题型全解8
圆综合题中的定值与最值问题
【思路梳理】
1.几何方法：利用相似或三角函数知识，转化成已知线段的比或值；
2.代数方法：利用二次函数最值问题解题；
【典型例题】
1.如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点G，AB=10，AG=2，点F是线段CG上异于点C、G一动点，连接AF并延长交于点E，连接AD、DE.
（1）求弦CD的长；
（2）求tanE；
（3）当点F在运动过程中，AF?AE的值是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。
解析：（1）连接AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠CGA=90°，∵∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC
∴，∵AG=2,BG=AB-AG=8，∴CG=4，∵AB是⊙O的直径，，∴CD=2CG=8
连接BD，∵
，∴∠E=∠ABD，∵，∴∠DGB=90°，∵DG=CG=4,BG=8
∴
当点F在运动过程中，.
连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠AGF，∵∠FAG=∠BAE，∴△AFG∽△ABE
∴，∴当点F在运动过程中，.
2.如图，⊙M经过原点，与y轴正半轴交于点A，圆心M（0，2），点P为圆上一动点，PE⊥y轴于点C，射线EM交x轴于点D，且EM//AP，连接AD交PC于点F.
（1）如图1，当点E落在圆上时，求弧AE的长；
（2）如图2，当点E落在圆外时，求证：2AC?OD=OA?PC；
（3）在（2）的条件下，CF/PC的值是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由。
解析：（1）PE⊥y轴，依“垂径定理”可得EC=PC，∵AP//EM，∴易证△APC≌△MEC，得AC=CM=AM=1，∴CM=EM，∴∠E=30°，∠EMC=60°，∴
（2）∵AP//EM，PE//OD，∴∠P=∠E=∠EDO，∵∠C=∠O=90°，∴△ACP∽△MOD，∴即，∵OM=OA，∴
（3）∵CF//OD，∴即，∴，由（2）可知：，∴∴，是定值。
3.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圆⊙O上一动点（P点与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD=PB，连接BD.
（1）求证：PC//BD；（2）若⊙O的半径为2，∠ABP=60°，求CP的长；
（3）随着P点的运动，(PA+PB)/PC的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明。
解析：（1）证明：∵
△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠ABC=45°,∠ACB=90°，且∠APC=∠ABC=45°,
∴AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°，
又∵
PD=PB，∴∠PBD=∠D=45°,
∴
∠APC=∠D=45°,
∴
PC∥BD.
（2）作BH⊥CP,
垂足为H,∵⊙O的半径为2，，
∴，
且∠BCP=∠BAP=30°,
∠CPB=∠BAC=45°,在Rt△BCH中，，
，在Rt△BHP中，PH=BH=，∴.
(3)
不变.
∵
∠BCP=∠BAP，∠CPB=∠D，∴
△CBP∽△ABD,
∴
，即
4.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．
（1）求⊙M的半径；
（2）证明：BD为⊙M的切线；
（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大,求出P点坐标及最大值.．
解析：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；
（2）证明：由题意可得出：M（2，）
又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且
MC=，故
C（2，﹣1）
过
D
作
DH⊥x
轴于
H，设
MC
与
x
轴交于
K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故
DH=5KC=5，HA=5KA=10，
∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：，故直线AB表达式为：y=﹣x+3，
同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵KAB×KBD=﹣1，∴BD⊥AB，BD为⊙M的切线；
（3）解：取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为
y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为
y=x
，又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==
5.如图所示,Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC
的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。
（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。
（3）点P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由
解析：(1)证明:连接AO，易知：
⊙o的切线；
（2）解：利用“一条弧所对的圆周角要大于圆外角求张角最值”当点P运动到A处时，即时，的度数达到最大，为.理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，则.
(3)解：作点C关于射线DA的对称点，则,当点共线时，的值达到最小，最小为.过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接，在
所以为等边三角形，故H为DC的中点，，，
由勾股定理求出所以的最小值为.
6.在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，并在⊙0内作内接矩形AMPN，令AM=x，
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙0与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，
试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
7.如图，已知点A(3,0)，以O为圆心，OA为半径作，交y轴于点C，直线l:y=(4/3)x+b经过点C.
（1）设直线l与⊙O的另一个交点为D，如图1，求弦CD的长；
（2）将直线l向上平移2个单位
，得到直线m，如图2，求证：直线m与⊙O相切；
（3）在（2）的前提下，设直线m与⊙O切于点P，Q为上一动点，过点P作PR⊥PQ，交直线QA于点R，如图3，则△PQR的最大面积为________.题型全解6
圆内接正多边形的计算题型
【知识梳理】
1.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆的内接正多边，这个圆叫该正多边形的外接圆.
如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正多边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；
∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距.
