2.1椭圆及其标准方程
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(共33张PPT)
地球绕太阳运行的轨道是椭圆
椭圆与生活
阳光下空中的气球在地面上的影子是椭圆
在我们实际生活中，同学们还见过其他椭圆吗？能举出一些实例吗？
想一想
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，
无论从力学原理，还是从施工角度考虑
都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。
中国水利水电科学研究院研究表明：
源自生活，
回归生活。
1.什么叫圆
2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
圆
探索发现
若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？
F1
F2
（1）在画出一个椭圆的过程中，绳子两端的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
合作与讨论
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
（2 ）到两定点F1，F2的距离等于定长
（3）定长﹥ |F1F2|
要素：
（1）在平面内
F1
F2
P
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
x
y
O
F1
F2
P
b2x2+a2y2=a2b2
椭圆的焦点分别是
,且有
如果椭圆的焦点在y轴上，方程怎样呢？
由两点间的距离公式，可知：
x
y
设|F1F2|=2c(c＞0)，P(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
|PF1|+ |PF2|=2a
椭圆的焦点分别是
焦点在x轴上:
焦点在y轴上:
椭圆的焦点分别是
椭圆的标准方程
x
O
F1
F2
y
O
F1
F2
y
x
方
程
特
点
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
（4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c—半焦距.且有关系式 成立。
例1 判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，写出焦点坐标及焦距.
答：在 x轴。 （-3，0）和（3，0） 2c=6
答：在y轴。 （0，-3）和（0，3） 2c=6
哪个分母大，焦点就在相对应的坐标轴上，反之亦然。
注意：
(2)
求适合下列条件的椭圆方程
1、a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
2.b=1， ，焦点在y轴上
练习
解：由题意可知焦点在x轴上
因为2c=8，2a=10，得c=4， a=5
故b2=a2－c2=9，
所以所求椭圆的标准方程是:
例 2(1) 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），(4，0）,椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，4），（0，-4）,
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
解：由题意可知焦点在y轴上
因为2c=8，2a=10，得c=4， a=5
故b2=a2－c2=9，
所以所求椭圆的标准方程是:
因为椭圆的焦点在y轴上
∴
，又
， ∴
所以椭圆的标准方程为：
解：由椭圆的定义知：
例3 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2）
（0 ,2)并且经过点 求椭圆的标准方程．
F2
F1
x
y
O
M
法（ ）待定系数法
法（1)定义法
已知B、C是两个定点，︱BC︱=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
B
C
y
x
o
A
练一练：
解 建立坐标系，使x轴经过B,C，原点0与B,C的中点重合
由已知
有
即点A的轨迹是焦点落在x轴上的椭圆
且 2c=6 , 2a=16-6=10
A
B
C
O
x
y
但当点A在直线BC上，
即y=0时，A,B,C三点不能构成三角形
注意 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线
上的点是否都是符合题义。
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
普通高中课程标准实验教科书
《数学》
选修1-1
人民教育出版社 A版
知识与技能：掌握椭圆的定义，会推导
椭圆的标准方程
过程与方法：会用待定系数法求椭圆的
标准方程
教学重点： 椭圆的定义和椭圆标准方程
的两种形式
教学难点： 椭圆标准方程的建立和推导
地球绕太阳运行的轨道是椭圆
椭圆与生活
阳光下空中的气球在地面上的影子是椭圆
在我们实际生活中，同学们还见过其他椭圆吗？能举出一些实例吗？
想一想
拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，
无论从力学原理，还是从施工角度考虑
都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。
中国水利水电科学研究院研究表明：
源自生活，
回归生活。
1.什么叫圆
2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
圆
探索发现
若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？
F1
F2
（1）在画出一个椭圆的过程中，绳子两端的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
合作与讨论
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹
（2 ）到两定点F1，F2的距离等于定长
（3）定长﹥ |F1F2|
要素：
（1）在平面内
F1
F2
P
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
1、F1、F2是两个不同的定点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
下面我们来求椭圆的标准方程.
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
x
y
O
F1
F2
P
b2x2+a2y2=a2b2
椭圆的焦点分别是
,且有
如果椭圆的焦点在y轴上，方程怎样呢？
由两点间的距离公式，可知：
x
y
设|F1F2|=2c(c＞0)，P(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
|PF1|+ |PF2|=2a
椭圆的焦点分别是
焦点在x轴上:
焦点在y轴上:
椭圆的焦点分别是
椭圆的标准方程
x
O
F1
F2
y
O
F1
F2
y
x
方
程
特
点
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
（4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c—半焦距.且有关系式 成立。
例1 判定下列椭圆的焦点在x轴还是y轴上，写出焦点坐标及焦距.
答：在 x轴。 （-3，0）和（3，0） 2c=6
答：在y轴。 （0，-3）和（0，3） 2c=6
哪个分母大，焦点就在相对应的坐标轴上，反之亦然。
注意：
(2)
求适合下列条件的椭圆方程
1、a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
2.b=1， ，焦点在y轴上
练习
解：由题意可知焦点在x轴上
因为2c=8，2a=10，得c=4， a=5
故b2=a2－c2=9，
所以所求椭圆的标准方程是:
例 2(1) 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），(4，0）,椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，4），（0，-4）,
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
解：由题意可知焦点在y轴上
因为2c=8，2a=10，得c=4， a=5
故b2=a2－c2=9，
所以所求椭圆的标准方程是:
因为椭圆的焦点在y轴上
∴
，又
， ∴
所以椭圆的标准方程为：
解：由椭圆的定义知：
例3 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2）
（0 ,2)并且经过点 求椭圆的标准方程．
F2
F1
x
y
O
M
法（ ）待定系数法
法（1)定义法
已知B、C是两个定点，︱BC︱=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
B
C
y
x
o
A
练一练：
解 建立坐标系，使x轴经过B,C，原点0与B,C的中点重合
由已知
有
即点A的轨迹是焦点落在x轴上的椭圆
且 2c=6 , 2a=16-6=10
A
B
C
O
x
y
但当点A在直线BC上，
即y=0时，A,B,C三点不能构成三角形
注意 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线
上的点是否都是符合题义。
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
普通高中课程标准实验教科书
《数学》
选修1-1
人民教育出版社 A版
知识与技能：掌握椭圆的定义，会推导
椭圆的标准方程
过程与方法：会用待定系数法求椭圆的
标准方程
教学重点： 椭圆的定义和椭圆标准方程
的两种形式
教学难点： 椭圆标准方程的建立和推导