24.4 第2课时 切线的性质和判定 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第24章
圆
24.4
直线与圆的位置关系
第2课时
切线的性质和判定
沪科版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
知识小结
新课目标
1
学习目标
1.
会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作
圆的切线.
2.
理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）
3.
能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
（难点）
情景导学
2
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
新课进行时
3
如图，如果直线
l
是
⊙O
的切线，点
A
为切点，那么
OA
与
l
垂直吗？如何证明？
A
l
O
切线的性质定理
观察与思考
讲授新课
证明：当直线
l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.
这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，
因为点B在⊙O外，所以OB
>OA.
这就是说，OA是点O到直线
l上任一点连线中最短的，
故OA⊥l.
于是我们可以得到：
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径.
B
A
O
l
A
l
O
∵直线l是⊙O
的切线，A是切点，
∴直线l
⊥OA.
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：
知识要点
如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=
.
60°
练一练
A
B
N
O
M
典例精析
例1
如图，点
O
是
∠BAC
的边
AC
上的一点，⊙O
与边
AB
相切于点
D，与线段
AO
相交于点
E，若点
P
是⊙O
上一点，且∠EPD
＝
35°，则
∠BAC
的度数为
(　　)
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO
＝90°.
∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
A
例2
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于
B、C
两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)
求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，OA，OB为半径，
∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°，
(2)
若AP
＝
，求⊙O的半径．
∴
AO＝1，
即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝
，
O
A
B
P
C
A
B
C
已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点
A作圆O的切线？
作法：1.
连接OA.
2.
过点
A
作直线
BC⊥OA.
则直线
BC
即为所作.
切线的判定定理
O
观察与思考
为什么直线BC即为所作呢？
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵
OA为⊙O的半径，
BC
⊥
OA于A，
∴
BC为⊙O的切线.
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
知识要点
利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.
O.
O
O
(1)
(2)
(3)
(1)
不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
练一练
“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.
定义法：直线和圆只有一个公共点
时，我们说这条直线是圆的切线.
2.
数量关系法：圆心到这条直线的距
离等于半径
(即
d
=
r)
时，直线与
圆相切.
3.
判定定理：经过半径的外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
知识要点
例3
如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.
证明：∵AB
=AC，∠ABC
=45°，
∴∠ACB
=∠ABC
=45°.
∴∠BAC
=180°-∠ABC-ACB
=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴
AC是☉O的切线.
A
O
C
B
例4
已知：直线
AB
经过
⊙O
上的点
C，并且OA=OB，CA
=
CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
提示：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC.
∵
OA＝OB，CA＝CB，
∴△OAB是等腰三角形，AB⊥OC.
∵
OC是⊙O的半径,
∴
AB是⊙O的切线.
例5
如图，△ABC
中，AB
＝AC
，O
是
BC
的中点，
⊙O
与
AB
相切于
E.求证：AC
是⊙O
的切线．
B
O
C
E
A
提示：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE
，OA，过O
作OF
⊥AC.
∵
⊙O
与AB
相切于E，∴OE
⊥
AB.
又∵△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC
的中点．
∴AO
平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴
OE
＝OF，OF为⊙O
半径，
∴
AC
是⊙O
的切线．
又∵
OE
⊥AB
，OF⊥AC.
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8，
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
通过对比，你能得出什么结论？
作垂直
连接
方法归纳
(1)
有交点，连半径，证垂直
(如：例4)；
(2)
无交点，作垂直，证半径
(如：例5).
?证切线时辅助线的添加方法
?有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直
(如：例1).
要点归纳
随堂演练
4
当堂练习
1.
判断下列命题是否正确.
(1)
经过半径外端的直线是圆的切线.
（
）
(2)
垂直于半径的直线是圆的切线.
（
）
(3)
过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线.
（
）
(4)
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（
）
(5)
过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（
）
×
×
√
√
√
3.
如图，在☉O
的内接四边形
ABCD
中，AB
是直径，
∠BCD
=120°，过
D
点的切线
PD
与直线AB
交于
点P，则
∠ADP
的度数为
（
）
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
2.
如图所示，A
是☉O上一点，且
AO
=
5，PO
=
13，
AP
=
12，则
PA
与☉O
的位置关系是
.
A
P
O
第2题
相切
C
P
O
第3题
D
A
B
C
4.
如图，⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则⊙O的半径
多少？
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则
OA=OB=r，OP=OA+PA=r
+2.
在Rt△OBP中，
OB2
+
PB2=PO2，即r2
+
42=
(2+r)2.
解得
r=3，
即⊙O的半径为3.
O
A
B
C
E
P
5.
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的
⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证：PE是⊙O的切线.
证明：连接OP.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
6.
如图，O
为正方形
ABCD
对角线
AC
上一点，以
O
为圆心，OA
长为半径的
⊙O
与
BC
相切于点
M.
求证：CD
与⊙O相切.
证明：连接OM，
过点O作ON⊥CD于点N，
∵
⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形，ABCD
对角线
AC
上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
7.
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
(1)
如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添
加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；②
_____________
.
(2)
如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B.
求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.
∴
∠D
+
∠DAC=90
°，
∵
=
，
∴
∠D=
∠B，
又∵
∠CAE=
∠B，
∴
∠D=
∠CAE，
∴
∠CAE+
∠DAC=90°，
即AD⊥EF，
∴
EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
知识小结
5
课堂小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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