24.5 三角形的内切圆 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第24章
圆
24.5
三角形的内切圆
沪科版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
知识小结
新课目标
1
学习目标
1.
了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
2.
掌握三角形内心的性质并能加以应用.
(重点)
3.
学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思
想.
(难点)
情景导学
2
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
情境引入
新课进行时
3
讲授新课
三角形内切圆的相关概念
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
观察与思考
最大的圆与三角形三边都相切
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内
心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
知识要点
三角形内切圆的作法及内心的性质
观察与思考
问题1
如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心O在∠ABC的平分线上.
N
C
O
M
A
B
C
O
A
B
问题2
如图
如果⊙O与
△ABC的内角∠ABC
的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心O在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线的交点上.
线段OA，OB
，OC
分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
F
E
D
线段线段OD，OE，
OF的长度相等，等于三角形内切圆的半径.
作法：
1.
作∠B，∠C的平分线BE，CF，
设它们交于点O.
2.
过点O作OD⊥BC于点D.
3.
以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
问题3
现在你知道如何画△ABC的内切圆了吗？
C
O
A
B
F
E
D
三角形内心的性质：
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
知识要点
C
O
A
B
F
E
D
例1
如图，△ABC中，∠
B=43°，∠C=61
°，点
I
是△ABC的内心，求∠
BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点
I
是△ABC的内心，
∴
IB，IC
分别是∠
B，∠C的平分线.
在△IBC中，
典例精析
例2
如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.
圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：
如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵
△ABC是等边三角形,
∴
∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD=
AB=1.5(cm)
∴OD=AD·
tan30o=
(cm)
答:圆柱底面圆的半径为
cm.
例3
△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由
BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴
AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得
x=4.
A
C
E
D
F
O
比一比
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
C
A
B
O
D
1.求边长为6
cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
练一练
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.
sin∠OBD=sin30=
C
A
B
R
r
O
D
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2.设△ABC的面积为S，周长为L，
△ABC内切圆
的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以
随堂演练
4
（3）若∠BIC=100
°，则∠A
=
度.
当堂练习
（2）若∠A=80
°，则∠BIC
=
度.
130
20
1.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索：
∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____步．
6
解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式
求出该直角三角形内切圆的半径，即可得起至今的长度.
3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　）
A．点O是△ABC的内心
B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形
D．△ABC是等腰三角形
解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是△ABC的内心.故选Ａ
Ａ
4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
拓展提升
直角三角形的两直角边分别是3cm
，4cm，试问：
（1）它的外接圆半径是
cm；内切圆半径是
cm？
（2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.
·
A
B
C
E
D
F
O
5
1
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D，连接OB、OD，则四边形BODC为正方形.
·
A
B
O
D
C
∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
知识小结
5
课堂小结
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！！月薪过万不是梦！！！