<<函数与几何综合>>解题思路结合图
题型解读1
二次函数与几何综合题的两种解题方法
【分析思路】
在二次函数与几何综合的各种题型中，只有一条总体分析思路线：解析式（方程）←→点的坐标←→线段长←→几何问题，但在具体解题分析过程中，求点的坐标或线段长时，思考方向却有两种：可以由左往右思考，即“由解析式或方程求点的坐标，由点的坐标求线段长”，这是“代数论证方法”；也可以由右往左思考，即“由几何问题求线段长，由线段长求点的坐标”，这是“几何论证方法”。一般代数论证方法多涉及解方程（组）、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、平行或垂直时两直线的K值关系等等，理解简单但代数计算量较大，适合计算能力稳定的学生；而几何论证方法，多涉及对图形的想像与理解、勾股定理、相似或三角函数等，适合几何功底扎实的学生。选用哪种论证方法应根据自己的解题习惯或能力，或具体题目的条件情况而定。但心里一定要牢记并有这条意思：可能有两种解题思路与方法来解决一道函数综合题。所以，在平时的练习中，多尝试用这两种方法思考或解决同一道题，这样在限时考试中，才要在这两种方法之间做到灵活切换，运用上做到游刃有余。
【例题详解】
例1.如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A（-3，0）、B（5，-4）两点，与y轴交于点C，连接AB、AC、BC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【思路分析】
（1）利用“待定系数法”解题，代入A、B两点坐标即可求解；
（2）数学典型模型“等腰+平行线=角平分线”，由题可知C点坐标，可得BC//x轴，由两点间的距离公式可算出AC=BC，△CAB是等腰三角形，即可得出AB是角平分线；
（3）①可用代数方法解题：利用“两直线垂直，K值为负倒数”这一性质，通过直线AB的表达式，可分别求出当∠A、∠B为直角时垂直于AB的那条垂直AM、BM的表达式，再与对称轴所在直线的表达式，联立方程，便可得出点M的坐标；
②也可用几何方法解题：分别利用∠A、∠B的直角，构造数学典型模型“一线三垂直模型”，利用三角形相似求解M点的坐标；
【解题过程】
（1）把A、B两点坐标代入，可得抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线解析式可得C（0，-4，），∵B点坐标为（5，-4），∴BC=5，BC//x轴，∴∠OAB=∠ABC，∵A（-3，0），由两点间的距离公式可得：AC=5，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∴∠OAB=∠CAB，∴AB平分∠CAO；
（3）存在，∵A（-3，0）、B（5，-4），∴直线AB的表达式为：y=-0.5x-1.5；
当△ABM是以AB为直角边的直角三角形，存在以下两种情况：
【代数方法】
①当∠MAB=90?时，∵MA⊥AB，∴设直线AM的表达式为：y=2x+b，代入点A的坐标可得直线AM的表达式为：y=2x+6,由题可知，抛物线的对称轴为：x=2.5,∴当x=5/2时y=11,即点M的坐标为（2.5，11）；如图1.
②当∠MBA=90?时，∵MB⊥AB，∴设直线BM的表达式为：y=2x+c，代入点B的坐标可得直线AM的表达式为：y=2x-14,由题可知，抛物线的对称轴为：x=2.5,∴当x=2.5时y=-9,即点M的坐标为（2.5，-9）；如图1.
综上所述：当△ABM是以AB为直角边的直角三角形时，点M的坐标是（2.5，11）或（2.5，-9）；
【几何方法】
①当∠MAB=90?时，过点A作DE//轴，作MD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，由题可得：EC=OA=3，DM=2.5+3=5.5，BE=5+3=8，AE=OC=4，∵MD⊥DE，MA⊥AB，CE⊥DE，易得∠D=∠E，∠DAM=∠EBA，∴△DAM∽△EBA，∴DM：DA=EA：EB，即5.5：DA=4：8，∴DA=11，∴点M的坐标为（2.5，11）；如图3.
②当∠MBA=90?时，过点B作PQ//轴交轴于点P，∴PB⊥轴，作MQ⊥PQ于点Q，由题可得：MQ=5-2.5=2.5，BP=5，AP=8，∵MQ⊥PQ，MA⊥AB，AP⊥BP，易得∠P=∠Q，∠PAB=∠QBM，∴△APB∽△BQM，∴AP：PB=BQ：QM，即8：5=BQ：2.5，∴BQ=4，∴PQ=9，∴点M的坐标为（2.5，-9）；如图2.
综上所述：当△ABM是以AB为直角边的直角三角形时，点M的坐标是（2.5，11）或（2.5，-9）；
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（O，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．
解：（1）设交点式代入求解析式，得：y=(1/2)(x-5)(x+1)=-x?/2+2x+5/2.
（2）存在．
当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．
∵AC⊥AP，OC⊥OA，∴△OAC∽△OHA，∴OA:OH=OC:OA,∴OA?=OC?OH，∵OA=5，OC=5/2，
∴OH=10，∴H（0，﹣10），A（5，0），∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，
解联立方程：y=2x-10,
y=-x?/2+2x+5/2
，可得x=-5,y=-20,∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．
（3）（一）代数论证方法
∵A(5,0),C(0,5/2),∴直线AC的解析式为：y=-x/2+5/2
,
设D(m,-m/2+5/2),∴E(0,-m/2+5/2),F(m,0),
∴EF?=m?+(-m/2+5/2)?=5m?/4-5m/2+25/4=5(m-1)?/4+5/4,∴当m=1时，EF的最大值为√(5/4)=(√5)/2.
∴D(1,2),∴G的纵坐标为2，代入抛物线解析式中，得x=2±√5,
,∴G(2+√5,2),(2-√5,2)
（二）几何论证方法：∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC=AC·OC÷2=OA·OC÷2，∵A（5，0），C（0，），∴AC=5√5/2，∴OD=√5，∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴OD:OE=OC:OD，∴OD?
=OE?CO，∵CO=5/2，OD=√5，
∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，代入抛物线解析式中，得x=2±√5,
,∴G(2+√5,2),(2-√5,2)
例3．如图，抛物线y=ax?+bx+c(a≠0)交
x
轴于点
A，点
B，交
y
轴于点
E．其中
B
点的坐标为（3，0），OB=3OA，连接
AE，tan∠EAO=3，直线y=-x-1交
x
轴于点
C，交
y
轴于点
D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若
M
是抛物线上不同于点
A、点
B
的另一点，Q
是抛物线对称轴上的点，求以
A、B、M、Q
为顶点的四边形为平行四边形时点
M
的坐标；
（3）若P（x，y）（x>0）是抛物线上一动点，求使△PCD的面积最小时点P的坐标及△PCD面积的最小值
解析：（1）由OB=3OA可得A(1,0),由tan∠EAO=3可得E(0,3)，将A、B、E三点坐标代入，可得抛物线解析式为：y=x?-4x+3.
（2）由题可知：∵点Q在对称轴上，点M在抛物线上，所以当以A、B、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，只能以AB作为平行四边形的边.设M(m,
m?-4m+3),MQ=|2-m|,AB=3-1=2.
①如图1,
QM=AB=2,即2-m=2,∴m=0,∴M(0,3)
②如图2，QM=AB=2,即m-2=2,∴m=4,∴M(4,3)
∴以
A、B、M、Q
为顶点的四边形为平行四边形时点
M
的坐标为（0，3）、（4，3）
（3）运用点到直线的距离公式解答.（代数论证方法）
由题可知，C(-1,0),D(0,-1),∴,直线CD的解析式为：y=-x-1，即x+y+1=0，设点P的坐标为((m,
m?-4m+3)，由公式可得点P到直线CD的距离，即△PCD的高为：
∴《二次函数与几何综合》题型解读2
二次函数与点、角的存在性问题
【题型特点】一般出现角度关系或具体度数求点的坐标；二次函数张角问题
【总体解题方法】构造法
【具体解题思路】
附：（直接写答案题）三角函数和角公式求解：，
【范例精讲】
例1.如图，抛物线y=ax?+2x-3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
解析：
（1）把B（1，0）代入y=ax?+2x﹣3，可得a+2﹣3=0，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x?+2x﹣3，
令y=0，可得x?+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0）；
（2）要求点P的坐标，最常见的办法是先求出直线AP的表达式，再与y=x组成联立方程，即可求出点P的坐标，但直线AP中，点A是已知的，点P即是题目最终需要的结论，就题目所给出的条件，是无法求出直线AP的表达式，所以，我们需要在直线AP上寻找第三点的坐标，不难发现直线AP上一个特殊点：直线与y轴的交点，若能求出该点的坐标，问题就迎刃而解了。另要注意点P的位置，可以在第一象限，也可以在第三象限，所以需要分类讨论。
设直线AP与y轴的交点为B`，由于y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图，
①若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中，∠POB=∠POB`、OP=OP、∠BPO=∠B`PO，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得直线AP解析式为y=x/3+1，联立方程：y=x,y=x/3+1，解得P点坐标为（1.5，1.5）；
②若P点在x轴下方时，同理可得△AOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为（1.5，1.5）；
例2.如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.
（1）填空：b=_____，c=______，点C的坐标为_______；
（2）如图①，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ比值的最大值；
（3）如图②，若点P是第四象限的抛物线上的一点，连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO=45?时，求△PBA的面积。
解析：考查二次函数几何综合
（1）由直线y=-x+4可得A（4，0）、B（0，4），代入二次函数解析式中，可得：b=1,c=4,∴二次函数解析式为：y=-0.5x?+x+4，当-0.5x?+x+4=0时，可得C（-2，0）；
（2）出现线段比，首选相似，由PQ、OQ所在图形状态，可得辅助线应作PM//y轴交BA于点M，则利用平行线分线段成比例性质可得出PQ：OQ=PM：OB，由于OB是已知的，只需通过设点P的坐标，表示出M点的坐标，即可表示出PM的长度，进而可得y与m的函数关系式，再利用二次函数配方法，即可得出它的最大值。
设P（m，-），∵直线AB为：y=-x+4，∴M（m，-m+4），由于P在第一象限，点M在P点下方，
∴PM=-，作PM//y轴交BA于点M，∵PM//OB，∴PQ：OQ=PM：OB，即，∴PQ:OQ=，∴y与m的函数关系式:,
∵，∵,y随m增大而减小，∴当m=2时，y有最大值为.
（3）求点P坐标，可以用代数办法，先求出直线BP的解析式，再联立方程即可求解，但无法直接求出直线BP的解析式，所以采用我们前面介绍的办法，在直线BP上构造一个点，求出这个点的坐标，再求出直线BP的解析式，这个点在哪，一定跟题目条件“∠PBA+∠CBO=45?”有关，分析思路的切入点就找到了，沿着这个切入点一步一步探究下去，就能找出一条完整的分析思路线，便可解答。
由A、B两点坐标可得：∠PBA+∠OBP=45?，∵∠PBA+∠CBO=45?，∴∠OBP=∠OBC，设BP与x轴交于点D，∴△OBC≌△OBM，∴OD=OC=2，即D（2，0），∴直线BD的表达式为：y=-2x+4，解联立方程：y=-2x+4，y=-0.5x?+x+4，可得P的坐标为：（6，-8），过点P作PN//y轴交BA于点N，∴N（6，-2），由于P在第四象限，点N在P点上方，
∴PN=6，∴S△PBA=OA×PN÷2=4×6÷2=12.
例3.如图，抛物线y=a+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD,CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的坐标；若存在，请说明理由。
思路分析：
（1）直接代入A、B、C三点坐标，或设交点式，代入C点坐标，即可求出二次函数解析式；
（2）由于D、E的坐标都是未知的，用代数办法不好解决，由于DE⊥BC，存在直角三角形，可以从几何办法的角度，用相似或三角函数解题，最后用代数式表示出DE的线段长，配方求最值。
（3）题中条件“△CDE中有一个角与∠CFO相等”说明存在分类讨论情形，由图可知，存在两种情形。求点D的坐标，可以通过代数办法解联立方程来解决，所以首先得求出直线CD的解析式，而直线CD，从题目所给的条件看，几乎无从下方，解题方法及解题经验的作用就来了，我们可以通过如图构造“一线三垂直模型”求出直线CD上第三点G的坐标，进而求出直线CD的表达式，即可解决此小题。
解题过程：
（1）代入A、B、C三点坐标，即可得二次函数解析式：y=-+2x+3
（2）用DM⊥x轴交BC于点M，由B(3,0),C(0,3)可得直线BC的解析式为：y=-x+3，
设D的点坐标：（m,-+2m+3）,∴M点的坐标为（m,-m+3），
∴DM=（-+2m+3）-（-m+3）=-+3m.由题易知△DEM是等腰直角三角形，∴DE=,当m=,DE有最大值，最大值为.