2.熟记下列结论
（1）正n边形的性质：
①正n边形的每个中心角（圆心角）都相等，都等于；
②正n边形的每个外角都相等，都等于；
③正n边形的每个内角（圆周角）都相等，都等于
（2）特殊的正多边形内角、中心角、半径、边长、边心距、周长、面积等关系
3.补充
（一）三角形外接圆的半径求法及用途
1.三角形外接圆的直径等于内接三角形任意两边的乘积除以第三边上的高.
如图：AE=AB·AC÷AD.(或：AE·AD=AB·AC)
证明：
连接AO并延长交圆于点E，连接BE，
则∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C，
∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴，
∴AB·AC＝AE·AD
2.三角形外接圆的直径等于内接三角形任意一边除以它所对的角的正弦值。
如图：AE=
(若∠C为钝角，则先用180°去减，转化为锐角)
证明：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE=90°,∴,∵∠E=∠C,∴AE=.
（二）三角形内切圆的半径求法及用途
若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，
当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径
【典型例题】
边长为2的正六边形的边心距为
解：如图，在中，，，?．
2.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是___________
解析：∵正六边形的边心距为√3，∠AOB=30°∴OB=，AB=1/2OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．
3.
正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为_______
解析：正六边形的周长是6，其边长．正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，
它的外接圆半径是1
4.下列说法正确的是
A.
若点C是线段AB的黄金分割点，，则
B.
平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
C.
两个正六边形一定位似
D.
菱形的两条对角线互相垂直且相等
A.
1
B.
2
C.
3
D.
6
解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，，当时，，当时，，本选项说法错误；
B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；
C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；
D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；
故选：B．
5.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．
解析：设O是正五边形的中心，连接OD、OB．则∠DOB=×360°=144°，∴∠BAD=∠DOB=72°
6.如图，五边形ABCDE为的内接正五边形，则______．
解析：五边形ABCDE是的内接正五边形，，，
，同理，
7.如图，已知正方形ABCD的边心距OE=，求这个正方形外接圆⊙O的面积.
解析：连接OC,OD，作OE⊥DC于点E，则可得∠ODE=∠DOE=45°,则OE=DE=,由勾股定理可是OD=2，则圆的面积为4Л.
8.如图，外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且，，求正方形ABCD的边长和PB的长．
解析：连接AC，作于E，如图所示：四边形ABCD是正方形，，
，，是的直径，是等腰直角三角形，
，，，，
，，是等腰直角三角形，
，，
．题型全解2
五大性质定理之垂径定理
【知识梳理】
1.垂径定理-----“知二推三”
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥
∴
（4）以下五个条件，知道任意两个条件都可以推出其他三个结论
①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．
（知二推三）
2.解析注意：
①一个知识点：知二推三；
②一个注意点：平分弦+直径=垂直弦时，弦不能是直径；
③一条思路线：盯住Rt△，缺线补线，缺数设
【典型例题】
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=_______cm
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
2．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=____
解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径
定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．
3．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是_______
解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，
4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，
OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5
5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为____cm
解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，
OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．答案是
4或2cm
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是_______cm
解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=
7．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利
用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
8.如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
解析：（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k?（10+5k），解此方程即可求得答案
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，∴ED=EA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k，∵AD?EF=AE?DM，
∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==；
（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE，∴AE2=CE?BE，
∴（5k）2=k?（10+5k），∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5
40
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46题型全解7
圆弧长及阴影面积的计算题型
【思路梳理】
1.弧长计算公式：
2.圆中阴影面积的计算思路
（1）扇形面积计算公式：
（2）解题思考两点：①阴影图形的面积方法；②扇形在哪；计算两个：半径和圆心角
【典型练习】
1．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则弧BD的长为___
解析：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，
∴的长==，
2．如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧BC的长是_____
【分析】连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边
等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB=60°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠
OBC=60°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC=60°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．
解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，劣弧长为=π．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求弧AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．
4．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是 ．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交
直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．
5．如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA，若OA=2,则阴影部分的面积为___
【思路分析】
1.由图可知，阴影部分的面积分为两部分，其中△AOD部分最容易解决，它是直角三角形，底OA长是已知，利用∠OAD=30°的边角关系可求出高OD的长，即可求出这部分阴影的面积；
2.这样我们的思考重点就明确了，如何求第二块阴影部分的面积-----不规则扇形DCB，这里就涉及到求圆中阴影部分面积的解题方法-------解题思考两点：①阴影图形的面积方法；②扇形在哪；计算两个：半径和圆心角
（1）面积方法：该部分阴影图形是不规则的扇形，无法直接用公式求解，故采用“割补法”；
（2）在具体思考如何“割补”时，往往从方法的第②条开始思考，即有关的扇形在哪？
这样我们就很明确地找到了“割补”的具体图形-----扇形OBC与△ODB的面积差即为第二块阴影部分的面积；
（3）求扇形OBC的面积利用公式法即可求解；而求△OBD的面积，则需要明确谁作底、高在哪-----首选已知边OB作底，作DE⊥OB，则DE作高，利用1中已求出的OD长及圆心角∠COB=30°的边角关系，即可求出高DE的长，则至此，求阴影部分所涉及的所有图形的面积都已解决了。
【解题过程】
(1)在Rt△AOD中，∠OAD=30°,OA=2√3,则OD=OA×tan30°=2,则△AOD的面积=OA×OD÷2=2√3；
(2)在△OBD中，作DE⊥OB交OB于点E，由∠COB=30°,OD=2,则DE=1,则△BOD的面积=OB×DE÷2=√3；
(3)在扇形OBC中，由∠COB=30°,OB=2√3,则扇形COB的面积=Л×(2√3)
2×30÷360=Л；
∴阴影部分的面积=△AOD的面积+扇形COB的面积-△BOD的面积=Л+√3.
