苏科版八年级数学上册第四章《实数》提优测试卷（Word版 含解析）

第四章《实数》提优测试卷
一、选择题
1．下列语句中正确的是（　　）
A．﹣9的平方根是﹣3
B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是±3
D．9的算术平方根是3
2．下列语句正确的是（　　）
A．9的平方根是﹣3
B．﹣7是﹣49的平方根
C．﹣15是225的平方根
D．（﹣4）2的平方根是﹣4
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．a+b=0
B．b＜a
C．ab＞0
D．|b|＜|a|
5．估计的值（　　）
A．在3到4之间
B．在4到5之间
C．在5到6之间
D．在6到7之间
6．如图，数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，在数轴上表示的点的位置会落在线段（　　）
A．OA上
B．AB上
C．BC上
D．CD上
7．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）
A．米
B．米
C．（
+1）米
D．3米
二、填空题
10．a是9的算术平方根，而b的算术平方根是9，则a+b=　
　．
11．计算：±
=　
　；（﹣）2=　
　．
12．近似数2.96精确到了　
　位；近似数4698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为　
　．
13．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　
　．
14．写出一个介于4和5之间的无理数：　
　．
15．数轴上到原点距离为的点所表示的实数是　
　．
16．若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是　
　．
17．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　
　．
18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　
　．
二、解答题
19．把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{　
　
…}；
（2）有理数集：{　
　…}；
（3）无理数集：{　
　
…}．
20．计算：
（1）+﹣（）2；
（2）+|1﹣|﹣；
（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．
21．（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|=6，b2=4，求．
22．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
第四章《实数》提优测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列语句中正确的是（　　）
A．﹣9的平方根是﹣3
B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是±3
D．9的算术平方根是3
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】A、B、C、D分别根据平方根和算术平方根的定义即可判定．
【解答】解：A、﹣9没有平方根，故A选项错误；
B、9的平方根是±3，故B选项错误；
C、9的算术平方根是3，故C选项错误．
D、9的算术平方根是3，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
2．下列语句正确的是（　　）
A．9的平方根是﹣3
B．﹣7是﹣49的平方根
C．﹣15是225的平方根
D．（﹣4）2的平方根是﹣4
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、D进行判断；根据负数没有平方根可对B进行判断；根据平方根的定义对C进行判断．
【解答】解：A、9的平方根是±3，所以A选项错误；
B、﹣49没有平方根，所以B选项错误；
C、﹣15是225的平方根，所以C选项正确；
D、（﹣4）2的平方根为±4，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）．
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【解答】解：①∵22+32=13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32+42=52
，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12+（）2=22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．a+b=0
B．b＜a
C．ab＞0
D．|b|＜|a|
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型．
【分析】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．
【解答】解：根据图形可知：
﹣2＜a＜﹣1，
0＜b＜1，
则|b|＜|a|；
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．
5．估计的值（　　）
A．在3到4之间
B．在4到5之间
C．在5到6之间
D．在6到7之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴在5到6之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的那就，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．如图，数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，在数轴上表示的点的位置会落在线段（　　）
A．OA上
B．AB上
C．BC上
D．CD上
【考点】实数与数轴．
【分析】由于=4，＜，所以应落在BC上．
【解答】解：∵
=4，＜，
∴3.6，
所以应落在BC上．
故选C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，此题主要考查了估算无理数的大小，可以直接估算所以无理数的值，也可以利用“夹逼法”来估算．
7．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】先求出小正方形的边长，再求出各条线段的长度．
【解答】解：根据正方形的面积公式得：每个小正方形的边长是．
再根据勾股定理得：
AB=2，EF==2，CD==4，GH==，
其中是有理数的有EF和CD共2条；
故选B．
【点评】考查了正方形的面积公式以及勾股定理．注意此类计算线段的长的方法：构造到直角三角形中，运用勾股定理计算．
8．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】二次根式的定义．
【分析】因为是整数，且==2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【解答】解：∵
==2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故本题选D．
【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则=．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）
A．米
B．米
C．（
+1）米
D．3米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解答】解：Rt△ABC中，AC=1米，AB=2米；
由勾股定理，得：BC==米；
∴树的高度为：AC+BC=（+1）米；
故选C．
【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
二、填空题
10．a是9的算术平方根，而b的算术平方根是9，则a+b=　84　．
【考点】算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】先根据算术平方根的定义求出a、b的值，然后算出a+b即可．
【解答】解：∵a是9的算术平方根，
∴a=3，
又∵b的算术平方根是9，
∴b=81，
∴a+b=3+81=84．
故答案为：84．
【点评】本题考查了算术平方根的概念，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
　11．计算：±
=　±3　；（﹣）2=　3　．
【考点】实数的运算；平方根．