（3）由题可知：OF=1，tan∠CFO=3，由于∠CED=90?，∠CFO≠90?，所以△CDE中有一个角与∠CFO相等，存在以下两种情况：
①当∠CFO=∠DCE时，则tan∠DCE=3，即DE：CE=3，如图1作辅助线，则△DME∽△ENC，则DM=3NE，EM=3CN，设E（m,-m+3），则NE=m，ON=-m+3，CN=m，DM=3m，EM=3m，∴D点坐标为（4m，2m+3），代入解析式，可得D（，）；
②当∠CFO=∠CDE时，则tan∠DCE=3，即DE：CE=3，如图2作辅助线，则△DME∽△ENC，则NE=3DM，CN=3EM，设E（m,-m+3），则NE=m，ON=-m+3，CN=m，DM=m，EM=m，∴D点坐标为（m，m+3），代入解析式，可得D（，）；综上所述，存在这样的点D，坐标分别为：（，），（，）.
例4.如图，抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使,若存在
请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°得到BE，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
解析：压轴题；二次函数与几何综合题型+“三垂直模型”；初三（下）内容；
解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），代入A、B两点坐标，可解得
抛物线解析式为；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，∵S△ABC=S△ABD，∴S△ABD=×5=，设D（x，y），∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）
构造方法1，如图1，过点C作FC⊥BC交直线BE于点F，作FM⊥y轴于点M，由∠CBF=45°可得△BCF是等腰直角三角形，易证△CMF≌△BOC(AAS),∴MF=OC=2,HC=BO=4,∴F（2，6），∵B（4，0），∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），∴BE=
构造方法2，如图2，过点C作FC⊥BE于点F，作FM⊥y轴于点M，作BN⊥MF于点N，由∠CBF=45°可得△BCF是等腰直角三角形，易证△CMF≌△FNB(AAS),∴设MF=BN=a,MC=FN=b,则，∴，∴F（3，3），∵B（4，0），∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），∴BE=
例5.如图，直线y=kx+2与x、y轴分别交于点A（3，0），B，抛物线经过点A、B.
（1）求k的值和抛物线的解析式；()
（2）M(m,o)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N，连接BN，当∠PBN=45°时，求m的值
解析：分N在P的上方或下方两种情况进行讨论；
例9．（二次相似）如图，二次函数y=ax?+bx+c的图像交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上一个动点，已知A（-1，0），C（0，-3），且抛物线的对称轴是直线x=1.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB=60°，
请求出P点的坐标。
思路分析：（1）由对称轴及A点坐标，可得B点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（2）此小题实质是二次函数与点的存在性问题，只是不是角度相等，而是已知角的度数，同样可以采用二次函数与点的存在性问题的最常用解题方法，在直线AP上寻找第三点，而这第三点是通过构造数学典型模型“一线三垂直模型”而形成的，由于此题出现60°，所以所构造的“一线三垂直模型”，一定要利用这个特殊角，如图添辅助线，则会出现两组三角形相似：“一线三垂直模型”的△BMP与△DNB、“A字模型”的△OAP与△EDP，利用这两组三角形相似，即可求出点P的坐标；
解题过程：
（1）∵抛物线对称轴为x=1,A(-1,),∴B(3,0),设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，代入C点坐标可得a=1,∴二次函数抛物线为y=-2x-3；
（2）过点B作PB⊥BD，交PA的延长线于点D，过点B作MN⊥x轴，作PM⊥MN于点M，DN⊥MN于点N，∵∠APB=60°，∴tan∠DPB=DB:PB=，∵∠PBM=∠BDN,∠M=∠N,∴△PMB∽△BND,∴DN:MB=BN:PM=DB:PB=,设P（0,m）,B(3,0),∴PM=3,MB=m，∴DN=m，BN=3，∴DE=m-3，PE=3+m,∵OA//DE,∴OP:PE=OA:DE,即m:(
3+m)=1:(
m-3),解得：,∴P点坐标为（0，）、（0，）
例6.（二次相似）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣
x2+x+1），则D（x，﹣
x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为．
（2）过点P作PE⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P（x，﹣
x2+x+1），则D（x，﹣
x+1）
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，∴S△PBC=OB?DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x．
又∵S△PBC=1，∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．
（3）方法一：如图1设Q(1,a)，则HQ=CG=1,OH=-a,CH=DG=1-a，EB=2,DF=-a,BE//DF可得，即，∴,
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣√5）
方法二：如图2设Q(1,a)，则HQ=BG=2,BH=FG=-a,OC=DC=1,MQ=1,CM=1-a，DF=-a-3，,DF//MQ可得，即，∴,
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣√5）
例7.如图，抛物线y=ax?+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x-5经过点B，C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标；
【思路分析】
（1）由直线y=x-5可得B、C两点坐标，代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）由题易得△OBC、△AMB是等腰直角三角形，可求出AM的长，即PQ的长，过点P作AB的垂线，则△PDQ也是等腰直角三角形，利用DP=√2PQ可得出PD的长，设P点坐标，分点P在直线BC的上方和下方两种情况分别表示出PD的长，列方程即可得出点P的横坐标；
（3）作AC的垂直平分线，交BC于点M1，则∠AM1B=2∠ACB；作AN⊥BC于点N，作M1关于N点的对称点M2，则∠AM2N=2∠ACB，M1、M2即为所求；由AC的表达式及AC的中点坐标，依“两直线垂直K值为负倒数”，易求出直线GM的解析式，与直线BC解联立方程，即可求出M1的坐标；由BC的表达式及A点坐标，依“两直线垂直K值为负倒数”，易求出直线AN的解析式，与直线BC解联立方程，即可求出N的坐标，利用“N是M1、M2的中点”及中点坐标公式，即可求出M2的坐标；
【解题过程】
（1）由直线y=x-5可得B（5，0），C（0，-5），把B、C两点坐标代入y=ax
2+6x+c，可得抛物线的解析式为：y=-x?+6x-5；
（2）由抛物线可得A（1，0），OB=OC=5，∴△OBC是等腰直角三角形，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM=，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，则∠PDQ=∠OCB=45°，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴PD=PQ=4，设P（，），则D（m，m-5），
①当点P在直线BC上方时，如图，则PD==4,解得m=4,m=1（舍去）；
②当点P在直线BC上方时，如图，则PD==4,解得m=；
∴以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的横坐标是4或或.
（3）作AC的垂直平分线G，交AC于点G，交BC于点，由垂直平分线的性质可得C=A，∴∠AB=2∠ACB；作AN⊥BC于点N，作关于N点的对称点，A=A，∴∠AC=∠AB=2∠ACB，、即为所求；
∵A（1，0），C（0，-5），∴直线AC的表达式为：,∵G⊥AC,设直线G的表达式为：，
代入点G坐标，可得直线G的表达式为：，解联立方程，解得，∴；
∵AN⊥BC,设直线AN的表达式为：，代入点A坐标，可得直线AN的表达式为：，解联立方程，解得，∴；
综上所述，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，点M的坐标为或.
【点评】利用垂直平分线的性质构造与∠ACB的等量，再利用外角定理，即可以2∠ACB转化成∠AMB，这样就完成了“倍角”到“等角”的转化，这是解决此题思路上的关键节点，而单独一个角的问题，才能够与相似、全等、特殊三角形等几何性质建立起直接联系，这是二次函数中有关角度的和差倍分题型，一条非常重要的总体解题思路线
例8.已知抛物线的图像经过点A(0，)，B(，0)两点，并与x轴正半轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E(0，4)，直线BD：经过点B，与y轴负半轴交于点D，点Q从点点E开始向y轴负半轴运动，当点Q运动到某一位置时满足∠OBQ+∠OBD=30°，求此时点Q的坐标；
(3)
如图2，点P为x轴上线段BC上的一个动点，连接AP，K为AP上的一点(不与A,P重合)，过点K作MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，点G为MN中点，四边形PMAN的面积为8。求AG的最大值。
解析：（1）将点A、B代入，可得
（2）
解法一：如图3
解法二：如图4
解法三：如图5
由B、E坐标可得∠BEO=60°,
∠EBO=30°,则∠EBQ=∠OBD,构造直角三角形，与△BOD相似，利用相似求Q点坐标；
∵B(，0)，E(0，4)，∴tan∠EBO=,∴∠EBO=30°,∠BEO=60°,过点Q作QM⊥BE，设Q(0,t),则QE=4-t,∵∠BEQ=60°,∴ME=,MQ=,∴BM=BE-ME=,∵∠OBQ+∠MBQ=∠OBQ+∠OBD=30°,∴∠MBQ=∠OBD,∴△BMQ∽△BOD,∴,∴,∴t=,∴Q(0,),∵对称性，∴Q(0,),∴综上所述，Q的坐标这Q(0,)或Q(0,)
解法二：三角函数和角公式求解：，
,D(0,-2)
即
,
∴t=,∴Q(0,),∵对称性，∴Q(0,),
∴综上所述，Q的坐标这Q(0,)或Q(0,)
（3）筝形的两大用途之一-----面积用法。由于AG是Rt△MAN斜边中线，故求AG的最大值，即求MN的最大值，则四边形AMPN的面积=8，即MN×AP=16，求MN的最大值，即求AP的最小值，当AP⊥BC时即可满足要求，此时P与O重合。
【拓展】
例9.一次函数的图像分别与坐标轴交于A、B两点，与反比例函数y=k/x的图像交于P（4,m）、Q两点，点M是第一象限PQ下方的反比例函数图像上的点。
（1）求m的值；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）若∠MOP=∠BAO，求点M的坐标.
解题过程：
（1）把P（4,m）代入一次函数y=0.5x+3中，可得m=1,∴P(4,1)；
（2）把P（4，1）代入反比例函数y=k/x中，可得k=4,即反比例函数解析式为y=4/x；
（3）求点M的坐标，可以通过代数办法解联立方程来解决，所以首先得求出直线OM的解析式，而直线OM，从题目所给的条件看，几乎无从下方，解题方法及解题经验的作用就来了，我们可以通过如图构造“一线三垂直模型”求出直线OM上第三点E的坐标，进而求出直线OM的表达式，即可解决此小题。
作PE⊥OP交OM延长线于点E，作PH⊥x轴于点H，作EF⊥PH于点F，由题可知：A（6，0），B（0，3），∵∠MOP=∠BAO，∴tan∠MOP=tan∠BAO=OB:OA=1/2，∴EP:OP=1:2,易证△EFP∽△PHO，∴EP：OP=EF：PH=FP：OH=1：2，∵P（4，1），∴OH=4，PH=1，∴EF=0.5，PF=2，∴FH=3，∴F（4，3），∴E（3.5，3），∴直线OE的表达式为：,解联立方程：，解得M点的坐标为.
例10.如图所示，△ABC为等边三角形，点A（0，4），点B在x轴上，
点C在反比例函数y=的图像上，则点B的坐标为_______
解析：采用代数办法解题，要求B点坐标，求AB直线的解析式，寻找第三点，由于△ABC是等边，作CD⊥AB于点D，即为第三点，由于∠ADC=90°，且,故构造“一线三垂直”模型来求第三点坐标。如图，则△AMD∽△DNC,则,由于MD是中位线，故AM=2,设OB=2a，则MD=a,则DN=2，CN=,∴C点坐标为（2，）,∵C点在反比例函数上，∴（2）（）=，化简为：,即（a+）（a-3）=0,解得符合题意的a=,同OB=2,B点坐标为（2，0）<<二次函数与几何综合>>
题型解读10
二次函数与几何变换问题
【题型特点】函数综合题中出现函数图像对称（翻折）、平移、旋转现象；
【解题策略】
①若涉及对称或翻折题，抓住折痕是对应点连线的垂直平分线的几何性质，从几何或代数两个角度思考分析；
②若涉及平移题，抓住平移前后的点的纵坐标相同及平移规律解题，若求重叠图形的面积，注意分段函数（抓住移动过程中的特殊位置先确定分段时间再画图最后利用面积方法求解）；
③二次函数图像的平移、对称或旋转，不会影响到二次函数的开口大小，只要影响到到开口方向，即解析式中“a”在图像变换过程中，不改变符号，不改变数值。
【例题详解】
例1.如图，抛物线与x轴交于C,F两点（C在点F的左边），与y轴交于点D，AD=2，已知B(-4,5)，点E为AB上一点，且BE=ED，连接CD,CB,CE.
（1）求点C,D,E的坐标；
（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；
（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M`处，请判断点M`是否在此抛物线上，并说明理由.