6.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，图中阴影部分的面积是___________
解析：连接OM、OA、OB，
确定面积方法和扇形：
确定半径和圆心角：半径=1，∵对折和M是中点，∴OC=MC=，OM⊥AB，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°,AC=,
∴
7．如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
解：连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．
8.如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为____________
【思路分析】
明确方法：“扇形在哪？圆心角和半径各是多少”，抓住这一条，基本能解决此类题型，如此题，只要能找到图2中的扇形OEF，就能明确图3中求阴影部分的方法---弓形EF的面积+△AFE的面积。剩下的问题就是找到求这两部分面积所需要的各个数据-----圆心角∠EOF的度数、AF与AE的长度；依“圆中求线段长，首选垂径定理”，故作⊥⊥
①弓形EF的面积=扇形OEF的面积-△OEF的面积，
②题型全解11
线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”
【知识梳理】
1.“胡不归问题”
（1）题型特点：出现“”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。
（2）解题思路：紧盯“k”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“”相似的线段，把“”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题。
2.阿氏圆
（1）题型特点：出现“”形式的线段和差最值题型，且动点运动轨迹为圆形（或圆弧形）。
阿氏圆，全称为阿波罗尼期圆，是古希腊名叫阿波罗尼斯的数学家发现的。他发现：已知平面上两定点A、B，则所以满足“”的点P的轨迹是一个圆，取名为阿波罗尼期圆，简称为阿氏圆。当时，，则点P到线段两端的距离相等，它的轨迹是线段AB的垂直平分线。当时，点P运动轨迹如图所求，易知图中隐藏着“共角型”相似三角形，若△OPA∽△OBP，则有即。
（2）解题思路：当遇到“”型最值时，解题关键是能否把“”转化成某条线段，这样就转化成了典型的“将军饮马问题”，而把“”转化成某条线段，最关键是能够构造出点A：只要使被构造的点A与圆心O的距离与半径之比等于半径与圆心到定点B的距离之比即可，即
【典型例题】
1.如图，Rt△ABC中，，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=，P是边AC上的一个动点，则的最小值为________.
解析：利用30°角把转化成某一条线段，这样就把转化成两条线段和差的最小值，典型的“将军饮马问题”.过P作PM⊥AB于点M，则PM=，则求的最小值，即是求PM+PB的最小值，属“一定两动”情形。
解答：作点B关于AC的对称点B`，作B`M⊥AB于点M，交AC于点P，B`M即为所求。利用特殊角的三角函数可求出B`M=3，即的最小值为3.
2.如图，O的半径为2，点C在圆上且∠CAB=30°，点D是弦AC上的动点，则OD+CD的最小值是______
解析：过点C作CN//AB，过点D作DM⊥AN于点M，∠A=∠MCD=30°，
，当O、D、M共线时，OD+MD=OM最小，过点C作CQ⊥AB于Q，OM=CQ=
3：如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是___
解析：动点D在线段BE上运动，属“胡不归问题”，紧盯所求结论中的“BD”，转化成“”，而由题目条件可知：，即我们需要构造一组相似三角形，使其对应边之比是：，过点D作DF⊥AB于点F，由相似典型图形“共角模型”易证△BDF∽△BAE可得：，即BD，要求CD+BD的最小值，即求CD+DF的最小值，当C、D、F在同一直线上时，存在最小值:CF的长度，由△ABC的面积=AB×CF=AC×BE，即可求出最小值.
过点D作DF⊥AB于点F，如图1，∵AB=AC=10，tanA=2,BE⊥AC，∴AE=，BE=，∵∠DBF=∠ABE，∠BFD=∠AEB=90°，∴△DBF∽△ABE，∴，∴DF=BD，则CD+BD的最小值，即为CD+DF的最小值，当C、D、F在同一直线上时，CD+DF有最小值，为线段CF的长度，如图2，∵，∵AC=AB，∴CF=BE=，即CD+BD最小值为.
