠ADC=70°.
求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB
=∠ACB－∠ACD
=
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC
=∠BAD
+∠ADC
=30°+70°=100°.
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为
(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.
故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
练一练
C
B
.
A
D
C
O
例3
如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
(1)
求DC的长；
B
解：∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
.
O
A
D
C
(2)
若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．
B
.
O
A
D
C
解：∵
AC是直径，∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
，∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴
AB=BC，
△ABC为等腰直角三角形.
∴
方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
1.
判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等
（
）
（3）同弦所对的圆周角相等
（
）
√
×
×
当堂练习
2.
已知
△ABC
的三个顶点在
⊙O
上，∠BAC=50°，
∠ABC=47°，则∠AOB=
．
B
A
C
O
166°
3.
如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是
.
C
A
B
O
2
4.
如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，
若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为
.
方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.
30°
5.
如图所示，边长为
1
的小正方形构成的网格中，半
径为
1
的
⊙O
的圆心
O
在格点上，则
∠AED
的正
切值等于
.
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC.
证明：
6.
如图，OA，OB，OC
都是
⊙O
的半径，∠AOB
=
2∠BOC.
求证：∠ACB
=
2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
∵
7.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
(1)
BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∴BD=CD.
解：BD=CD.
理由如下：连接AD，
(2)
求证：
.
证明：
∵
△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD.
∴
A
B
C
D
E
8.
已知
⊙O
的弦
AB
长等于
⊙O
的半径，求此弦
AB
所
对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，
连接CA，CB.
∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝1/2∠AOB＝30°.
即弦AB所对的圆周角等于30°.
如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，
连接AD，OD，BD，则∠BAD＝1/2∠BOD，
∠ABD＝1/2∠AOD.
∴∠BAD＋∠ABD＝1/2(∠BOD＋∠AOD)＝1/2∠AOB.
∵AB的长等于⊙O的半径，
∴△AOB为等边三角形，
∠AOB＝60°.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°，
∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)
＝150°，
即弦AB所对的圆周角为150°.
综上所述，弦AB所对的圆周角的度数
是30°或150°.
课堂小结
圆
周
角
定义
定理
推论
1.顶点在圆上；
2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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