解析：（1）C(-4,0),F(-,0),D(0,3),AD=2,则OA=5，则BA//x轴，在Rt△EAD中，设EA=a，则BE=ED=4-a，由勾股定理可得：，解得a=,故E(-,5)
(2)-，则M(,0),用两点之间的公式可得MC=ME≠CE，是等腰三角形；
(3)①几何角度：利用（2）的等腰可得四边形MCM`E是菱形，则EM`//CM即x轴，由EM`=CM=,故M`的坐标,5),代入抛物线解析式中，等式不成立，故M`不在抛物线上；
②代数角度:依垂直K为负倒数，由CD解析式及M点坐标可得MM`的解析式，解联立方程可得CD,MM`交点坐标，该交点是MM`的中点，利用中点坐标公式可得M`的坐标，代入等式不成立
例2.如图，抛物线的顶点坐标为C(1,4)，交x轴于A,B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E是BD上方抛物线上的一点，连接AE交DB交于点F，若AF=2EF，求出点E的坐标；
（3）如图2，点M的坐标为（，0），点P是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP,将MP沿MD折叠，若点P恰好落在抛物线的对称轴
，请求出点P的横坐标；
解析：（1）设抛物线的解析式为，代入B点坐标可得a=-1，∴抛物线的解析式.
(2)出现“AF=2EF”线段比，构造相似三角形。作AG⊥x轴交BD的延长线于点G，作EH//AG交BD于点H，则AF:EF=AG:EH=2:1,易知，则G(-1,4),AG=4,则EH=2，设E(m,),则H（m,-m+3），则EH=，即，解得m=2或m=1(舍去)，∴E点坐标为（2，3）
（3）代数法解题。由题易得,∵DM⊥PQ，∴设,设P(a,),代入直线PQ解析式中，可和b=,∴,当x=1时y=，∴Q点坐标为（1,）,∵P,Q关于直线DM对称，设PQ与DM交于点R，则R点是P、Q的中点，由中点坐标公式可得R点的坐标为（，）,将R点坐标代入直线DM的解析式中可得：,解得a=或
(舍去),∴P点的横坐标为.
例3.如图，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C，且点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值；如果没有，请说明理由。
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由。
解析：（1）,A(-3,0),B(12,0),C(0,9),,
（2）设,,,
,最大值为
（3）存在。当Q落在y轴上时，四边形CDPQ为菱形，理由：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，CQ//PD，∠PCQ=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，CD=PD，∴CD=DP=PQ=QC，∴是菱形。过D作DG⊥y轴于点D，设,，,在直角三角形CDG中，,
解得：∴,
例4.如图，抛物线L经过△ABC的三个顶点，与轴相交于，点A的坐标为（-1，2），点B是点A关于轴的对称点，点C在轴的正半轴上。
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥轴，FG⊥轴，垂足分别为E,G，当四边形OEFG为正方形时，求F点的坐标；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动.设平移的距离为，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的，使△DMN是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在请说明理由.
解：（1）∵点B是点A关于轴的对称点，∴抛物线的对称轴为轴，∴抛物线的顶点为,设抛物线的解析式为,∵A（-1，2）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为
（2）令y=0,得，解得：，∴点C的坐标为（3，0），设直线AC的解析式为，则有，解得，∴直线AC的解析式为，设点F，∵OEFG为正方形，OE=OG,∴
,解得∴F的坐标为（1，1）或（-3，3），当F的坐标为（-3，3）时，点F不在线段AC上，帮舍去，所以，点F的坐标为（1，1）
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=，OE=，∵点E和点C重合时停止运动，∴，
当时，，则N,DN=；
当时，，则M,ME=；
在Rt△DEM中，
在Rt△NHM中，MH=1,NH=
,
∴
①当DN=DM时，，解得；
②当DN=MN时，，解得；
③当DM=MN时，，解得；
∵,∴，综上所述，当△DMN是等腰三角形时，的值为
,或1.
例5.如图1，已知直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点O、A、B，已知点A到x轴的距离等于2.
（1）求抛物线解析式；
（2）点H为直线上方抛物线上的一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标；
（3）如图2，P为射线OA上一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形OPMN与△OAC重叠面积为S，若移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式.
解析：（1）A（4，2）、B（6，0）、C（0，6），，
（2）距离联想到高；高最长，即△HAO的面积最大，OA=，作HE//y轴交OA于点E，设H（a,），则E（a,）HE=,.
则当a=2时，△OAH面积最大值，此时H的坐标为（2，2）
（3）由题可知OP=，则P点坐标为（2t,t），则N（-t,2t），由中点坐标公式可得M（t,3t），直线MN的解析式：.,
直线ON的解析式：,
直线MP的解析式：.,当P点与A点重合时，t=2；当M在直线BC时,解得t=，当MN经过点C时，解得t=，
①当时，则F（0，.）.∴S=
②当时，则Q（，）,QM=(,
R（，）,QM=(,∴
.∴S=
③当时，△CFQ∽△COA,,∴,
∴
④当时，如图5-3，S=
综上所述，
例6.已知抛物线经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,-2).
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
D(2,1)
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由。
（3）如图2，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB，四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，求出S与t的函数关系式；
解析：（2）直线BC的解析式为y=x-3，PF=,当x=时PF最大值为
（3）思考分析：先时间分段，再分类讨论；
AD//BC，
F(1,-2),AF=2，且∠AFB=45°,则移动过程中，F沿BC移动，A沿AD移动，故当A`F`经过点D时，重叠图形是一个平行四边形，第一个特殊位置是A`F`经过点D，此时t=AD=；过了点D，则重叠图形为一个五边形，直到O`C`经过点D，第二个特殊位置是O`C`经过点D，由于O到A与A到D的水平宽度均是1，故O`C`由y轴平移到对称轴的t=2;O`C`过了点D，则重叠图形是一个三角形，直到C与点B重合，由CB=3可得t最大值为3，时间就分成了三段：、、，可以分类讨论写步骤了。
①当时，如图1-1，此时四边形AFF`A`为平行四边形，设A`F`与x轴交于点K，则AK=AA`=，S=
②当时，如图1-2，设O`C`与AD交于点P，A`F`与BD交于点Q，则四边形PC`F`A`为平行四边形，△DQA`为等腰直角三角形，平行四边形PC`PC`=AF=2，高为四边形OAFC的宽度，即OA的长，为1；
S=
③当时，如图1-3，设O`C`与BD交于点Q，△DQA`为等腰直角三角形，BC=,CC`=t,则BC`=-t，
S=
综上所述，S与t的函数关系式为：
例7.如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB.（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上的一点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A`恰好也落在抛物线上，求点P的坐标.
分析：
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣2，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
解：（1）所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）,∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，
∴S四边形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF=（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a），
=﹣﹣a+=﹣（a+）2+，∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（﹣，）；
（3）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，∴PA=PA′，∠APA′=90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，
∴∠NA′P=∠NPA，在△A′NP与△APM中，∠A`NP=∠AMP=90°,∠NA`P=∠MPA,PA`=AP,，∴△A′NP≌△PMA，
∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，∴A′（m﹣1，m+2），代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m=1，m=﹣2，∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．
例8.如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）
2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
【思路分析】
（1）由函数解析式即可得出顶点P的坐标
，由代入B点坐标即可得出a的值；
（2）二次函数图像的平移、对称或旋转，不会影响到二次函数的开口大小，只要影响到到开口方向，即解析式中“a”在图像变换过程中，不改变符号，不改变数值，所以找关键对应点的坐标，才是最主要解题“突破口”，而第（1）小题求P的坐标这一暗示，提醒我们第（2）小题求C3的解析式，关键对应点应是函数的顶点M，求出M点的坐标，即可解决问题，而求M的坐标，盯住它的对应点P即可，即点P先对称，再向右平移，且有关于点B成中心对称，从这点入手，利用中心对称所形成的图形全等，即可求出M点的坐标。
（3）由“二次函数图像的平移、对称或旋转，不会影响到二次函数的开口大小，只要影响到到开口方向”可得EF=AB=6，N点的纵坐标与点P的纵坐标相同，若设点N的坐标，即可表示出点F、Q的坐标，加上已知点P的坐标，这样就可以用两点间的距离公式，分别表示出PN、PF、NF的长度，此题涉及二次函数与直角三角形的存在性问题，所以要考虑分类讨论，实际题目中，一般都会有一种情况不存在，如此题，∠NPF=90?的这种情况就不存在，简单交代理由即可，即分两种情况来讨论，利用勾股定理列方程即可求出Q点坐标；
【解题过程】
（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5得，顶点P的为（﹣2，﹣5），（2分）∵点B（1，0）在抛物线C1上，
∴0=a（x+2）
2﹣5，解得，a=5/9；
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，
∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y=5/9（x﹣4）
2+5；
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（2，0），K坐标为（m，﹣5），
根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，
①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．
②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】
本题是一道很有研究性或代表性的函数图像变换题，覆盖了二次函数图像三种变换，很少见，可以作为学习二次函数图像变换的标杆例题，如果我们在平时能把初中数学每类型题的经典例题积累下来，初三下学期总复习时，就不会像无头苍蝇那样，盲目地去找各种题目来练习，这一点很值得借鉴。《二次函数》题型全解读7
几何动点与函数图像问题
【知识梳理】
1.题型介绍：实质为分段函数图像问题，利用几何知识求出两个动点变量间在各段的函数关系式，依这些函数关系式选择对应的图形选项。
2.解题思路：依运动状态分好段，先确定每段中两变量间的函数关系，可能是一次函数（正比例函数）、反比例函数或二次函数，再依这些函数的图像选择正确的答案，特别留意选项中相近似图像的细小区别。
例1．如图，已知A，B是反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
解：当点P从点O运动到点A的过程中，且S随着t的增大而增大；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．
例2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，
符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．
例3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
解析：易证∠EPD=90°，出现了一个“三垂直模型”，∴△PCD∽△EBP，∴，即，
∴，∴函数图象为C选项图象．特别需注意C、D两选项的区别.
例4.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
解析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
∴y=，故选A．<<二次函数与几何综合>>
题型解读4
二次函数与特殊三角形的存在性问题
【解题方法】
1.等腰三角形的分类讨论：三条边两两相等分三种情况进行分类讨论，注意结合“三线合一”性质解题(可借助“两圆一线”初步判别答案的个数)；
2.直角三角形的分类讨论：以三个直角顶点分三种情况进行分类讨论，注意结合直角三角形的性质解题；
3.等腰直角三角形的分类讨论：先直角再等腰顺序进行分类讨论；
例1．如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此
时点P的坐标；若不能，请说明理由．
解析：
（1）由于知道二次函数与
x轴的两个交点坐标：A（﹣5，0）、B（﹣1，0），所以设二次函数的解析式时首选交点式，即设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C把C（0，﹣5）代入得a?5?1=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；
（2）知道A,C的坐标，便可知直线AC的解析式，又知P点的坐标，所以求△APC的面积可用二次函数中专有求三角形面积的方法：
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得
，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，
∴S△APC
=；
(3)①数学题中出现线段比问题，一般有两种常见的处理方法：通过相似求线段比；或引出方程思想，把线段比问题转化成线段长问题；此题中由于有平行线，优先考虑相似的办法。
我们可以从结论寻找跟相似有关思路线索。由于PE//y轴，此处出现相似的一个典型图形“A”型，即,而由∠APE=∠CPE，PH⊥x轴，易知△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，∴，我们要想办法求出，又一次想到相似，再一次寻找相似三角形，不难发现此处又隐藏着另一个相似的典型图形“8字型”，即△PHD∽△COD,可知,变形为
，通过设P点的坐标，就可以表示出相关的线段，就能找到它们的比值。
证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，
设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），
∴DH=
，而AH+OH=5，∴﹣x﹣x﹣=5，整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），
∴OH=，∴AH=5﹣=，∵HE∥OC，∴；
②函数中的等腰三角形分类讨论也一般有两种处理办法：“两圆一线”（两个定点与一个动点时）、三边两两相等分类讨论（两个动点一个定点时），此题适合第二种方法。技巧：结合图形，从最简单的情况开始讨论.