【专题】计算题．
【分析】原式利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=±3；原式=3，
故答案为：±3；3
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．近似数2.96精确到了　百分　位；近似数4698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为　4.70×106　．
【考点】科学记数法与有效数字；近似数和有效数字．
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．
【解答】解：近似数2.96精确到了百分位；
近似数4698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为4.70×106，
故答案为：百分，4.70×106．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字．把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
13．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则（）2012=（）2012=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．写出一个介于4和5之间的无理数：　（答案不唯一）　．
【考点】估算无理数的大小；无理数．
【专题】应用题．
【分析】由于4=，5=，所以被开方数只要在16和25之间即可；
【解答】解：∵4=，5=，
∴在4与5之间的无理数为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．
15．数轴上到原点距离为的点所表示的实数是　1﹣或﹣1　．
【考点】实数与数轴．
【分析】分点在原点的左边与右边两种情况求解．
【解答】解：①原点左边到原点的距离为﹣1的点是1﹣，
②原点右边到原点的距离为﹣1的点是﹣1，
所以数轴上到原点的距离为﹣1的点是1﹣或﹣1，
故答案为1﹣或﹣1．
【点评】本题考查了实数与数轴，注意需要分点在原点的左右两边两种情况求解，避免漏解而导致出错．
16．若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是　0　．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据a与b互为相反数，得到a+b=0，即可确定出立方根之和．
【解答】解：∵a与b互为相反数，即a=﹣b，
∴它们的立方根之和+=﹣+=0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
17．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　9　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【分析】由于4＜＜5，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　8或或3　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．
【解答】解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB﹣AD=5﹣4=1，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，
根据勾股定理得：BC==；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，
根据勾股定理得：BC==3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，
根据勾股定理得：BD==4，
∴BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．
解答题
19．把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{　2，，　
…}；
（2）有理数集：{　2，﹣，2.3，30%，，　…}；
（3）无理数集：{　π，||　
…}．
【考点】实数．
【分析】先进行化简，再根据有理数的分类，即可解答．
【解答】解：|﹣|=，
=2，
=﹣2，
（1）整数集：{2，，，…}；
（2）有理数集：{2，﹣，2.3，30%，，，…}；
（3）无理数集：{π，||，…}；
故答案为：（1）2，，；（2）2，﹣，2.3，30%，，；（3）π，||．
【点评】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．
20．计算：
（1）+﹣（）2；
（2）+|1﹣|﹣；
（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根以及二次根式性质计算即可得到结果；
（2）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果；
（3）原式利用二次根式性质，立方根，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3﹣4﹣3=﹣4；
（2）原式=2+﹣1﹣=1；
（3）原式=3﹣2﹣4+﹣1=﹣2+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|=6，b2=4，求．
【考点】非负数的性质：算术平方根；平方根；算术平方根．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义求解；
（2）分别根据|a|=6，b2=4，求出a，b的值，然后求a+2b的算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵与互为相反数，
∴，
解得：，
∴（x﹣y）2的平方根是±3，
（2）∵|a|=6，b2=4，
∴a=±6，b=±2，
∴a+2b=±10，或±2，
∵a+2b＞0，
∴=，或=．
【点评】本题考查了非负数的性质，本题考查了平方根的知识，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
22．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
【考点】实数与数轴；实数大小比较．
【专题】常规题型．
【分析】根据数轴的特点把各数表示在数轴上，然后根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行排列即可．
【解答】解：
∴按从小到大顺序进行排列如下：
﹣1.5＜﹣＜0＜＜π＜4．
【点评】本题主要考查了数轴的知识以及数轴上的数，右边的总比左边的大的性质，需熟练掌握并灵活运用．
23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【考点】平方根；算术平方根；估算无理数的大小．
【分析】由平方根的定义可知2a﹣1=9，3a+b﹣1=16，可求得a、b的值，然后再根据被开方数越大对应的算术平方根越大估算出c的值，接下来再求得a+2b+c的值，最后求得a+2b+c的算术平方根即可．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，
∴2a﹣1=9，3a+b﹣1=16．
解得：a=5，b=2．
∵49＜57＜64，
∴7＜＜8．
∴c=7．
∴a+2b+c=5+2×2+7=16．
∵16的算术平方根是4．
∴a+2b+c的算术平方根是4．
【点评】本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义、估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根越大是解题的关键．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】网格型；开放型．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为无理数的线段，画三角形即可．
【解答】解：
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：6×（）2=54（cm2），
则每个小正方体的表面积为54cm2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式+的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）AC+CE=+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．