4.已知二次函数的图像分别与x轴交于A(3,0)、C(-1,0)，与y轴交于点B，点D为二次函数图像的顶点。
（1）如图①所示，求此抛物线的关系式；
（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m,0），且1（3）在（2）的条件下，当m为何值时，△BEF是等腰三角形；
（4）在图①中，若R为y轴上一个动点，连接AR，则的最小值为________________（直接写出结果）
解析：考查二次函数几何综合，解答压轴题，其中第（4）小题是压轴小题。
（1）代入可得
（2）由题可得：A（3，0），B（0，3），D（1，4），∴，∵P（m,0），PQ⊥x轴，∴F（m,-2m+6）,E(m,-m+3),∴EF=-m+3,EP=-m+3,∴EF=EP；
（3）由OA=OB=3，可得：∠BAO=45?，∴∠BEF=∠AEP=45?，由图易知：∠EBF≠90?，也不可能是钝角，∴当△BEF为等腰三角形时，只有一种情况：BF=FE，∠BFE=90?，△BEF是等腰直角三角形，∴F点的纵坐标为3，∴m=；
（4）“阿氏圆”。由题可知：OC=1，BC=，∴，故需构造一个与△OBC相似的三角形，且这个三角形中含有边BR，∴作RM⊥BC于点M，构造相似的“双垂”模型。此时易证△BOC∽△BMR，∴，∴，题目要求的最小值，即求MR+AR的最小值，当A、R、M在同一直线上时，即AM⊥BC于点M，交y轴于点R时，MR+AR最小值是AM的长，此时，△BOC∽△AMC，∴，∴，∴，即的最小值为.
5：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上一个动点，求的最小值和的最大值；
解析：首先寻找隐藏的那组“共角型”相似三角形，连接BP，由题可知：PB：BC=2：4=1：2，若能在BC上找一点M，使BM：BP=1：2，（作图步骤是：在BC上取一点M，使BM=1，连接PM），则△BPM∽△BCP，就能得到PM：PC=1：2，即，这样就转化成了，即转化成了典型的“将军饮马问题”，当D、P、M在同一直线上时，PD+PM有最小值，即DM的长度，由勾股定理易得DM=5，即的最小值为5；如图3.
同理：就转化成了，即转化成了典型的“将军饮马问题”，∵∴当P点在DM延长线与圆的交点上时，PD-PM有最大值，即DM的长度，由勾股定理易得DM=5，即的最大值为5；如图4.
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，求的最小值和的最大值；
解析：首先寻找隐藏的那组“共角型”相似三角形，连接BP，由题可知：PB：BC=6：9=2：3，若能在BC上找一点M，使BM：BP=2：3，（作图步骤是：在BC上取一点M，使BM=4，连接PM），则△BPM∽△BCP，就能得到PM：PC=2：3，即，这样就转化成了，即转化成了典型的“将军饮马问题”，当D、P、M在同一直线上时，PD+PM有最小值，即DM的长度，由勾股定理易得DM=，即的最小值为；如图5.
同理：就转化成了，即转化成了典型的“将军饮马问题”，∵∴当P点在DM延长线与圆的交点上时，PD-PM有最大值，即DM长度，由勾股定理得DM=，即的最大值为；如图6.题型全解10
圆动点的运动路径问题
【思路梳理】
1.两种运动情形：①运动轨迹是直线型；②运动轨迹是圆弧型
2.解析技巧：抓住动点运动过程中的三个特殊位置点（起始位置、中途任意位置、结束位置），并把这三点连线，确定运动路线，再求出它的长度；
【典型例题】
1.正方形ABCD的边长为4cm，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为_____
思路分析：
抓住点O运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：点P的初始位置是点B，此时Q与C重合，AQ与对角线AC重合，AQ的中点O即为正方形对角线的中点O`；
②任意位置：题目给的图形即是点O运动的任意位置；
③结束位置：当P与C重合时，AP与AC重合，Q是PQ⊥AP的垂足，所以Q与C、P重合，AQ与AC重合，AQ的中点O仍是正方形对角线的中点O`，
把以上三个位置连线，可知线段AQ的中点O的运动轨迹是O`---O----0`这条线段上运动，而CQ的长度也是由小到大再到小的变化，则OO`是中位线，所以，当CQ有最大值时，OO`也有最大值.由于图中出现了“一线三直角”的典型模型，我们可以用代数办法来求CQ的最大值。
解题过程：
如图，连接AC，取AC的中点O`，取AQ的中点O，连接OO`，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，∵△ABP∽△PCQ，∴AB:PC=BP:CQ,即4:(4-x)=x:y,∴y=-0.5x
2+x=-0.5+1(02.如图，正方形ABCD中，P为AC上一动点，过点P作PQ⊥BP交CD边于Q.点P从点A出发，沿AC方向移动，若移动的路径长为2，则BQ的中点M移动的路径长为_____
思路分析：
抓住点M运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P在点A时，Q与D重合，这时BQ的中点M即为对角线的中点O；
②任意位置：题目给的图形即是点M运动的任意位置；
③结束位置：当P运动到O点时，Q与C重合，这时P不能再移动了，此时M移动到BC的中点M`，
把以上三个位置连线，可知线段BQ的中点M的运动轨迹是为OM`.