解：能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），
当PA=PE，因为∠PEA=45°（△AOC与△AHE都是等腰直角三角形），所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P
点
坐标为（﹣1，0）；
当AP=AE，如图2，∵AH⊥PE,∴PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），
x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6），
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．
例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
解：∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），∴AC=5．∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=5．∴B（﹣4，﹣5）．将点A和点B的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）二次函数中出现单一线段的最值问题，一般用代数办法解答----先用字母表示出EF的长（一定是二次函数式），再运用配方法解答二次函数的最值问题。
解：如图1所示：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：，
解得：k=1，b=﹣1．所以直线AB的解析式为y=x﹣1．设点E的坐标为（t，t﹣1），
则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+）2+．
∴当t=﹣时，FE取最大值，此时，点E的坐标为（﹣，﹣）．
（3）二次函数中的直角三角形分类讨论，一般按谁是直角分情况讨论，由于此题EF是直角边，所以只有两种情况，即∠EFP=90°或∠FEP=90°
解：存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．
如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线与点P，此时∠EFP=90°；
过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，此时∠FEP=90°；
由（2）可知点E（t，t﹣1），则点F（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣，∴点E（﹣，﹣）、F（﹣，）．
①当∠EFP=90°时，P、F纵坐标相同，∴﹣t2﹣2t+3=，解得：x=﹣或x=﹣（舍去）．∴P（﹣，）．
②当∠EFP=90°时，P、E纵坐标相同，∴﹣﹣t2﹣2t+3=﹣，解得：x=﹣1+或x=﹣1﹣．
∴点P′（﹣1﹣，﹣），P″（﹣1+，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或P″（﹣1+，﹣）．
例3.在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解析：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∵A在B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．
（2）△CDE的周长=CD+CE+DE，∵CD的长度是固定已知的，所以求△CDE的周长最小，即是求CE+DE最小，这是典型的“将军饮马问题”.
解：作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，
当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．
（3）二次函数中出现等腰直角三角形的分类讨论，一般按直角三角形的分类讨论情况处理，但解答过程中一定要利用等腰直角三角形的性质。
此题中，根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．
解：设直线AC的解析式为y=ax+c，则有
，解得：
，∴直线AC的解析式为y=x+3．
又∵OA=OC=3,∴△AOC是等腰直角三角形
假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF=90°时，∠CAO=∠OAP=45°,∴AO垂直平分PF，∴P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，∵∠CAO=∠FPA=45°,而P又在抛物线上，∴P与点B重合，此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，∵∠CAO=∠AFP=45°,而P又在抛物线上，∴P与点B重合，此时点P的坐标为（1，0）；
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．题型解读2
二次函数图像性质与系数关系题型
【解题方法】
（1）补图：利用图像的对称性把图像补全，确定各交点对称点的位置；
（2）看图
①开口方向-------判断a的正负性；
②对称轴位置-------依“左同右异”判断b的正负性；
③对称轴的值--------求出a,b的等量关系；
④与y的交点位置------判断c的正负性
⑤与x的交点个数------判断的正负性
⑥利用顶点坐标-----判断不同y值与最值的大小关系，
（3）取“x=特殊值”
①可得出a,b,c的等量关系；
②特殊值（a,b,c的等量关系）+等量代换（a,b的等量关系），可得出a与c或b与c的等量关系；
③“”表示“m取其它值时的y值都要比m取最大值时的y值要小”
（4）描点法-----判断不同y值的增减性
（5）“a”表示的意思是“抛物线y=
a与直线y=m有无交点”
【典型例题】
1.二次函数y=ax
2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
当ax
2+(b-1)x+c>0时,x的取值范围是__________.
解析：考查二次函数图像与性质，填空压轴题。
由“”可转化为“”，表示的意思是“抛物线”的图像在直线“y=x”图像上面那部分图像的x的取值范围。由表格画出草图，且知抛物线与直线y=x的两个交点坐标为（-1，-1）、（3，3），∴x的取值范围是-12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；
②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A．4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；
③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0
（1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0
（2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．选：B．
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
解析：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，④错误．故选B．
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，
有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）
是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
②③④
解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，∴①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有①③④，故选B．
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（ ）
A．
①②
B．
①④
C．
①③④
D．
②③④
解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．
7.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，
与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（ ）
A.
①②③
B.
②④⑤
C.
①③④
D.
③④⑤
解：①∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x=2，∴﹣=2，∴b=﹣4a＜0，∴abc＞0．故①正确；②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c得：y=4a﹣2b+c，由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0．故②错误；③∵b=﹣4a，∴4a+b=0．故③正确；④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．故④正确；⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，∴y1＞y2．故⑤错误；故选：C．
8.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点
（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；
③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
解析:
解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，①错误；∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．
9.
二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的部分图象如图，其中正确的结论有（ ）
①bc＜0；②2a+b＞0；③a+b+c＞0；④2a-3c＜0；⑤ax?+bx+c=0有一个正根和一个负根；⑥当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
A．2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
解析:（1）二次函数图像与系数的关系.开口向上可得a>0,对称轴在y轴右侧得b<0,图像
交y轴负半轴得c<0,可知①正确,④错误;
（2）由对称轴x=-b/2a<1,可得②正确;
（3）令x=1,则y=a+b+c<0,可得③错误;
（4）由图像与x轴正半轴和负半轴各有一个交点,可知⑤正确;
（5）由图像可得x>1时,y随x增大则增大,故⑥错误.所以,选B.<<二次函数与几何综合>>
题型解读8
二次函数与定值、最值问题
【解题思路】
①利用二次函数解决:求出解析式,用二次函数配方求最值的方法来解题;
②利用几何性质解决:
垂线段最短、两点间线段最短（转化为同一线段、将军饮马问题）
【例题详解】
例1.如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D
（1）求解抛物线解析式（y=
-x2-2x+3）
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到,点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动。记△与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式;
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l:作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（2）思路分析：先分段：当B点到达O点之前，重叠图形为梯形，此时0由抛物线解析式得顶点D坐标为(-1，4)，则直线AD的解析式为y=2x+6,当在AD上时，坐标为
①如图所示，当0②当时，完全在四边形AOCD内，
③当时，如图所示，过G点作GH⊥,设HG=x，∵
∴，∵，∴，∴，
而，∴，∴，
∴
综上：
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)，∵点M（m，n）在抛物线上
∴，∴
∴，而
∴
∴
∵由题可知，点F只有一个，∴，，∴
（附：特殊值中的特殊位置法，点M是任意一点均能使结论成立，则M在顶点时也能满足要求，则M(-1,4)，E(-1,),ME=,则MF=,则F点的坐标为（-1，），当然此种解法只限于填选题，解答题需要提供验证）
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；y=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣x2+2x+；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）以A为直角顶点，根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
解：
（2）存在．
当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．
∵AC⊥AP，OC⊥OA，∴△OAC∽△OHA，∴OA:OH=OC:OA，∴OA2=OC?OH，∵OA=5，OC=，
∴OH=10，∴H（0，﹣10），A（5，0），∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，
联立，∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．
（3）∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，
此时S△AOC=AC?OD=OA?OC，∵A（5，0），C（0，），∴AC=，∴OD=，
∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴=，∴OD2=OE?CO，∵CO=，OD=，
∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，∴y=﹣x2+2x+=2，解得x1=2﹣，x2=2+，
∴点G的坐标为（2﹣，2）或（2+，2）．
例3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解析:
(1)这条抛物线的解析式为：y=-x2+x+2．
（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；
∴直线BC的解析式为：y=-x+2．如答图1，连接BC．四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．设P（x，-x2+x+2），过点P作PF∥y轴，交BC于点F，
则F（x，-x+2）．∴PF=（-x2+x+2）-（-x+2）=-x2+2x．S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF-xC）+PF（xB-xF）=PF（xB-xC）=PF.∴S△PBC=-x2+2x=-（x-1）2+1∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．
（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．
存在．∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，
∴△AOC∽△ADE，∴=，解得AE=，∴E（，0）．∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点D为AC的中点，∴D（-，1）．可求得直线DE的解析式为：y=-x+?①．
∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，∴M（，）．又A（-1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=x+?②．∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．如答图2，连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．联立①②式，可求得交点G的坐标为（-，）．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（-，）．
例4.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FC=DQ，求点F的坐标.
解析：（1）A（﹣3，0），B（1，0）．C（0，3）
（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=?AM?EM=．
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，∴D（﹣1，4）∴DQ=DC=，∵FC=2DQ，∴FG=4，
设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），∴|﹣n2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，即n2+2n﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
例5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1）
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
解：
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵C（﹣2，3），
∴Q（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时M（﹣1，2）．∵A（1，0），C（﹣2，3），N（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．
例6.如图，抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线//x轴，动点P直线上，动点Q在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出它的最小值
解析：（1）设抛物线的解析式为,把C（0，-3）代入解析式中得,∴抛物线的解析式为,∴顶点M（1，-4）
（2）设N（），过N点作ND//y轴交直线BC于点D，如图3，∵B（3，0），C（0，-3），∴∴∴∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），∴AB=4，OC=3，
∴,∴,解得：∴N
（3）∵P∴PQ=3，要求PM+PQ+QN的和最小，即求PM+QN最小。将PM将上平移3个单位至QM`位置，使P、Q重合，连接NM`，交X轴于点Q，过点Q作QP⊥直线于点P，此时PM+PQ+QN=QM`+3+QN=M`N+3有最小值，如图4。∵M（1，-4），直线：，∴∴,
∴PM+PQ+QN的最小值=M`N+3。
例7.如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且A（-1，0），OB=OC=3OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接AC、PB、PC．且，试求点P的坐标.
