人
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第二十二章
二次函数
第1课时
二次函数
教学目的
理解二次函数的定义
教学重点
理解二次函数的定义．
教学内容
知识要点
二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x
的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
注意事项
1．自变量的最高次数是2
2．二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项
3．二次函数解析式必须是整式
对应练习
1．已知函数：①y＝2x-1；②y＝-2x2-1；③y＝3x3-2x2；④y＝2x2-x-1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为( )
A.?1
B.?2
C.?3
D.?4
2．函数y＝(m+2)xm2+m+2x+1是二次函数，则m的值为( )
A.?-2
B.?0
C.?-2或1
D.?1
3．函数y=(m-1)xm2+1-2mx+1的图象是抛物线，则m＝
??．
4．如果函数y＝(m+1)xm2-m+2是二次函数，那么m＝
．
5．下列函数式中，一定为二次函数的是（ ）
A.?y＝3x﹣1
B.?y＝ax2+bx+c
C.?s＝2t2﹣2t+1
D.?y＝x2+
已知函数y＝(m2+2m)x2+mx+m+1，
(1)当m为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m为何值时，此函数是二次函数？
7．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
课堂总结
一般地，形如y=ax?+bx+c（a，b，c
是常数，a
≠
0）
的函数，叫做二次函数．
注意事项
自变量的最高次数是
2
二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项
3．二次函数解析式必须是整式
课后作业
1．函数y＝（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（ ）
A.?1
B.?﹣1
C.?±1
D.?0
2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A.?y＝x2
B.?y＝
C.?y＝kx2
D.?y＝k2x
3．若y＝(m2-m)xm?+m是二次函数，则m等于( )
A.?-2
B.?2
C.?1
D.?1或-2
4．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A.?y＝（x﹣1）（x+2）
B.?y＝（x+1）2
C.?y＝1﹣x2
D.?y＝2（x+3）2﹣2x2
5．若y与x的函数+3x是二次函数，则m＝????．
6．若y＝（m﹣1）xm2+2m﹣1是二次函数，则m的值是????．
7．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是????．
8．指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y＝（x﹣1）2﹣；
（5）y＝；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
9．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
练习答案：
B
2．D
3．﹣1
4．2
5．C
6.解答：
解：(1)∵函数y＝(m2+2m)x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝-2；
(2)∵函数y＝(m2+2m)x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠-2且m≠0．
7.解答：
解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
作业答案:
1.B
2.A
3.A
4.D
5．﹣1
6.
﹣3
7.
0
解答：
解：（1）y＝2x+1不是二次函数，是一次函数；
（2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；
（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数项是0；
（4）y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x+﹣＝x2﹣x﹣2，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是﹣1，常数项是﹣2；
（5）y＝不是二次函数；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函数．
9.解答：
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0
解得m＝0或m＝1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．人
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第二十二章
二次函数
第2课时
二次函数y＝ax2
教学目的
掌握二次函数y＝ax2的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图?象的性质
能分清当
a
>
0，a
<
0
时图象之间有什么共同点与不同点，结合图像掌握参数
对
a
开口大小的影响．
教学重点
能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并说出二次函数的图象的性质．
教学内容
知识要点
1．画y＝ax2的图象
方 法：描点法．
步 骤：列表，描点，
连线
．
形 状：一条曲线，即抛物线y＝ax2.
结 论：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.
2．二次函数y＝ax2的图象特征
形 状：抛物线．
顶 点：坐标原点
0,0
．
对称轴：y轴．
开口方向：当
a>0
时，开口向上；
当
a<0
时，开口向下．
顶 点：a>0，顶点是抛物线的
最低点
；
a<0，顶点是抛物线的
最高点
．
开口大小：|a|越大，抛物线的开口
越小
；
|a|越小，抛物线的开口
越大
.
对应练习
1．抛物线y＝﹣x2开口方向是（ ）
A.?向上
B.?向下
C.?向左
D.?向右
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2的开口方向是（ ）
A.?向上
B.?向下
C.?向左
D.?向右
3．如图所示，二次函数y=ax2与一次函数y=ax-a的图象大致是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
4．函数y=-a（x+a）与y=-ax2（a≠0）在同一坐标系上的图象是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
5．如图在同一个坐标系中函数y=kx2和y=kx-2（k≠0）的图象可能的是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
6．在二次函数（1）y=-3x2，（2）y=x2，（3）y=x2中，图象在同一水平线上的开口大小顺序应该为（ ）
A.?（1）＞（2）＞（3）
B.?（1）＞（3）＞（2）
C.?（2）＞（3）＞（1）
D.?（2）＞（1）＞（3）
7．抛物线y=4x2与y=-2x2的图象，开口较大的是（ ）
A.?y=-2x2
B.?y=4x2
C.?同样大
D.?无法确定
8．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为（
?
?