解题过程：
由题可知，点P的运动路径长是2，即OA=2，依正方形的性质可得AC=4，AB=2,由于OM`为△ABC的中位线，∴OM`=√2,即BQ的中点M移动的路径长为.
3.如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角角平分线交于点M，当点P在弧AB上从A运动到点B是地，点M所经过的路径长为_______
思路分析：
抓住点M运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P在点A时，H、M均与A重合；
②任意位置：题目给的图形即是点M运动的任意位置；
③结束位置：当P运动到B点时，PH与BO重合，则M与O重合；
把以上三个位置连线，可知点M的运动轨迹是为弧AMO.求弧长，必先找到圆心角和半径，利用垂径定理及相应角度，即可画出弧OMA所在的圆，再依公式算出点M的运动路径长。
解题过程：
过A、M、O作⊙O`，依数学典型模型“两角平分线的平角问题”可得∠PMO=135°，易证△OPM≌△OAM,∴∠PMO=∠AMO=135°，由圆中四边形对角互补性质可得，所对的圆周角为45°，∴则∠AO`O=90°，∵AO=2，∴O`A=,∴的长度=，即点M所经过的路径长为.
4.（1）如图.已知正三角形ABC的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________
（2）如图.已知正四边形ABCD的中心O，边长为2，将其沿直线向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路径长是___________
解析：（1）如图2，O点的运动轨迹是三个半径为，圆心角为120°的扇形，所以路径长=
4×90÷360×2Л×√2=2√2Л
（2）如图2，O点的运动轨迹是四个半径为，圆心角为90°的扇形，所以路径长=
5.
如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别从点A、D以相同的速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从D
向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动，连接BE、AF相交于点G，连接CG，有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为；③线段DG的最小值为；④当线段DG最小时，，其中正确的命题有__________①②③2√5-2
S△BCG=8+(8/5)√5
Л
解析：①先证△ABE≌△DAF（AAS），可得∠ABE=∠DAF,∵∠DAF+∠BAG=90°,∴∠ABE+∠BAG=90°,即AF⊥BE；
②∵∠AGB保持90°不变，∴G点在以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C,∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，∴长度为90Л×2÷180=Л
③∵OG=固定长，∴要求DG最短，即求OG+DG最短，当O、G、D在同一条直线上时，DG取最小值，，∴DG的最小值为OC﹣OG=﹣2，故③正确；
④过G作BC
垂线与AD相交相交于点M，与BC相交于点N，∴GM//OA,∴∴,∴,
∴GM:OA=DG:DO,∴GM=2-0.4√5,∴GN=2+0.4√5,∴S△BCG=4+0.4√5
∴故④错误；题型全解5
五大性质定理之切线定理
【知识梳理】
一.切线定理-----“知二推一”：①垂直于切线；②过切点；③过圆心
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
概括：如果圆的一条直线满足以下三个条件的任意两个，一定能推出另一个结论：①垂直于切线；②过切点；③过圆心。
（2）有切线时，常作辅助线是连接圆心和切点，利用垂直关系解题
二.切线判定
（1）三条判定：①半径+垂直+过切点=切线；②直线与圆只有一个交点；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；
（2）两种添辅助线方法
①若已知直线经过圆上一点：连半径，证垂直；
②若不知直线与圆有无交点：作垂直，算距离；
三.补充
1.切线长定理
（1）切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（2）切线长定理：①PA=PB；②△PAB是等腰三角形；③∠APB+∠AOB=180°；
④OP垂直平分AB；⑤OP是∠APB、∠AOB的角平分线；⑥△APO≌△BPO；
2.弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
如图1，直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中有4个弦切角：APC，APD，BPD，BPC.
（2）弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
如上图2，连接CD，在上任取两点M、N，则有：APC=CDP，APD=PND，BPC=PCD，CPD=CMP，其中APC=CDP，
BPC=PCD运用最常见
证明：如图3，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。
（3）典型用法，如图4，①∠APC=∠PBC,②△APC∽△ABP,③PA?=AC·AB（切割线定理）;
3.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P.