（3）如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接CM、AN．记m=CM+MN+AN，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．
解析：（2）由题可得，设P(x,)
则=，解得x=1或2,
则P（1，4）或（2，3）
（3）连接BN，由抛物线的对称性可知BN=AN，则m=CM+MN+AN=CM+BN+MN,过点N作NH//CM交y轴于点H，则四边形CMNH为平行四边形，则HN=CM,CH=MN=1，则m=CM+MN+BN=HN+BN+MN，由于MN=1，为定长，当HN+BN最小时，m最小，当HN+BN最小时，HN、BN位于同一直线上，此时HN+BN=BH,OH=OC-CH=3-1=2,在Rt△OBH中，由勾股定理可得HB=,则m=HN+BN+MN=,即是m的最小值。
例8．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA＝5，AB＝10，OC＝12，抛物线y＝
ax2+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；（y＝﹣x2+3x）
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）问在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得|MO﹣MB|的值最大？若存在，直接写出最大值和点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（2）利用勾股定理列式求出AC，再表示出CP、CQ，然后分∠PQC＝90°和∠CPQ＝90°两种情况利用∠ACO的余弦列出方程求解即可；
（3）利用抛物线解析式求出点B关于对称轴的对称点B′，判断出直线OB′与对称轴的交点即为所求作的点M，然后利用勾股定理列式求出最大值，再利用待定系数法求一次函数解析式，再根据对称轴求点M坐标即可．
解：
（2）根据勾股定理，AC＝＝＝13，∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，∴点P运动的时间为：13÷2＝6.5秒，
CP＝AC﹣AP＝13﹣2t，CQ＝t，∵∠ACO≠90°，∴分∠PQC＝90°和∠CPQ＝90°两种情况讨论：
①∠PQC＝90°时，cos∠ACO＝＝，即＝，解得t＝；
②∠CPQ＝90°时，cos∠ACO＝＝，即＝，解得t＝，
综上所述，t为秒或秒时，△PQC是直角三角形；
（3）如图，设B关于对称轴的对称点B′，∵OA＝5，∴﹣x2+3x＝5，整理得，x2﹣12x+20＝0，
解得x1＝2，x2＝8，∴点B′（2，5），由抛物线的对称性，BM＝B′M，∴当M为OB′与对称轴的交点时，MO﹣MB最大，此时，MO﹣MB＝OB′＝＝，易求直线OB′的解析式为y＝x，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝6，所以，x＝6时，y＝×6＝15，所以，点M（6，15）．
例9.如图，直线与x轴交于点B,与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=，与x轴交于点A，且经过B,C两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一点，当|BM-CM|的值最小时，请求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B,N,H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）∵一次函数与坐标轴分别交于B、C，当x=0时y=2，当y=0时x=4，∴B(4,0),C(0,2),把B、C两点坐标代入二次函数解析式中可得：,解得,∴二次函数解析式为：
(2)当BM=CM时，|BM-CM|=0，有最小值，即M点为线段BC的中垂线与对称轴的交点。作线段BC的垂直平分线MP，交二次函数对称轴于点M，即为所求。
∵B(4,0),C(0,2),由中点坐标公式可得BC的中点P的坐标为（2，1），∵MP⊥BC，∴设直线MP的解析式为：y=2x+b,代入P点坐标得1=2×2+b，解得b=-3，∴直线MP的解析式为y=2x-3，当x=时y=0,∴M（，0）
(3)当时x=-1或4，∴A（-1，0）,由A、B、C三点坐标可得AC?=5,BC?=20,AB?=25,∴AC?+BC?=AB?,∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，设点N（m,），∴NH=||，BH=|m-4|,∵∠ACB=∠BHN=90°,∴当以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似时，存在以下两种情况：
①当△CBA∽△HBN时，则，即，∴2||=|m-4|，∴=m-4或=-m+4，解得或,∴N(-2,-3)或(0，2)；
②当△CBA∽△HNB时，则，即，∴||=2|m-4|，∴=2m-8或=-2m+8，解得或,∴N(-4,-12)或(，)；
综上所述，符合题目要求的N的坐标为(-2,-3)、(0，2)、(-4,-12)、(，)题型解读3
多种函数图像识别题型
【解题方法】：排除法
【典型例题】
1.一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．故选C．
2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B．
3．已知≠0，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ C ）
4.函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）B
A．
B．
C．
D．
5.已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D
解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．
6.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．
7.二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，所以A选项错误；B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，所以C选项正确；D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以D选项错误．故选B．
8.函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．<<二次函数与几何综合>>
题型解读5
二次函数与三角形全等、相似的存在性问题
【解题思路】
1.利用三角形全等性质进行解题；
2.中文字说相似，首先考虑分类讨论，
①等角确定时，采用代数方法-----“一个固定一个互换”；
②等角不确定时，采用几何方法----利用等角的三角函数值解题；
例1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
解答：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得，抛物线的函数表达式为
∵，抛物线的对称轴为直线．又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0），设直线l的函数表达式为．∵点D（6，－8）在直线l上，
6k=－8，解得．直线l的函数表达式为，∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，－4）
（2）抛物线上存在点F，使≌．
∵≌,∴OE=CE,OF=FC，∴F点在线段OC的垂直平分线与抛物线的交点上，且经过点E，此时点F的纵坐标为-4，∴,解得x=,∴F点的坐标为（）或（）．
（3）当x=0时，
，点C的坐标为（0，－8），点E的坐标为（3，－4），，，OE=CE，，设抛物线的对称轴交直线PB于点M，交x轴于点H．分两种情况：
当时，是等腰三角形．，，CE//PB，
又∵HM//y轴，四边形PMEC是平行四边形，，
，∵
HM//y轴，∽，
②当时，是等腰三角形．∵轴，∽，，
，，∵轴，∽，
，．
③当OP=PQ时，显然不可能，理由：∵D(6,-8),∴∠1∠BOD,∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP,∴∠PQO∠1,∴,
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．
例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的
三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直线BD的解析式为y=x+4，∴H（m，m+4）．
（二次函数中出现的相似的分类讨论情况的解题思路过程）
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．
例3.如图，直线与x轴交于点B,与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=，与x轴交于点A，且经过B,C两点。
（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一点，当|BM-CM|的值最小时，请求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B,N,H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）∵一次函数与坐标轴分别交于B、C，当x=0时y=2，当y=0时x=4，∴B(4,0),C(0,2),把B、C两点坐标代入二次函数解析式中可得：,解得,∴二次函数解析式为：
(2)当BM=CM时，|BM-CM|=0，有最小值，即M点为线段BC的中垂线与对称轴的交点。作线段BC的垂直平分线MP，交二次函数对称轴于点M，即为所求。
∵B(4,0),C(0,2),由中点坐标公式可得BC的中点P的坐标为（2，1），∵MP⊥BC，∴设直线MP的解析式为：y=2x+b,代入P点坐标得1=2×2+b，解得b=-3，∴直线MP的解析式为y=2x-3，当x=时y=0,∴M（，0）
(3)当时x=-1或4，∴A（-1，0）,由A、B、C三点坐标可得AC?=5,BC?=20,AB?=25,∴AC?+BC?=AB?,∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，设点N（m,），∴NH=||，BH=|m-4|,∵∠ACB=∠BHN=90°,∴当以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似时，存在以下两种情况：
①当△CBA∽△HBN时，则，即，∴2||=|m-4|，∴=m-4或=-m+4，解得或,∴N(-2,-3)或(0，2)；
②当△CBA∽△HNB时，则，即，∴||=2|m-4|，∴=2m-8或=-2m+8，解得或,∴N(-4,-12)或(，)；
综上所述，符合题目要求的N的坐标为(-2,-3)、(0，2)、(-4,-12)、(，)
例4.如图，抛物线y=ax
2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交负半轴交于点H.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F的坐标及最小值.
（3）如图11，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC交AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由。
解析：（1）
（2）∵，而EF=1，BD=，要求四边形BDEF周长的最小值，即求DE+BF的最小值。这两条线段涉及D、B、E、F四个点，不能直接通过作对称让这两条线段转化成一条线段，所以，先将DE向下平移1个单位长度成FD`，让E、F重合，再找到B的对称点A，连接AD`，交对称轴CH于点F，此时DE+BF=D`F+BF=D`F+AF=D`A，由于D（0，3），所以D`（0，2），A（-3，0），所以D`A=，所以
（3）∵∠PQC=∠CHA=90°，∴△PCQ与△ACH相似只存在两种情况
①当△PCQ∽△CAH时，∠PCQ=∠CAH，∴PC//AH，由于C为抛物线顶点，此种情况不存在，舍去；
②当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH，过点A作AF⊥CA交CP延长线于点F，作FN⊥x轴于点N
易证△FCA∽△ACH,得;易证△CAH∽△AFN,得;即，
∴FN=1,AN=2,∴F(-5,1),又∵C(-1，4)，∴，联立方程组,
解得
例5.如图，抛物线与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点D，直线AD:y=x+3，抛物线的顶点为C，CE⊥AB.
（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACE相似时，求点P的坐标；
解析：（1）求解析式，基础简单题；
由y=x+3可得A(-3,0),D(0,3),设二次函数解析式为，代入D点坐标，可得a=-1，∴二次函数解析式为.
（2）二次函数与面积问题，中等难度题；
由（1）可得顶点C的坐标为（-1，4），设CE与AD交于点G，则G（-1，2），CG=2，则,∴,∴,∴,当，即，解得x=-1，即M的坐标为（-1，4）；当，即，解得x=，即M的坐标为（，）；
综上所述，M点的坐标为（-1，4）、（，）、（，）；
（3）二次函数与相似问题，压轴性质小题.
由于∠AEC=∠PQC=90°，所以△PCQ与△ACE相似存在以下两种情形：
①当△EAC∽△QPC时，如图1，作FA⊥AC交CP的延长线于点F，作FH⊥x轴于点H，则△EAC∽△AFC,则CE:AE=CA:AF=4:2=2,易证△EAC∽△HFA，则CA:AF=AE:HF=EC:AH，可得FH=1,AH=2,则OH=5,则F(-5,1)，∵C（-1，4），F(-5,1)，可得直线CF的解析式为：,解联立方程组，可得，
∴P点坐标为（）.
②当△EAC∽△QCP时，如图2，则∠EAC=∠QCP，由①可知∠ACF=∠AEC,∴∠ACF+∠ACP=90°,即PC⊥CF，由①可知直线CF的解析式为：，∴设直线CP的解析式为：，代入C点坐标，可得b=，则直线CM的解析式为：，解联立方程组，可得，
∴P点坐标为（）.综上所述，P点坐标为（）、（）.
例6.
如图，已知A(-3,0)，二次函数的对称轴为直线x=-1，其图像经过点A与x轴交于点B，与y轴交于点C.
（1）求二次函数解析式，写出顶点坐标；∵
（2）动点M、N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA、BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接MN，将△BMN沿MN翻折，若点B恰好落在抛物线上的B`处，试求t的值及点B`的坐标；
（3）在（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由。<<二次函数与几何综合>>
题型解读6
二次函数与特殊四边形的存在性问题
【解题思路】
1.几何论证方法
思路过程：①画出所有存在的图形（一般以两个已知点所在的线段为平行四边形的短边、长边、对角线为依据去画图）；
②运用几何知识；（全等、相似或各图形的几何性质）解题；
③符合题中出现“点的位置特殊或受限制”的情景
2.代数论证方法
思路过程：①写出或表示出已知三点的坐标；两两为对角线分三种情况分类讨论；
②若求第三点坐标-----“特殊四边形专有性质+两点间距离公式或题目条件”列方程求解；
③若求第四点坐标----用“平移法”表示第四点坐标，用“两点间距离公式或题目条件”列方程求解；
【例题详解】
例1.在平面直角坐标系中，将Rt△OAB如图放置，O为坐标原点，A,B两点坐标分别为A(0,4),B(1,4)，将此△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到.
（1）若抛物线经过点D(1,6)，及,求抛物线的解析式；（）
（2）在（1）的情况下，点M是（1）中抛物线对称轴上的一动点，问：当点M在何处时，最短，求出的长，并求此时M的坐标；
（3）在（1）的情况下，若P为（1）中抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q的坐标为（1，0），当P,N,B,Q构成平行四边形时，直接写出点P的坐标。
解析：(2)MA`+MB`=MC+MB`≥B`C=,此时M(,-)
(3)由于B（1，4）、Q（1，0），可知：BQ⊥x轴，正因为存在这一特殊性，此题中BQ只能作为所求平行四边形的边，且能画出四个图形（如图）
图1中，与A重合，与O重合，所以（0，4）
图2中，延长AB交抛物线与点，作⊥轴于点，易求出
图3、4中，设,由PN=BQ=4，PN⊥轴，得出,
所以.
综上所述，（0，4），，
例29.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C（0，-4），其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；（）
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN//BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：(2)设M(m,0)，AM=m+2，作NH⊥x轴于点H，由MN//BC可得△AMN∽△ABC，则
AM:NH=AB:OC，可得NH=，则,当m=2，
即M(2,0)时，面积最大值为4.
（3）A（-2，0），D（4，-4），设，
①当AD为对角线时，由平行四边形对角线互相平分性质及中点坐标公式可得：
,∴F，又∵F点在x轴上，∴，解得∴,其中（-2，0）与点A重合，舍去，∴
②当AE为对角线时，则
∴F，又∵F点在x轴上，∴，解得∴,其中（-2，0）与点A重合，舍去，∴
③当DE为对角线时，则，∴F，又∵F点在x轴上，∴，解得∴
综上所述，，，
例2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）
（1）分别求A、B、E点的坐标；
（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使
以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）A（0，4），B（﹣3，0），E（，0）；
（2）△AOE与△AOD相似，理由是：∵A（0，4），∴OA=4，∵E（，0），∴OE=，∴AO:OE=4:=，AD:AO=6:4=，∴AO:OE=AD:AO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊥AO，∴AD⊥AO，∴∠OAD=∠AOE=90°，∴△AOE∽△DAO，
（3）A（0，4），C(3,0),
直线AB的解析式为：y=x+4，则F(a,a+4)
①以AC为对角线时，,,解得a=,∴F(，)
②以AF为对角线时，,,解得a=,∴F(，)
③以CF为对角线时，,,解得a=,∴F(，)，（-3，0）
综上所述，F点的坐标为：F1（﹣3，0），F2（3，8），F3(，)，F4(，)．
例31.已知抛物线：的图象经过坐标原点，且与轴另一交点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线：与抛物线相交于点和
点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）；
（3）在（2）中，若，设点是点关于原点的对称点，如图2.
①判断的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：（1）经过原点则c=0，代入，可得
（2）解得x=,∴A(,)，B(,)，∴
（3）①，∴A(,)，B(,)，由A`(,)，由两点之间的距离公式可得AB=AA`=A`B=,∴是等边三角形；
②A(,)，B(,)，A`(,)，
当AB为对角线时，由平行四边形对角线互相平分性质及中点坐标公式可得：
,
∴P；
当AA`为对角线时，由平行四边形对角线互相平分性质及中点坐标公式可得：
,
∴P；
当BA`为对角线时，由平行四边形对角线互相平分性质及中点坐标公式可得：
,
∴P；
综上所述，P的坐标分别为、、
例3.如图，矩形OABC，A(-3,0),过点C的直线与x轴交于点D，二次函数的图像经过B,C两点。
（1）求B,C两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD;
（4）在二次函数图像上是否存在点M，使以A,P,C,M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）B(-3,4),C(0,4)；（2）；
(3)证明：连接AC，在直角三角形AOC中，AC=5，D（2，0），AD=OA+OD=5，AD=AC，P是CD的中点，∴AP⊥CD
（4）解：存在，理由：设四边形APCM为矩形，过点M作MN⊥X轴于点N。在直角△COD中，CD=，CP=AM=CD=,MA//CD，∴∠MAN=∠CDO，∴△MNA∽△COD,∴∴∵ON=OA+AN=4,∴M(-4,2),把X=-4代入中，y=2,∴点M在抛物线上，∴存在这样的点M，使四边形APCM为矩形。
例33.如图，已知二次函数的图像与x轴交于A(2,0)，B两点，与y轴交于点C(0,8).
