24.6 第2课时 正多边形的性质 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第24章
圆
24.6
正多边形与圆
第2课时
正多边形的性质
沪科版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
知识小结
新课目标
1
学习目标
1.
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概
念.（重点）
2.
掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）
情景导学
2
导入新课
问题1
什么是正多边形？
问题2
如何作出正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n变形.
新课进行时
3
讲授新课
正多边形的性质
O
A
B
C
D
问题1
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
观察与思考
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想：
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形
的中心角.正多边形的每个中心角都等于
.
正多边
形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60
°
120
°
120
°
90
°
90
°
90
°
120
°
60
°
60
°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；
③△OBC是
三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
倍.
⑤圆内接正n边形面积公
式：________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
探究归纳
S正多边形=周长×边心距/2
例1
有一个亭子,它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的周长和面积
(精确到0.1
m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
典例精析
B
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OMB中，OB＝4，MB＝
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点O作OM⊥BC于M.
例2
求边长为a的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.
F
A
B
C
D
E
O
G
∵
多边形ABCDEF为正六边形，
∴
∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴
l=6BC=6a.
在△BOC中，有
∴
(1)
正n边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
(2)
正n边形的边长a，半径R，边
心距r之间有什么关系？
a
R
r
(3)
边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
想一想：
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是
（
）
A．60°
B．45°
C．
36°
D．
30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
2.
作边心距，构造直角三角形.
1.
连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
画一画：
画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
要点归纳
例3
如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
(1)
在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
(2)
两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
(1)
在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.
∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．
∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．
同理，可得CE∥BF，
∴CE∥AG.
P
N
M
Q
解：由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=
∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．
即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．
(2)
两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2，
P
N
M
Q
故S四边形PQMN
=
随堂演练
4
2.
若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是
.
当堂练习
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
1.
填表
2
1
2
8
4
2
2
12
3
4.
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要
cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.
如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看
作为正七边形，则一个内角为
度.（不取近
似值）
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
A
B
C
D
E
F
P
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为
，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
拓广探索
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90
°
72
°
120
°
图①
图②
图③
知识小结
5
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！！月薪过万不是梦！！！