PA·PB＝PC·PD
连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.
PC2＝PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB
连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以
PT2＝PA·PB
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
圆幂定理：以上定理及推论，统称为圆幂定理
托勒密定理
若四边形ABCD是圆内接四边形，则
【典型例题】
1.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两
点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
【分析】
（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
解：（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵
OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD=2.5，设MC=MD=x，在Rt
△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：x=，即MC=．
2.如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--CE--爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC，∵OA=OC，
∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；
（2）解：∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得，∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3，BE=3,
==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π
3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
解析：（1）已知切线与切点，连半径。已知弧相等，利用好圆心（周）角定理。
连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，
∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC，∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形；
（3）求弦长，首选垂径定理，结合（2）中的结论寻找特殊三角形求解。
连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．
4.在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算．
解析：(1)连接OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵
OD=OB，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD=60°=∠ACB，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠AED=90°，∴DE为⊙O的切线
(2)充分利用好题目中的“特殊三角形和特殊角”。连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°，又∵△ABC为等边三角形，∴AD=BD=.在Rt△AED中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，
∴
AE=，∴
5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合
等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；
解析：（1）连接OD，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，
∴OD∥AC，∵DG⊥AC，∴OD⊥FG，∴直线FG与⊙O相切；
（2）连接BE．∵BD=2，∴，∵CF=2，∴DF==4，∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，∴=，∴=，∴AB=10，∴AE==6，∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴=，∴=，∴BG=．
6．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过
点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．
【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由
∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．
解析：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，
∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC?tan∠ABC=8，
则AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴=，∴OE=3，OB==3，
∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴=，即=，∴AD=2．
7.
如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是_______
解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，∴光盘的直径为6，
8．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，
直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．
解析：（1）图中出现“平行线+等腰三角形=角平分线”模型，易证。
（2）题目出现切割线的典型图形，很可能会用上∠PCB=∠CAB.结合第（1）小题角平分线的等角，思路就更清晰了，∵∠D=90°，即∠7+∠6=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠6=90°，∴∠1=∠7，∴∠1=∠5，∵∠2=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠5，即∠PCF=∠4，∴PC=PF，即△PCF是等腰三角形.
（3）出现等圆周角（∠2=∠3），必定要出现等弦，所以连接AE，则AE=BE=，△AEB是等腰直角三角形，∴AB=，
题目出现切割线的典型图形，很可能会用上△PBC∽△PCA.
∵∠1=∠5，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴，（
tan∠ABC=，），设，在直角三角形OCP中，，即，解得，∴PC=24
9.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）已知AC=2,BE=4CE,求⊙O的直径.
解析：（1）证明：出现弦切角定理图形，∴连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：出现线段比，引入字母参数。设CE=x，∵∴EB=4x，BA=BC=5x，“出现4x，5x，那常配在一起的3x在哪“，所以连接AE，∴∠AEB=90°，AE=3x，在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2．∴CE=2．∴BA=10《圆》题型全解读
【学习注意】
1.解决有关圆的题目的两大难点
①视觉上，几何平面直线图形到平面曲线图形的转变，能否适应从弯弯的弧线中找到等角或等边是接受的基础；
②教材简单题型难，分析思路更综合复杂，即融合了之前三角形、特殊四边形的性质定理，又新添加了圆的五大性质定理，且需要添加辅助线的题目更多；
2.圆与三角形、四边形几何证明计算题型的解题思路共性
①图形上，只是把之前三角形、四边形整合在一个圆中，故存在知识点及解题思路的“联系性”；
②三角形、特殊四边形中的证明计算题中的“四大基本数学素养”依然适用于圆的证明与计算；
③分析思路中，能否从弧线中找到等角或等边，能否融合三角形、特殊四边形及圆的性质定理，是解题关键；
题型全解1
五大性质定理之等腰三角形
【知识梳理】
1.圆中两半径会组成等腰三角形（或已知或构造）
2.注意复杂图形中“等腰三角形”的构造及性质运用
【典型例题】
1.
如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= ．
解析：由∠A=65°可得∠ABC+∠ACB=115°,由△OBD、△OBC均为等腰三角形可得∠ABC+∠ACB+∠ODB+∠OEC=230°,则∠BOD+∠EOC=130°,则∠DOE=50°,
2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．
解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°
3.如图，在△ABC中，O是AC上一点，与BC，AB分别切于点C、D，与AC相交于点E，连接BO.