（1）求函数解析式；
（2）P（6，2）为平面内一点，设直线交抛物线于M,N，是否存在以A,M,N,P为顶点的四边形是矩形？若存在，求直线解析式；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，求出点M的坐标。
解析：（1）；（2）不存在。理由如下：
(2)不存在以A、M、N、P为顶点的四边形为矩形。理由如下：如图，过点M作MD⊥X轴于点D，过点P作PE⊥X轴于点E，∵以A、M、N、P为顶点的四边形是矩形，∴∠MAP=90°，∴∠DAM+∠PAE=90°，∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠AMD=∠PAE，∵∠ADM=∠PEA=90°，∴△ADM∽△PEA，∴∵A（2，0），P（6，2），∴PE=2，AE=4，∴∴，设AD=m，则MD=2m，OA=2-m,∴M(2-m,2m)，代入抛物线解析式得，解得m=0，∴点A、M重合，故不存在；
（3）由三角形的三边关系，∴当点A、C、Q在同一直线上时最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=-4x+8，∵抛物线对称轴为直线x=3，∴当X=3时，y=-4，∴点Q的坐标为（3，-4）
例4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（y=﹣x2+2x+3）
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解析：
（2）用代数办法：用字母表示出线段PE、PC，建立方程，解出P点的坐标；
如图1，连接PC、PE，x=，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），
设直线BD的解析式为：y=mx+n，则
，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0）．<<二次函数与几何综合>>
题型解读11
二次函数与圆
【解题思路与方法梳理】
①圆的计算与证明，绕不开圆心与半径，结合二次函数的点的坐标及圆的垂径定理等知识，构造与利用Rt△求解；
②此类题，是把圆的题目放在二次函数的背景图上，主要考查圆与直线的关系，所以审图时，学会抛开二次函数曲线图像，仅利用图上点的坐标或线段或直线解析式，盯住圆的图形和知识进行分析思路；
【例题详解】
例1.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线//x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=，则MN的长为___________
解析：由抛物线解析式可得抛物线与x轴的交点坐标为A(1,0),B(5,0),顶点坐标为C(3,-4a)，∴P（3，0），∴半径AP=2=4a,∴a=0.5,作PH⊥MN，连接PE，由垂径定理可得：EH=,EP=AP=2,∴PH=1,即M或N的纵坐标为1，当，解得,∴MN=2,选A
例2.如图，已知直线y=3x－3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x轴交于点E．
(1)直接写出抛物线的解析式为??????
???；
(2)以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，求⊙E的半径；
(3)连接BC，点P是第三象限内抛物线上的动点，连接PE?交线段BC于点D，当△CED为直角三角形时，求点P的坐标．
解：（1）y=x2+2x﹣3
(2)（没切点，作垂直）作EH⊥AB于H，如图1，∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E(﹣1，0)∵A(1，0)，B(0，﹣3)，∴，∵以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，
∴EH为⊙E的半径，∵∠EAH=∠BAO，∴Rt△EAH∽Rt△BAO，∴EH：OB=EA：AB，即EH：3=2：，解得EH=，即⊙E的半径为；
(3)当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，则C(﹣3，0)，∵OC=OB=3，∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
①当∠CDE=90°，则△CDE为等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如图2，则DF=EF=CF=CE=1，
∴D(﹣2，﹣1)，设直线ED的解析式为y=mx+n，把E(﹣1，0)，D(﹣2，﹣1)代入得y=x+1，
解方程组得P点坐标为(,)；
②当∠CED=90°时，EP∥y轴，此时P点坐标为(﹣1，﹣4)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣1，﹣4)或(,)．
例3．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的
正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；D（1，﹣4a）
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
解析：（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值，由此得出抛物线的解析式．
解：∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°；
由y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：
AC2＝（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2＝9a2+9、CD2＝（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2＝a2+1、
AD2＝（3﹣1）2+（0+4a）2＝16a2+4，由勾股定理得：AC2+CD2＝AD2，即：9a2+9+a2+1＝16a2+4，
化简，得：a2＝1，由a＜0，得：a＝﹣1，即，抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
解析：②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．
解：∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM＝OB＝1；设M（x，﹣x2+2x+3），
则OF＝x，MF＝﹣x2+2x+3，BF＝OF+OB＝x+1；∵MF：BF＝1：2，即BF＝2MF，∴2（﹣x2+2x+3）＝x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5＝0，解得：x1＝﹣1、x2＝，∴M（，）、N（，）．
解析：③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD2＝2QG2＝2QB2，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．
解：设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；设Q（1，b），则QD＝4﹣b，QB2＝QG2＝（1+1）2+（b﹣0）2＝b2+4；∵C（0，3）、D（1，4），∴CH＝DH＝1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2＝2QG2；代入数据，得：（4﹣b）2＝2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8＝0，
解得：b＝﹣4±2；即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
例4.
抛物线过A(1，-1)、B（5，-1），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接CB，若点P在直线BC上方的抛物线上，△BCP的面积为15，求点P的坐标；
（3）如图2，过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点（不与点A、E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于点N，求线段BN长度的最大值.
解析：（1）y=x2﹣6x+4；
（2）如图所示：设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4），∵S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．
∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15．
化简得：m2﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∴点P的坐标为（6，4）或（-1，11）．
（3）连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．又∵∠EAB=∠EMB，
∴△EAB∽△NMB．∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．设点O1的坐标为（3，m），∵O1C=O1A，∴，解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，2），∴O1A=，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=，∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6．∵△EAB∽△NMB，∴．
∴．∴NB=．∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2，∴NB==3《二次函数》题型解读6
二次函数应用题
【题型梳理】
1.二次函数解析式的应用题型
（1）建立直角坐标系，或找到直角坐标系；
（2）用待定系数法求解析式，建立起y与x的函数关系式；
（3）审题理解找出已知x值代入求y值或已知y值代入求x值；
2.二次函数最值应用题型
（3）注意题中的限制条件，会影响到当配方求y最值时x的求值；
【方法梳理】
1.解题方法----审透等量关系式；
2.解题技巧----特殊值法：把未知数假设为具体数字，只列综合式不计算，最后用未知数换回来；有具体数字的参与，可以帮助我们更好的结合生活理解找准题中各数量间的关系式；
【典型例题】
例1.
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．
解析：（1）“建立直角平面坐标系
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）
（2）“待定系数法求二次函数解析式”
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2
（3）代入或求或值
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，
例2.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场OD的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与
水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量的x取值范围）
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大
高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
解析：此题中有关距离的数据即是“”，有关高度的数据即是“”；
（1）∵排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最大高度3.2米，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2），
设抛物线的解析式为：，∵抛物线过点C（0，1.8），∴，∴，∴排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式为：，即．
（2）∵，∴当x=9.5时，，∴她可以拦网成功．
例3.在世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
解析：
（1）解题方法：“审透等量关系列解析式”
①销售量=原销售量-因提价减少的销售量，即
②销售额=每件销售单价销售量=
（1）解题技巧：“特殊值法”
①假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少套，现在的销售量为240-，换回来即为：；
②假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少套，现在的销售量为240-，
每月的销售额为：，换回来即为：；
（2）“解一元二次方程”
③根据题意可得，
（3）“配方求最值”
④设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400，
∴当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
例4.某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。
（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=1050，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1050，整理得：x2﹣2x-3=0，解得：x1=3,x2=-1(舍去)，
∴10﹣3=7，答：第二周的销售价格为7元．
(2)设总利润为W，由题意可得W=200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=
-50x2+100x+1200=-50（x-1）2+1250
∵-50，∴当x=1时，W有最大值，即第二周每个旅游纪念品的销售价格为9时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是1250元
例5.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体。（墙体的最大可用长度a=10米）设AB=，长方形ABCD的面积为
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45平方米更大的花圃，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
解析：（1）“审透等量关系求二次函数解析式”：
“”
（2）“解一元二次方程”：
（3）“配方求最值，注意限制条件”：
，
∴能围成面积比45平方米更大的花圃.
例6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价据试销发现，月销售量千克与销售单价元符合一次函数若该商店获得的月销售利润为W元，请回答下列问题：
请写出月销售利润W与销售单价x之间的关系式关系式化为一般式；
在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
若获利不得高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？
解：根据题意得，
；
当时，得到，解得：，，
使顾客获得实惠，．答：销售单价应定为60元，
获利不得高于，即，
．当时，．答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大．
例7.深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=-0.2x+260，设每月的利润为W(元)．(利润=销售额-投入)
（1）该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元?
（2）如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
（1）解：由题意得，(x-200)(-0.2x+260)=36000，整理得，x2-1500x+440000=0,
∴x1=400，x2=1100，经检验都符合题意，
答：
该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为
400元或1100元。
（2）解：由题意得，200(-0.2x+260)≤20000，∴x≧800，
设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元，由题意得，W=(x-200)(-0.2x+260)=-0.2(x-750)2+60500，
∵-0.2＜0，x≥800，∴当x=800时，W取得最大值，最大值=-0.2(800-750)2+60500=60000，
即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元。
例8.
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
解析：（1）“审透等量关系式列解析式”
①“利润=（售价﹣成本）×销售量y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）“配方求最值”
②y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500,∵a=﹣5＜0，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）“与不等式结合”
“先转化成一元二次方程求解：当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
“画二次函数草图确定x的取值范围”（如图）
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．<<二次函数与几何综合>>
题型解读3
二次函数几何综合题中求直线表达式的两种解题思路
【解题方法】
一.用“待定系数法”求某直线的表达式
1.直接求-----找出该直线上二点的坐标，直接运用“待定系数法”求该直线的表达式；
2.间接求-----设置或构造某直线上的第三点及求出该点坐标，再与另一已知点的坐标结合，运用“待定系数法”求该直线的表达式；
二.利用平行或垂直关系求某直线的表达式
1.平行关系-------当两直线平行时，它们的K值会相等或不变；
2.垂直关系-------当两直线垂直时，它们的K值互为负倒数；
【范例精讲】
例1.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由y=0得﹣x2+x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=9，∴B（9，0），由x=0得y=3，
∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA=3．OC=3，∴tan∠CAO=，
∴∠CAO=60°，∵AP=t，∴PG=t，AG=t，∴OG=3﹣t，∴P（t﹣3，t），∵DQ⊥x轴，BQ=2t，∴OQ=9﹣2t，∴D（9﹣2t，﹣t2+t），
②过P作PH⊥QD于H，则四边形PGQH是矩形，∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），∴﹣t2+t=2×t，
解得：t1=0（舍去），t2=，∴当PQ=PD时，t的值是；
（3）∵点F为PD的中点，∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）=﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）=﹣t2+t，∴F（﹣t+3，﹣t2+t），∵点F在直线BC上，
∴﹣t2+t=﹣（﹣t+3）+3，∴t=3，∴F（，）．
例2.如图，已知抛物线交x轴于点A（x,0），B（-1,0），且x>0,，交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标；
（3）直线y=kx(k<0)交直线y=x-3于点P，交（1）中抛物线于M，过M作x轴的垂线于点D，交直线于N，问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求出k的值，若不能，说明理由。
思路分析：
（1）利用题目条件，可求出点A坐标，再把A、B坐标代入，即可得出二次函数解析式；
（2）要求E点坐标，最常见的方法就是先求出E点所在直线CE的表达式，与二次函数组成联立方程，解方程组即可解题。但问题的麻烦就在：点E所在的直线CE，题目只给出两个点，其中C点坐标是已知的，而E点坐标是题目最终要的结论，就题目所给的条件，是无法求出直线CE的表达式的，问题的结点就是在，往往会卡住我们同学们，无所适从，不知所措。我们介绍的办法是：在直线CE上另构造一个点，求出该点的坐标，进而可得直线CE的表达式，绕开目前遇到的困境。由于∠ECO与∠ACB存在共角∠OCA，∴∠OCB=∠ECA,而∠OCB处于一个直角三角形中，结合等角的三角函数值会相等，帮题目暗示我们：需构造一个直角三角形，使∠EDA置于直角三角形中。∴过点A作AG⊥CA交CE于点G，我们需要构造的这个点就出现了，只需求出点G坐标，问题最大的麻烦就解决了。而当∠CAG这个直角构造出来后，图形就呈现出了一个数学典型模型：“一线三垂直模型”中的“二垂模型”，故作GH⊥x轴于点H，利用相似知识求出点G的坐标。
解题过程：
（1）由A（x,0），B（-1,0），且x>0,可得OB=1,OA=x，∵，∴OA=3,A（3，0），把A、B两点坐标代入，可得.