）
A.?c＞a＞d＞b
B.?a＞c＞d＞b
C.?a＞b＞d＞c
D.?c＞a＞b＞d
9．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2、y=2x2?的图像．
10．二次函数y=ax2的图象经过点(2，-2)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
课后作业
1．抛物线y＝﹣3x2开口方向是（ ）
A.?向上
B.?向下
C.?向左
D.?向右
2．如图所示，二次函数y=ax2与一次函数y=ax-a的图象大致是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
3．如图所示，二次函数y=ax2与一次函数y=-ax+a的图象大致是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
4．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
5．在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a(a＜0)的图象的大致位置可能是( )
A.?
B.?
C.?
D.?
6．已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（ ）
A.?第一、二、三象限
B.?第二、三、四象限
C.?第一、二、四象限
D.?第一、三、四象限
7．抛物线y=
x2，y=-3x2，y=x2的图象开口最大的是（ ）
A.?y=
x2
B.?y=-3x2
C.?y=x2
D.?无法确定
8．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（
?
?
?）
8题图
9题图
A.?①③②
B.?①②③
C.?②③①
D.?③②①
9．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是?
???．(请用"＞"连接排序)
10．形如y=ax2的二次函数图象的性质：
（1）图象的顶点是______．
（2）图象的对称轴是______．
（3）当a>0时，图象的开口_______；当a<0时，图象的开口_______．
（4）|a|越大，图象的开口越_____．
11.（1）在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=x2，y=-2x2的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
（2）当a＜0时，二次函数y
=ax2的图象有什么特点？
练习答案：
B
A
B
D
C
C
A
C
解
列表：
描点、连线，即得这两个函数的图像，如图
解答：
（1）y=x2
（2）x≤0
作业答案:
B
B
D
C
B
D
A
A
a1＞a2＞a3＞a4
(0,0),y轴,向上，向下，小
（1）开口向下，顶点相同，开口大小不同
（2）a＜0，图像开口向下人
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第二十二章
二次函数
第3课时二次函数
教学目的
会用描点法画出二次函数
y
=
ax??
+k
的图象．
通过二次函数
y
=
ax???
+k的图象，了解它们的图象特征和性质．
教学重点
教学内容
知识要点
1.二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
形 状：抛物线．
对称轴：y轴．
顶点坐标：(0，k)．
开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下．
最 值：a>0，当x＝
0
时，y最小值＝k；
a<0，当x＝
0
时，y最大值＝k.
2.抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系
相同点：形状、大小，开口方向相同．
不同点：顶点及位置不同．
平移规律：y＝ax2
y＝ax2＋k；
y＝ax2
y＝ax2－k.
对应练习
1．抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A.?（0，2）
B.?（0，﹣2）
C.?（﹣2，0）
D.?（2，0）
2．已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.?y1＜y2＜y3
B.?y1＜y2＜y3
C.?y1＝y2＞y3
D.?y1＝y2＜y3
3．在同一直角坐标系中，函数?与?的图像大致如图（
）
A.?B.??C.??D.?
4．二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：????
5．抛物线y＝x2-1的顶点坐标是????．
课后作业
1．抛物线y=﹣?x2+1的顶点坐标是（
）
A.?（0，1）?
B.?（?，1）?
C.?（﹣?，﹣1）?
D.?（2，﹣1）
2．已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A.?y1＜y2
B.?y1＞y2
C.?y1≤y2
D.?y1≥y2
3．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是( )
A.?
B.?
C.?
D.?
4．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（ ）
A.?第一象限
B.?第二象限
C.?x轴上
D.?y轴上
5．在同一直角坐标系中?与?（a≠0，b≠0）图象大致为??
A.?
B.?
C.?
D.?
6．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是
（用"＜"连接）
7．平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+1的图象的顶点坐标为
．
8．抛物线y＝4x2﹣3的顶点坐标是????.
9．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2+1，y=2x2-1的图像．
练习答案：
B
C
C
答案不唯一y＝﹣x2+3
（0，-1）
作业答案:
A
B
A
D
A
y1＜y2＜y3
（0，1）
（0，-3）
解：先列表：
然后描点画图，得y=2x2+1，y=2x2-1的图像人
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第二十二章
二次函数
第4课时
二次函数
y
=
a（x-h)?+k
的图象及性质
教学目的
1．会画二次函数y＝a(x－h)2
+k的图象并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等；
2．掌握二次函数y＝a(x－h)2
+k的图象的平移规律．
教学重点
正确理解二次函数
y
=
a（x-h）2
+k
的图象与
y
=
ax?2?之间的关系以及函数
y
=
a（x-h）2
+k
的性质．
教学内容
知识要点
抛物线
y=a（x-h）2
的性质
抛物线
y=a（x-h）2+k
的性质
对应练习
1．抛物线y＝(x-1)2+2的顶点坐标是( )
A.?(-1，2)
B.?(-1，-2)
C.?(1，-2)
D.?(1，2)
2．若二次函数y＝(x-m)2-1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A.?m＝1
B.?m＞1
C.?m≥1
D.?m≤1
3．对于抛物线y=(x-1)2-2的图象，下列说法正确的是( )
A.?开口向下
B.?对称轴是直线x=-1
C.?顶点坐标是(1，2)
D.?与x轴有两个交点
4．函数y＝x2+3x+1的顶点坐标是?