（1）求证：
（2）若BC=CE=6，则AE=______,AD=__________
解析：
（1）连接CD，交OB于点F，∵BC与O相切于点C，∴∠BCO=90°,∵EC为O的直径，∴∠CDE=90°,∴∠BCO=∠CDE，∵BC,BD均相切于圆，∴BC=BD，∵OC=OD，∴BO垂直平分CD，∴在Rt△BCO中，CF⊥BO得∠CBO=∠DCE，∴△BCO∽△CDE，∴CO:DE=OB:CE，即，∵CE=2CO，∴
（2）连接OD，∵BC=CE=6,OD=OE=3,设AE=x，则AO=x+3,AC=x+6，由△ODA∽△BCA可得OA:OD=AB:BC，∴(x+3):3=AB:6,得AB=2(x+3)，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，解得x=2,x=-6(舍去)，则AE=2，则AO=OE+AE=3+2=5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AD=4.
4.
如图，的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交于D，过点D作DE//AB交CA的延长线于点E，连接AD.
（1）求证：DE是的切线；
（2）求线段DE的长
解析：考查圆的综合证明与计算.
（1）（基础简单难度）连接OD，AB是直径，CD平分∠ACB，∴∠ACB=90°,∠ACD=45°,∵,∴∠AOD=2∠ACD=90°,∵DE//AB,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,∴DE是的切线；
（2）解题思路：AB=10,AC=6,BC=8,OA=OD=5,AD=,题目的已知线段全集中在两个直角三角形中，所以推测，要求DE的长，必须将它置身于直角三角形中，联想到第（1）小题切线中的直角，所以作AF⊥DE于点F，易知四边形AFDO是正方形，只需求EF长即可,而EF在直角三角形AEF中，通过与另两个直角三角形ABC、AOD中的一个进行相似证明（很好识别，△OAD是等腰直角，而△AEF一看就不像），便可解决问题。
作AF⊥DE于点F，∵∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°,OA=OD,∴四边形AFDO是正方形，AF=FD=OA=OD=5,∵∠E+∠EAF=90°,
∠EAF+∠CAB=90°,∴∠E=∠CAB,∴△AEF∽△BAC,∴即∴EF=∴DE=EF+DF=.
5.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与的切线AF交于点F.（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）已知求的直径.
解析：
（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB=90°，设CE=x，∵∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2．∴CE=2．∴BA=10
6.如图，⊙O
是△ABC
的外接圆，BC
是直径，AC＝2DH，过点
D
作
DH
垂直BC
于点
H，以下结论中：①BH＝HD；②∠BAO＝∠BOD；③；④连接
AO、BD，若
BC＝8，sin∠HDO＝，则四边形
ABDO
的面积为，其中正确的结论是_____（请填写序号）
解析：答案为②③.注意解多结论题型的四条解题方法和两条解题经验的运用。
（1）作
OE⊥AC
于
E．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AC＝2DH，∴DH＝AE＝CE，∵OD＝OA＝OC，
∴Rt△DOH≌Rt△AOE≌Rt△COE，∴∠ODH＝∠OAC，OH＝OE，∵BC
是直径，∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，∵∠BOD+∠ODH＝90°，∴∠BAO＝∠BOD，故②正确，
（2）假设①成立，则点
H
与
O
重合，显然不符合题意，故①错误；
∵AE＝EC，BO＝OC，∴AB＝2OE＝2OH，∴，故③正确，
（3）∵BC＝8，sin∠ODH＝
，∴OH＝OE＝1，∴AE＝EC＝DH＝
，∴S△AOB＝2S△AOE＝2×××1＝，
（4）∵S△BOD＝
×4×
＝2，∴S
四边形
ABDO＝S△ABO+S△OBD＝
+2
＝3．故④错误．题型全解3
五大性质定理之圆心角定理
【知识梳理】
1.圆心角定理（附：顶点在圆心的角叫圆心角）-----“知一推三”：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（一般指劣弧）、两条弦、对应弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
简记为：等圆心角
等弧
等弦
等弦心距。（知一推三）
例:只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
①；②；③；④
2.
解析注意：
①一个知识点：知一推三；
②一个注意点：在同圆或等圆中；
③一条思路线：从等弧的角度思考等边（弦）、等角（圆心角）之间的关系
3.注意圆心角与圆周角综合运用题型
（1）圆周角与圆心角关系：等弧或同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
即：如图，∠BOC=2∠A
注意：①熟悉三个位置图
②熟悉四个辅助线图（特别注意3、4图，圆周角定理与垂径定理结合图）
【典型例题】
1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO=（ ）
解析：∵弧BC=弧CD=弧DE，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°,∴∠AOE=78°,∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51°
2.如图，B是劣弧AC的中点，已知∠BAO=65°,则∠BCO=_____________
解析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=65°,∴∠AOB=50°,∵弧AB=弧BC，∴∠BOC=∠AOB=50°,∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=65°.