（2）∵∠OCB=∠ECA,∴tan∠OCB=tan∠ECA,∴AG:CA=OB:OC=1:3,由于易证△OCA∽△HAG,∴OC:AH=OA:HG=AC:AG=3,∴AH=1,GH=1,∴OH=4,∴G(4,1),∵C(0,3),∴直线CG的表达式为：y=-0.5x+3,解联立方程：，可得E点坐标为：（,）
（3）思路：先理一理手上条件，①；②∵直线AE=，∴OA=OE=3，∠E=∠A=45°；③MN//y轴，∠PNM=45°，∠PMN=∠EOP；④△PMN是等腰，要先分类讨论。
①当PN=PM时，∠PNM=∠PMN=45°，∴∠MPN=90°，∵△AOE是等腰直角三角形，∴P是AE中点，∵A（3，0），E（0，-3），∴P（1.5，1.5），∴K=-1；
②当PM=MN时，∠PNM=∠NPM=45°，∴∠PMN=90°，PM⊥MN，∵MN⊥x轴，∴OP与x轴重合，∴不存在；
③当PN=MN时，∠NPM=∠NMP，∵∠NMP=∠EOP，∴∠EOP=∠OPE，∴OE=PE=3，∵∠E=45°，作PF⊥y轴于点F，∴EF=PF=，OF=OE-EF=，∴P（，），∴，∴当△PMN为等腰三角形时，K=-1或
例3.如图1，抛物线与y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且AD＝CA，连接CD．
（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当△PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；
（2）将过点D的直线绕点D旋转，设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出CM的长．
【分析】（1）设点P坐标，表示出△PCD的面积，列出二次函数关系式，求出△PCD面积最大时的点P坐标，作PG⊥CD，PG即为PQ+CQ；
（2）等腰三角形分类讨论，分别以C、N和M为等腰顶点分别讨论，求出此时的点M坐标，获得CM线段长．（3）问是本题难点，需要以C、M、N分别为顶点分三类讨论，主要思路是根据等腰三角形成立时，底角相等，于是有内错角相等，通过作平行线获得直线的K值，从而以交点的方式获得M点坐标，求得CM长，是一道很好的二次函数压轴题．
解：（1）当y＝0时，，解得x1＝﹣3，x2＝4∴A（﹣3，0），B（4，0），∵x＝0时，y＝4，
∴C
（0，4），设OD＝m，则AD＝m+3，在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2，（m+3）2＝32+42，解得m1＝2，m＝2﹣8，∴D（2，0），如图1，设点P（m，n），
S△PCD＝S△PCO+S△POD﹣S△COD＝＝，∵a＝﹣＜0，
∴面积有最大值，∴m＝时，有最大值，P（），
如图2，过点D作DH⊥CB，△DHB为等腰直角三角形，DB＝2，∴DH＝BH＝，∵BC＝，
∴CH＝，∴tan∠DCH＝，过点P作PG⊥CD交BC于Q，PG＝PQ+CQ，
CD直线解析式为y＝﹣2x+4，设G（m，﹣2m+4），作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分别为M、N，
可知△CMG∽△PGN，＝，＝，解得m＝，
∵△CDO∽△GPN，∴＝＝，∴GP＝，∴PQ+CQ的最小值为，
（2）如图3，过点M1作M1H⊥AB，设直线L解析式为y＝kx+b，将（2，0）代入得b＝﹣2k，y＝kx﹣2k，
①当CM1＝CN1，∴ON1＝﹣2k，CN1＝4+2k，AM1＝1﹣2k，∵△AM1H∽△AOC，∴＝＝，
∴＝＝，∴AH＝（1﹣2k），M1H＝，∴M1（，），代入y＝kx﹣2k得，＝k（）﹣2k，解得k1＝﹣2，k2＝，∴CM＝4+2k＝，
②当CN2＝MN2时，如图4，过A作AP∥BD，设AP直线解析式为y＝kx+b，将点A代入，﹣3k+b＝0，b＝3k，
∴AP＝＝，∴CO＝+3k＝4，∴k＝，∴DM直线解析式为y＝，
联立，解得，∴CM＝，
③当M3C＝M3N3时，如图5，在x正半轴上取点Q（3，0），CQ解析式为，
过点D作DM3∥CQ，DM3的解析式为，联立，解得，∴M3（，），
∴CM3＝，综上所述：CM的长为或或．
例4.已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(-4,0)，B（1，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC、PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）把A、B两点坐标代入可得解析式为：
（2）若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，则存在以下两种情况
①当点C为直角顶点时，过点B作CP⊥BC交抛物线于点P，∵B（1，0），C（0，2），可算出,∵PA⊥BC,∴设，代放C（0，2），可得，解联立方程，得点P（-4，0）
②当点B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC交抛物线于点P，由①可知,∵PB⊥BC,∴设，代放B（1，0），可得，解联立方程，得点P的坐标为（-5，-3）
综上所述，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标为（-4，0），（-5，-3）
注：此小题用代数论证方法最快，利用“两直线垂直时，K值互为负倒数”解题。
（3）设E(x,0),A(-4,0),C(0,2),
存在以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,
①若以AC为平行四边形对角线，则AC的中点M的坐标为（-2，1），因M也是EF的中点，根据中点坐标公式可得F（-4-x,2）,∵F点在抛物线上，代入解析式可得：,解得，∴E（-1，0）
②若以AE为平行四边形对角线，则AE的中点N的坐标为，因N也是CF的中点，根据中点坐标公式可得F（x-4,-2）,∵F点在抛物线上，代入解析式可得：,解得，
∴
③若以CE为平行四边形对角线，则CE的中点Q的坐标为，因Q也是AF的中点，根据中点坐标公式可得F（x+4,2）,∵F点在抛物线上，代入解析式可得：,解得，∴
综上所述，符合要求的E点坐标为（-1，0）、、<<二次函数与几何综合>>
题型解读7
二次函数与周长、面积问题
【解题思路】面积问题，注意首先确定面积方法（五种）,再依面积方法展开分析思路推导；
【例题详解】
例1.如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；
（2）由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．
解：（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，∴CD=AB=1、OA=OC=2，
则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+；
（2）如图，∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，∴点Q坐标为（，），设直线OP解析式为y=kx，将点Q坐标代入，得：k=，
解得：k=3，∴直线OP的解析式为y=3x，代入y=﹣x2+x+，得：﹣x2+x+=3x，
解得：x=1或x=﹣4（舍），当x=1时，y=3，∴点P坐标为（1，3）．
例2.
阅读材料：如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；,
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(2)因为C点坐标为(１,4)
，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2
8分(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则，由S△PAB=S△CAB
得：，化简得：解得，
将代入中，解得P点坐标为
（补充说明：
例3.如图，抛物线经过A（-1，0）、C（0，3），B点在x轴上，且OB=OC；
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.
【思路分析】
（1）由OB=OC可得B点坐标，把A、B、C三点坐标代入，即可得抛物线解析式，由x=-b/2a可得对称轴；
（2）四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，由题可知AC、DE的长度是已知固定的，要想周长最小，只需CD+AE最小，属“将军饮马问题”第四种情形“二定二动”情形，解题方法是“平移+对称”，将点C往下平移1个单位得C`，由于A、B关于直线x=1对称，故连接C`B交直线x=1于点E，在E的上方取一点D，使CD=1，此时CD+AE有最小值，最小值为C`B的长度，进而可得出四边形ACDE周长的最小值；
（3）直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，存在两种情况：①S△ACP：S△CBP=3：5时；②S△ACP：S△CBP=5：3时；这里介绍两种方法求解：
（1）常规方法：利用面积公式求解的方法：设P点坐标，用面积方法中的“水平宽×铅垂高÷2”分别表示出△ACP与△CBP的面积，按上述比例列方程求解，即可得出P点坐标，注意：①过点P作PM⊥x轴交CB的延长线于点F，交AC的延长线于点M，△ACP的“水平宽”是OA的长，“铅垂高”为PM的长；△CBP的“水平宽”是OB的长，“铅垂高”为PF的长；②CP要分四边形CBPA的面积，P点必须在x轴下方的抛物线位置.
（2）巧妙方法：利用成“等比性质确定面积比关系”求解；△CAQ与△CBQ、△PAQ与△PBQ均为高相等的三角形，故面积之比均为AQ：QB，利用比例线段的“等比性质”，即可得出△APC与△CBP的面积之比仍为AQ：QB，
【解题过程】
（1）∵C（0，3），∴OC=3，∴OB=OC=3，∴B点坐标为（3，0），把A、B、C三点坐标代入，可得，解得，∴抛物线的解析式为，∴对称轴.
（2）将点C往下平移1个单位得C`，由于A、B关于直线x=1对称，故连接C`B交直线x=1于点E，在E的上方取一点D，使CD=1，此时CD+AE有最小值，∵CC`//DE，且CC`=DE=1，∴四边形CC`ED是平行四边形，∴CD=C`E，∵A、B关于直线x=1对称，∴AE=BE，则CD+AE=C`E+BE=C`B，即CD+AE最小值为C`B的长度，∵A（-1，0）、C（0，3），∴AC=，C`（0，2），∵B（3，0），∴BC`=，∴四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=AC+DE+C`B=1++.
（3）常规方法：
过点P作PM⊥x轴交CB的延长线于点F，交AC的延长线于点M，设P点坐标为,∵A（-1，0）、C（0，3），∴直线AC的表达式：，∵B（3，0）、C（0，3），∴直线BC的表达式：，∴M,
F,∴PM=，PF=，
①当
时，即,∴,解得，∴P点坐标为（8，-45）；
②当
时，即,解得，∴P点坐标为（4，-5）；
综上所述，当，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，点P的坐标分别为（8，-45）、（4，-5）；
利用“等比性质”求解面积比的方法
设CP、AB交于点Q，由“高相等时面积之比等于底边之比”可得：，∴依成比例线段的“等比性质”可得：即，∴或，即或，∵AB=4，∴AQ=或，∴Q点坐标为（，0）或（，0），则直线CQ的表达式为：y=-6x+3或y=-2x+3，与抛物线解析式联立方程：或，解得P点坐标为（8，-45）或（4，-5）
例4.如图1，关于x的二次函数经过点，点，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上。
（1）求抛物线的解析式；(y=﹣x2﹣2x+3)
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明
解析：
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
解：存在，①当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD?sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；
②当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P（﹣1，n），则PN=PD?sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，
∵PM=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．
解析：∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，
∵S△FBC=FQ?OB=FQ=，∴FQ=9，∵BC的解析式为y=﹣3x+3，设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，解得：x0=或（舍去），∴点F的坐标是（，）．
例5.如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则与是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
解析：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．
∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，
点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2
（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；
解：平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，
∴F（0，﹣m2+2m+4）．∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
∴△BAO∽△BFE，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH?BF，EF2=FH?BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．
若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；
若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．
②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．
解：假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），
∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．
如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF?|xG|﹣BF|xE|=BF?（|xG|﹣|xE|）=BF．
∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，
∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．
当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．
∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
例6.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点A(3,0)和点B(-2,),与轴交于点C.
(1)求出抛物线的函数表达式；
(2)在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标；
(3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P(不与点A重合),使△PMC的面积与△AMC的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
解析：考查二次函数与几何综合，解答压轴题。
（1）基础简单小题。把B点坐标代入中可得：B（-2，-5），把A、B两点坐标代入，可得抛物线的解析式为：.
（2）中等难度小题。将AC平移到NM，实质就是构造了一个平行四边形CAMN，利用中点坐标公式的代数办法是最便捷的解题方法。
连接CN、AM、CM交AB于点F，由题可知四边形CAMN是平行四边形，F点是AN、CM的中点，设N的坐标为（m,m-3）,∵F点是A、N的中点，由中点坐标公式可得：F()，∵F点是C、M的中点，由中点坐标公式可得：M()，把M点的坐标代入二次函数中，可得：，整理得：，解得：m=1或m=-6，∴N点在线段AB上，∴m=-6不符题意舍去，∴m=1，∴M（4，-5）
（3）由于△PMC与△AMC有相同的底边MC，当它们面积相等时，则以MC为底边上的高也相同，依“平行线间的距离处处相等”可解题。
①当点P在直线CM上方时，过点A作AP//CM，交抛物线于点P，符合题目要求。
由M（4，-5）、C（0，3）可得,∵AP//MC，∴设直线AP的表达式为：，代入点A的坐标，可得直线AP的表达式为：，解联立方程：，解得：或，
∴P（1，4）；
②当点P在直线CM下方时，分别作ND⊥CM于点D，AH⊥CM于点H，由（2）可知：四边形ACNM是平行四边形，易证△ACH≌△MND，∴AH=DN，过点N作NP//CM，分别交抛物线于点，由于到直线CM的距离与ND相等，∴符合题目要求。由（2）可知：N（1，-2），∵CP//MC，∴设直线CP的表达式为：，代入点N的坐标，可得直线NP的表达式为：，解联立方程：，解得：或，∴P（，）或（，）《二次函数》知识结构图
《二次函数》题型全解读1
二次函数的概念
【知识梳理】
1.定义：一般地，若两个变量，之间的对应关系可以表示成是常数，a≠0,b,c可以为零)．那么叫做的二次函数.其中分别是二次项、一次项和常数项，分别是二次项系数、一次项系数。
2.
