24.4 第3课时 切线长定理 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第24章
圆
24.4
直线与圆的位置关系
第3课时
切线长定理
沪科版
九年级数学下册
教学课件
学习目标
1.
掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）
2.
初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）
情境引入
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
讲授新课
切线长定理及应用
问题1
我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线.
那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
O.
P
A
B
合作探究
你可以作几条？
作法：1.
连接OP.
2.
以OP为直径作圆，设此圆
交⊙O于点A，B.
3.
连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
?切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
知识要点
O.
P
A
B
?过圆外一点能够作圆的两条切线.
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量．
?切线长与切线的区别
O，A，B，P四点共圆哦！
问题2
沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？
O.
P
A
B
PA
=
PB，
∠APO
=∠BPO.
试着自己证明.
证明：连接OA，OB，
∵
PA切☉O于点A，
∴
OA⊥PA.
同理可得
OB⊥PB.
∵
OA
=
OB，OP
=
OP，
∴
Rt△OAP
≌
Rt△OBP，
∴
PA
=
PB，∠APO
=∠BPO.
切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵
PA、PB分别切☉O于A、B，
∴
PA
=
PB，
∠OPA=∠OPB.
几何语言：
O.
P
A
B
知识要点
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
1.
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.
你又能得出什
么新的结论?
请给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，
PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
M
想一想：
O.
P
A
B
2.
若PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么
新的结论?
请给出证明.
证明：∵
PA，PB是⊙O的切线，点
A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
又∵
PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB，
∴CA=CB.
CA=CB
C
O.
P
A
B
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
(1)
写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
(3)
写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
(4)
写出图中所有的等腰三角形.
△ABP，△AOB.
(2)
写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
例1
已知：如图，四边形
ABCD
的边
AB、BC、CD、
DA
与
⊙O
分别相切于点
E、F、G、H.
求证：AB+CD=DA+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O相切，E、F、G、H是切点，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴
AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即AB+CD=AD+BC.
典例精析
例2
如图，PA、PB
分别与
⊙O
相切于点
A、B，⊙O
的切线
EF
分别交
PA、PB
于点
E、F，切点
C
在弧
AB上.若PA长为2，则△PEF的周长是________．
解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点
A、B，所以PA＝PB.因为
⊙O
的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA
＝
EC，CF
＝
BF，所以△PEF
的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.
4
例3
如图，PA、PB
是
⊙O
的切线，切点分别为
A、B，点
C
在⊙O上，如果
∠ACB＝70°，那么
∠OPA
的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA、OB.
∠AOB＝2∠ACB＝140°.
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴O，A，B，P四点共圆，OP平分∠APB，∴∠APB＝180°－∠AOB＝180°－140°
＝40°＝2∠OPA.
∴∠OPA＝20°.
故答案为
20.
20
如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB
于点D、E.
已知△PDE的周长为14，∠P=40°.
则
(2)
∠DOE=
.
(1)
PA=
；
7
O
P
A
B
C
E
D
70°
练一练
例4
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
O
5cm
O
5cm
在Rt△OPA中，PA＝5，
∠POA＝30°，
Q
解：过
O
作
OQ⊥AB
于
Q，设铁环的圆心为
O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
∴
1.
如图，PA、PB是☉O
的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4，∠APB=
40
°，则∠APO
=
，PB
=
.
B
P
O
A
20
°
4
2.
如图，从☉O
外一点P引☉O的两条切线PA、PB，切
点分别为A、B，如果∠APB=
60°，PA=8，则弦
AB
=
.
B
P
O
A
8
第1题图
第2题图
3.
如图，AB、AC、BD是☉O的切线，P、C、D为切点，
如果AB=
5，AC=3，则BD
=
.
B
P
O
A
C
D
2
4.
如图，四边形
ABCD
的四条边分别与
⊙O
相切，且
AB
=16，CD=10，则四边形的周长为
.
·
A
B
C
D
O
第3题图
第4题图
52
5.
如图，△ABC三边都与⊙O
相切，
求证：AB
+
CF
=
AC
+
BF.
证明：∵△ABC三边都与⊙O
相切，
∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，
∴①+②+③得，
AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF.
F
E
D
C
B
A
O
6.
如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是
AB上
一点，以O为圆心，OB
为半径的圆与
AB
交于E，与
AC相切于点D.
求证：DE∥OC.
证明：方法①：连接OD，∵AC切⊙O点D，
∴OD⊥AC，∴
∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD=OB
，OC=OC，
∴
Rt△ODC
≌
Rt△OBC（HL），
∴
∠DOC=∠BOC.
∵
OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
方法②：连接BD，
∵BC⊥AB，
∴BC切⊙O于点B，
又∵AC切⊙O于点D，
∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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