(共29张PPT)
1.1
锐角三角函数（1）
数学北师大版
九年级下
复习导入
请同学们观察一下梯子、山坡，怎样描述陡峭程度呢？
(1)在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?
图1-1
新知讲解
新知讲解
(2）在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
图1-2
新知讲解
如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为，通过测量B2C2,及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗?
(1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
想一想
图1-3
直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2
相似
新知讲解
(2)
和
有什么关系?
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
(3)改变B2在梯子上的位置，（2）中的比值仍相等.
(2)
新知讲解
如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(
tangent
)，记作tan
A，即
当锐角A变化时，tan
A的值也随之变化.
C
A
B
∠A的对边
∠A的邻边
图1-4
新知讲解
议一议
在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?
tan
A
的值越大，梯子越陡.
新知讲解
例1
图1-5表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
图1-5
新知讲解
解：甲梯中，
乙梯中，
因为tanα>tanβ，所以甲梯更陡.
新知讲解
正切也经常用来描述山坡的坡度．例如，有一山坡在水平方向上每前进100
m就升高60m(图1-6)，那么山坡的坡度就是
图1-6
新知讲解
注意：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，
∠A是一个锐角.
2）
tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
新知讲解
3）
tanA﹥0
且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比.
4）tanA不表示“tan”乘“A
”.
5）
tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
课堂练习
1、如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
，则t的值是
(
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
3
C
课堂练习
解∵点A(t,3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t．
又∵tanα=
，
∴t=2．
故选C．
课堂练习
2、如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan
A的值为(
)
A.
B.
C.
1
D.
2
B
解：在Rt△ADB中，
tanA=
=
故选B．
D
课堂练习
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AB=
，则tan∠CAD的值是(
)．
A.
2
B.
C.
D.
A
课堂练习
解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，BC=8，
在Rt△ACB中，
AC=
，
∴tan∠CAD=
．
课堂练习
4、比较tan
20°，tan
50°，tan
70°的大小，下列不等式正确的是( )
A．
tan
70°＜tan
50°＜tan
20°
B．
tan
50°＜tan
20°＜tan
70°
C．
tan
20°＜tan
50°＜tan
70°
D．
tan
20°＜tan
70°＜tan
50°
C
课堂练习
解：由锐角的正切值随角增大而增大，得
tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，
故选C.
拓展提高
5、在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是(
)
A.
2
B.
C.
D.
B
拓展提高
解：如图，作BF//CD，连接AF．
∵
∴AB2=AF2+BF2
∴△ABF是直角三角形，
∵CD//BF
∴∠AED=∠ABF
∴tan∠AED=tan∠ABF=
故选：B．
拓展提高
6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝
∠BAC，求tan∠BPC的值．
拓展提高
解 过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝
BC＝
×8＝4，∠BAE＝
∠BAC，
∵∠BPC＝
∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝
，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝
.
课堂总结
1.三角函数tanA是一个比值定义
2.tanA的值越大,梯子AB1越陡.
3.梯子倾斜角越大，梯子越陡.
板书设计
课题：1.1
锐角三角函数
?
教师板演区
?
学生展示区
一、正弦的定义
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P4练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P4练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级上册1.1锐角三角函数（1）导学案
课题
1.1
锐角三角函数（1）
单元
第1
章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算.
重点
难点
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
直角三角形中，两个锐角的关系是？
合
作
探
究
探究一：
(1)在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?
图1-1
(2）在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
图1-2
想一想
如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为，通过测量B2C2,及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗?
图1-3
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
(2)
和
有什么关系?
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?
探究二：
如图1-4，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(
tangent
)，记作tan
A，即
当锐角A变化时，tan
A的值也随之变化.
议一议
在图1-3中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?
tan
A的值越大，梯子越陡.
例1
图1-5表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
图1-5
注意：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，
∠A是一个锐角.
2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
3）tanA﹥0
且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比.
4）tanA不表示“tan”乘以“A
”.
5）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
当
堂
检
测
如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=
，则t的值是
(
)
A.
1
B.
1.5
C.
2
D.
3
2、
如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan
A的值为(
)
A.
B.
C.
1
D.
2
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，
AB=
，则tan∠CAD的值是(
)．
A.
2
B.
C.
D.
4、比较tan
20°，tan
50°，tan
70°的大小，下列不等式正确的是( )
A．
tan
70°＜tan
50°＜tan
20°
B．
tan
50°＜tan
20°＜tan
70°
C．
tan
20°＜tan
50°＜tan
70°
D．
tan
20°＜tan
70°＜tan
50°
5、在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是(
)
A.
2
B.
C.
D.
6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，求tan∠BPC的值
课
堂
小
结
1.三角函数tanA是一个比值定义
2.tanA的值越大,梯子AB1越陡.
3.梯子倾斜角越大，梯子越陡.
参考答案
自主学习：
直角三角形中，两个锐角互余.
合作探究：
探究一：
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2相似
(2)
(3)改变B2在梯子上的位置，（2）中的比值仍相等
探究二：
解：甲梯中，
乙梯中，
因为tanα>tanβ，所以甲梯更陡。
正切也经常用来描述山坡的坡度．例如，有一山坡在水平方向上每前进100
m就升高60m(图1-6)，那么山坡的坡度就是
当堂检测：
1、解∵点A(t,3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t．
又∵tanα=
，
∴t=2．
故选C．
2、解：在Rt△ADB中，
tanA=
=
.
故选B．
3、解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，BC=8，
在Rt△ACB中，
AC=
，
∴tan∠CAD=
4解：由锐角的正切值随角增大而增大，得
tan20°＜tan50°＜tan
70°，故C符合题意，
故选C.
5解：如图，作BF//CD，连接AF．
∵
∴AB2=AF2+BF2
∴△ABF是直角三角形，
∵CD//BF
∴∠AED=∠ABF
∴tan∠AED=tan∠ABF=
故选：B．
6解 过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝
，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝
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精品试卷·第
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