二次函数各种形式之间的变换
（1）二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
（2）是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①；②；
③；④；⑤.
【典型例题】
例1.
下列函数中是二次函数的有（
D
）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．⑤;⑥⑦;⑧
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例2.
函数是二次函数，则m=
．m=2
例3．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a
时，是二次函数；当a
，b
时，是一次函数；当a
，b
，c
时，是正比例函数．()
例4.已知函数
（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________()
（2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)
（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数)
《二次函数》题型全解读2
二次函数图像与性质
【知识梳理】
一.二次函数的五种图像及性质
二次函数的图象及性质
大致图象
a>0
a<0
对称轴
y轴(直线x=0)
顶点坐标
原点（0，0）
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向下，函数左增右减）
最值
当时，有最小值为0
当时，有最大值为0
二次函数+c的图象及性质
a的符号
a>0
a<0
大致图象
c>0
c<0
对称轴
y轴(直线x=0)
顶点坐标
（0，c）
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
当时，有最小值为
当时，有最大值为c
平移规律
+c图象是由图象按“上加下减”的规律平移|c|个单位而成
的图像及性质
a的符号
a>0
a<0
大致图象
h>0
h<0
对称轴
直线ｘ＝ｈ
顶点坐标
(ｈ,0)
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
顶点坐标
(ｈ,0)
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
当时，有最小值
当时，有最大值为c
平移规律
图象是由图象按“左加右减”的规律平移|h|个单位而成
的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对
称
轴
顶点坐标
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=h时，y有最小值为k
当x=h时，y有最大值为k
平移规律
的图像是由图象按按“左加右减”的规律平移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成
的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对
称
轴
顶点坐标
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
越大，开口越小
函数的增减性
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
（开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当时，随的增大而减小
当时，随的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=时，y有最小值，
当x=时，y有最大值，
平移规律
项目
字母
字母符号
图象特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为轴
(即、同号)
对称轴为轴左侧
(即、异号)
对称轴为轴右侧
c
经过原点
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
二.二次函数图像性质与系数的关系
三.二次函数图像的平移
平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；
左加右减须牢记，上加下减错不了”
注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
四.（补充）二次函数过定点问题
例1：已知y=x?+kx-2k通过一个定点,这个定点的坐标是__________
解析:题意是k为任何值时,都不会影响抛物线过这个定点,即定点的X和Y值,与K的取值无关.
方法一:特殊值法,取K=1和-1,解出X=2,Y=4,则定点即为(2,4)
方法二:
y=x?+kx-2k=x?+(x-2)k,当X=2时,K无论取何值,都不影响Y值,即定点为(2,4)
例2.无论p取任何实数,抛物线y=2x?-px+4p+1都通过一个定点,求此定点
解析:y=2x?-（4-x）p+1，显然，x=4时，p取多少，y都是33。
即过点（4，33）。
例3.某数学小组研究二次函数y=mx?-2mx+3的图像发现,随着的变化,这个二次函数的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图像总经过两个定点,
解析:
y=mx?-2mx+3=mx(x-2)+3,X=0或,X=2时,Y值与M的取值无关,所以定点为(0,3),(2,3)
解法:二次函数过定点或与某个字母取值无关,先把带有该字母的所有项合并,再让该字母前所有的式子等于零,即可
题型解读1
二次函数图像认识题型
【解题方法】
熟悉五种二次函数图像与性质
【典型例题】
1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）C
A.
开口向下
B.
对称轴是x=﹣1
C.
顶点坐标是（1，2）
D.
与x轴有两个交点
2．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是 （1，2） ,对称轴是____________________直线x=1
3．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ）D
A．
（﹣1，﹣1）
B．
（1，﹣1）
C．
（﹣1，1）
D．
（1，1）
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），则它的图象一定过点（1，1）
4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（
）B
A.
开口向下
B.
对称轴是y轴
C.
都有最低点
D.
y随x的增大而减小
5．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）D
A．6
B．
5
C．
4
D．
3
解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．
6．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ D ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）
D．抛物线与x轴没有交点<<二次函数与几何综合>>
题型解读9
二次函数与“胡不归问题、阿氏圆问题”
【解题思路】
1.题型特点：求形如“AB+kAD”最小值的题目，其中A是动点，B,D是定点
①当动点A在直线上运动时，属“胡不归问题”；
解题方法：利用特殊角的三角函数值转化，使“AB=kAM或kAD=AM”,则转化成将军饮马问题的
“kAM+kAD=k(AM+AD)或AB+AM”情形，当A,M,D或A,B,M三点共线时，即有最小值；
②当动点A在圆上运动时，属“阿氏圆问题”
解题方法：把kAD由乘积式转化成比例式，构造一个与AD所在三角形相似的共角模型的三角形，且该三角形的一个顶点为动点A，进而可得kAD=过A的一条线段；
2.技巧：题目中的“k”是精心设置的数字，一定是图中某两条已知线段的比值。
【例题详解】
例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y＝ax2+bx+c
的图象交
x
轴于A、B
两点，交
y
轴于
C
点，P
为
y
轴上的一个动点，已知
A(-2,0),C(0,-2),且抛物线的对称轴是直线
x＝1．
（1）求此二次函数的解析式；()
（2）连接
PB，则PC+PB
的最小值是________；
（3）连接
PA、PB，P
点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出
P
点坐标．
解析：
（2）OA=2,OC=2,可得∠ACO=30°，作PM⊥AC于点M，则PM=PC,则求PC+PB
的最小值即求PM+PB的最小值，当B,P,M三点共线时，即BM⊥AC时有最小值，∠BAM=60°,AB=6,最小值PM=3.
(3)二次函数与边角存在性问题，构造一线三垂直，两次相似即可解答。
①当P在y轴正半轴时，设P(0,a)，由“一线三垂直”的相似可得EP=2，EA=a，AF=2,FD=a，设FD与y轴交于G点，则GD=a-2,由OB//DG，可得BO:DG=OP:PG，即4：(a-2)=a:（+a），解得a=,（负值舍去），故P点坐标为（0，）、（0，）.
②当P在y轴负半轴时，设P(0,a)，由“一线三垂直”的相似可得EP=2，EA=-a，AF=2,FD=a，设FD与y轴交于G点，则GD=a-2,由OB//DG，可得BO:DG=OP:PG，即4：(a-2)=（-a）:（-a），解得a=,
（正值舍去），
故P点坐标为（0，）、（0，）.
例2.如图，已知抛物线y=a(x+2)(x-4)(a为常数，且a>0)与x轴从左到右依次交于A,B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）该二次函数图像上有一点P(x,y)，使，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值。
解：（1）D（-5，），代入抛物线中，得
（2）C（0，），B（4,0）,点D（-5，），∴
∴，∵，∴，∴，∵点P在抛物线上
∴P1（,）或
P2（,）
（3）由BD表达式可知∠ABD=30°,作DM//x轴，则∠MDB=∠ABD=30°,过点F作FH⊥DM，垂足为H
∴,∴2AF+DF=2AF+2FH=2(AF+FH),当
A、F、H三点共线，即AH⊥DM时，
AF+FH
取最小值,即2AF+DF取最小值.∵DM∥x，∴2AF+DF最小值.
例3.在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；
（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.
解析：（2）“水平宽乘铅垂高的一半”可得出P（，）时，面积最大为
（3）构造30°角直角三角形，转化MB，使之转化成“将军饮马问题”.
作∠ABE=30°，BE交y轴正半轴于点E，作MF⊥BE于点F，则MF=MB,求CM+MB的最小值即求CM+MF的最小值，当C、M、F在同一直线上时，即连接CF交x轴于点M，此时CM+MF有最小值，最小值CF的长度。
由∠ABE=30°，OB=3，可得E(0,),可得直线BE的解析式为,由CF⊥BE可得直线CF的解析式为，M（，0），易证△OEB∽△FEC,由OB:CF=BE:CE可得CF=,即是CM+MB的最小值
例4.如图，直线与坐标轴分别交于A、B两点，二次函数的图像经过A、B两点且与x轴正半轴交于点C.
（1）求C点坐标与该抛物线的解析式；
（2）已知点M是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，△BDE的面积为多少？
（3）在（2）的条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M的相应位置记为点，将绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）：①探究：线段OB上是否存在点P（P点不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，的最小值。
解析：（1）A（-6，0），B（0，），,C(1,0)
（2）M，E(m，)，DE=，作BG⊥EM于点G，则BG=OM=-m，
DG=DE=,GM==OB=，解得m=-4,m=0(舍去)，则DE=,BG=OM=4,面积为
（3）①存在，ON=OM=4,OB=，则ON:OB=,由于∠NOP=∠BON，当△ONP∽△OBN时，即PN:BN=OP:ON=ON:OB=3:4时，PN:BN不变，此时OP=3,即P(0,3).
②转化（乘积式转化成比例式，相似解答）：,在OB上截取OP=3,则△ONP∽△OBN，则，即PN=,求的最小值，即求NA+NP的最小值，当N,A,P三点共线时，最小值为AP的长=3.
例54.如图1，抛物线，与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一
动点P(m，0)
(0＜m＜4)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M.
⑴
求抛物线的解析式；（）
⑵
若PN∶PM
=
1∶4，求m的值，
⑶
如图2，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是
，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到O
，旋转角为α
(
0°＜α＜90°
)，连接A、B，求的最小值.
解析：（2）直线AB的解析式为y=-x+2，PM=,PN=-m+2，所以,解得m=3,m=4(舍去)；
（3）思路：,在y上截取OQ=,则△OQ∽△OBN，则，即Q=,求的最小值，即求A+Q的最小值，当,A,Q三点共线时,即连接AQ，最小值为AQ的长=.题型解读4
二次函数图像平移题型
【解题方法】
1.平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”
2.注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
【典型例题】
1．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ B ）
A．
（0，2）
B．
（0，3）
C．
（0，4）
D．
（0，7）
2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）A
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位
D．向下平移2个单位
3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）y=﹣2（x﹣1）2+2
4.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）y=（x﹣4）2﹣2
5.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的解析式为，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的解析式为（）
A.
B.
C.
D.
解析：考查二次函数图像的平移。∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),∴点C与A关于原点对称，∴C(-2,-1),纸上的点与二次函数同时移，即相当于二次函数平移，该点由点A移到点C，即向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，则二次函数也随之向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，∴二次函数的解析式为：，选A
6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（ 4027 ， 4027 ）．
解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1
相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，
M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027
（4027，4027），
7.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与
x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点
为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下
去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（ （10.5，﹣0.25） ）．
解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（2.5，﹣0.25）P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，
p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（10.5，﹣0.25）．
题型解读5
二次函数与一元二次方程关系题型
【知识梳理】
一.二次函数与一元二次方程的关系
图像
方程根的情况
与x轴交点
与y轴交点
若
则AB=||
=
=
=
=
无交点
没有实数根
二.二次函数最值问题
(一).对二次函数，若自变量为任意实数，则取最值情况为：
（1）当时，
（2）当时，
（3）可直接根据图象或采用配方法和公式法求二次函数的最值.
三.二次函数表达式
（一）二次函数的三种表示方法
1、解析法（用函数表达式表示）；2、表格法；3、图像法
（二）用待定系数法求二次函数的解析式(简称”一般两根三顶点”)
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：(即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。)
【典型例题】
1.
若二次函数的解析式为，则其函数图象与x轴交点的情况是(
A
)
A.
没有交点
B.
有一个交点
C.
有两个交点
D.
以上都不对
2.已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为(
C
)
A.
B.
C.
D.
3.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(
D
)
A.
B.
C.
D.
4.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有(
B
)③④
①；②；③方程必有两个不相等的实根；
④；⑤当时，函数值y随x的逐渐增大而减小．
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
5.如图，抛物线与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．
若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为
．
【解析】依题意，得
，因为三角形
是等腰三角形，所以，点
在线段
的垂直平分线上，
线段
的垂直平分线为：，解方程组：
即：，
解得：，所以，点
的坐标为
6.
求二次函数y=x??2x+3的最小值.
7.当﹣2≤x≤1时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（ C ）
A.
B.
C.
D.
解：二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．