???．
5．抛物线y=(k+1)x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k=??
??．
6．关于二次函数y=(x+2)2-3的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A.?当x＝﹣2时，函数有最大值﹣3
B.?当x＜﹣2时，y随x的增大而增大
C.?抛物线可由y=x2经过平移得到
D.?该函数的图象与x轴有两个交点
7．顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（ ）
A.?
B.?
C.?
D.?
8．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A.?y1＞y2＞y3
B.?y1＞y3＞y2
C.?y3＞y2＞y1
D.?y3＞y1＞y2
9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A.?y1＜y2
B.?y1＞y2
C.?y的最小值是﹣3
D.?y的最小值是﹣4
10．若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2）为二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上的两点，则y1????y2（填"＞"，"＝"或"＜"）.
11．形如y=a(x-h)2+k的顶点和对称轴：
（1）图象的顶点是????．
（2）图象的对称轴是????．
12．已知二次函数y＝x2+4x+3.
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y＝a(x-h)2+k的形式；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
(3)观察图象，直接写出当-3≤x≤0时y的取值范围.
13．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线????；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，均有y1≥y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．
课后作业
1．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A.?（1，1）
B.?（﹣1，1）
C.?（﹣1，﹣1）
D.?（1，﹣1）
2．二次函数y=
(x-4)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )
A.?向上，直线x＝4，(4，5)
B.?向上，直线x＝-4，(-4，5)
C.?向上，直线x＝4，(4，-5)
D.?向下，直线x＝-4，(-4，5)
3．对于抛物线y=-(x-5)2+3，下列说法错误的是( )
A.?对称轴是直线x=5
B.?函数的最大值是3
C.?开口向下，顶点坐标(5,3)
D.?当x>5时，y随x的增大而增大
4．二次函数y＝x2-2x-1的图象的顶点坐标是
．
5．
①y=-(x+2)2-3的顶点是(????，???)，可以看作由?????y=-x2，向???????平移???????个单位，向???????平移???????个单位得到．
②y=(x-1)2+2的顶点是(???，??)，可以看作由????y=x2?，向????
平移???
??个单位，向????
?平移??????个单位得到．
③y=2(x-1)2-2的顶点是(???，??)，可以看作由???y=2x2?，向??????平移??????个单位，向??????平移??????个单位得到．
④y=-2(x+1)2+2的顶点是(???，?)，可以看作由y=-2x2，向???????平移??????个单位，向???????平移??????个单位得到．
6．已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上，若x1>x2>1，则y1????y2（填“>”、“
<”或“=”
)．
7．对二次函数y=-5(x+2)2-6的说法错误的是( )
A.?开口向下
B.?最大值为-6
C.?顶点(2，-6)
D.?x＜-2时，y随x的增大而增大
8．对于抛物线y=-(x+2)2+3，下列结论中正确结论的个数为( )
①抛物线的开口向下；
②对称轴是直线x=-2；
③图象不经过第一象限；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A.?4个
B.?3个
C.?2个
D.?1个
9．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A.?图象的开口向下
B.?函数的最大值为1
C.?图象的对称轴为直线x＝﹣2
D.?当x＜2时y随x的增大而减小
10．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.?y1＞y2＞y3
B.?y2＞y1＞y3
C.?y3＞y1＞y2
D.?y3＞y2＞y1
11．将函数y＝﹣?x2+4x﹣3化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，得
，它的图象顶点坐标是
?.
已知二次函数y＝x2+4x+3.
（1）用配方法将y＝x2+4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象.
练习答案：
答案：
D
答案：
C
答案：
D
答案：
答案：
-3
答案：
D
答案：
C
答案：
A
答案：
D
答案：
＜
11.答案：
(h，k)
x=h
12.解答：
解：(1)y＝x2?+4x+3
＝x2?+4x+22?-22+3
＝(x+2)2?-1；
(2)列表：
x?...?-4?-3?-2?-1?0?...?y?...?3?0?-1?0?3?...?
描点、连线，画出图象为：
13.解答：
解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，
∴对称轴为x＝1，
故答案为x＝1；
（2）∵函数的开口向上，
∴a＞0，
当﹣1≤x≤5时，x＝5时函数有最大值，当x＝1时函数有最小值，
∵最高点M的纵坐标是，
∴当x＝5时y＝，
∴a＝2，
∴M（5，），N（1，﹣4）；
（3）∵函数的开口向下，
∴a＜0，
（3，0）关于x＝1对称的点是（﹣1，0），
∵当x2≥3时，均有y1≥y2，
∴﹣1≤x1≤3．
作业答案:
答案：
A
答案：
A
答案：
D
答案：
（1，﹣2）
答案：
-2，-3
左2下3
1，2
右1上
2
-2
右1下
2
-1，2
左1上2
答案：
>
答案：
C
答案：
A
答案：
D
答案：
D
答案：y=
；（4，5）
解答：
.
解：（1）y＝（x2+4x）+3
＝（x2+4x+4﹣4）+3
＝（x+2）2﹣1；
（2）如图：