3．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 ．
解析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长
4.如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE，点C为弧AB的中点，点C是弧AB的中点，连接CD、CE，
求证：CD=CE
解析：连接OC，∵C为弧AB的中点，∴弧AC=弧BC，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB,AD=BE,∴OD=OE,∴△ODC≌△OEC(SAS)，∴CE=CD.
5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是_______
解析：∠AOB=2∠ACB=70°
6．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是_________35°
解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°
7．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=
解析：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，
8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是____
解：∵∠A=66°，∴∠COB=132°，∵CO=BO，∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB=58°，则∠BDC= 度．
解析：连接OC．∵=，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°，
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是____
解析：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°
11、如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在弧BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．
(1)求证：CF⊥AB；
(2)若CD=4，CB=4，cos∠ACF=
，求EF的长．
（1）证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠1=90°，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DAB+∠3=90°，∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；
（2）解：连接OE，∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4
，
∴DB=
，∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=DB:AB=4:5
，∴AB=10，
∴OA=OE=5，AD=
，∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，
∵CF=AC?cos∠3=8，∴AF=
，∴OF=AF﹣OA=1，∴EF=
．题型全解9
构造圆模型解题
【知识梳理】
1.圆外一点到圆上一动点的距离中，连接圆外一点及圆心的直线，与圆有两个交点
最小距离：圆外一点、交点、圆心在同一侧时，有最小值,如A、B在圆心同侧时AB最小；
最大距离：圆外一点与交点处于圆心的异侧，有最大值，如A、B在圆心异侧时AB最大；
2.圆上一点到圆的弦的距离中，作弦的中垂线，且经过圆外一点及圆心，
最小距离：该点、弦、圆心在同一侧时，有最小值；
最大距离：该点与弦处于圆心的异侧，有最大值；
如图，C、AB在圆心同侧时C到AB的距离最小；在异侧时，C到AB的距离最大；
3.构造四点同圆解题：
①两个三角形同底，且在底边的同一侧，若底边所对的角相等，则两三角形四个顶点共圆；
②四边形若对角互补，则四边形四个顶点共圆；
③出现直角，作以斜边为直径画圆；
4.利用“定边对定角”构造圆模型解题
【典型例题】
1.如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=30,点E、F分别是AB、BC边上的两动点，且EF=10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值是___________
解析：填空压轴题，几何最值问题
连接BG，由直角三角形斜边中线的性质可得BG=EF=5，即E、F随意移动，点G始终在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，作C关于AD的对称点C`，当B、G、H、C`在同一直线上时，即连接BC`，交AD于点H，与圆交于点G，此时CH+HG有最小值，最小值为GC`的长度，由勾股定理易得BC`=50,则GC`=45，即CH+HG的最小值为45.
2.
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为______
【思路分析】
由题易得∠APB=90°，不管P怎么运动，∠P是直角不固定不变的，即点P在以AB为直径的圆上运动，由于AB的长不变，那么这个圆的半径是固定的，取圆心O（AB的中点），求PC最小，即是求PC+OP最小，当O、P、C在同一直线上时，且C、P在圆心O同侧时，CP最小.
【解题过程】
∵∠PAB=∠PBC，∴∠P=90?，以AB为直径，作△ABP的外接圆⊙O，则OA=OB=OP=3,当点P运动到OC上时，PC最短，∵OB=3,BC=4,由勾股定理可得：OC=5,∴CP的最小值为OC-OP=2.
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为
．
【解析】利用菱形、等腰三角形、等边三角形的性质可解题．
解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=2，∴PD最小值=BD﹣BP=2﹣2．
4.已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠CAD=45°，AC=4，E是线段BD的中点，则CE的最小值是_____
【思路分析】只有动态问题中才有线段的最值问题，此题只告诉AC的长，说明B点是动点，把图形放在圆的背景下，就更清楚这一点了。以AC为直径画⊙O，∵∠CAD=∠CBD=45°，它们所对的都是弧CD，∴D也在⊙O上，∵∠ABD=∠ACD=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，OD⊥AC，B在弧AC上运动，我们可以从B的特殊位置在探索E的运动轨迹。当B与A重合时，BD与AD重合，则E点就是AD的中点；当B运动到BD是直径时，四边形ABCD是正方形，E点与圆心重合；当B运动到C点时，BD与CD重合，则E点就是CD的中点，可见，E点在直角三角形ADC两直角边的中间及圆心O这间的圆弧上运动，即以DO的中点O1为圆心，OO1为半径画图，点E就在⊙O1上运动，当O1、E、C在同一直线上时，CE最短，位置确定了，依题目条件即可解答。
【解题过程】
以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，由∠ADC=90?可知D、C也在⊙O上，连接OD，以OD为直径作,则E点在上运动，当E点运动到上时，CE最短，由于OD=，
，要求CE最短，即CE+最短，当在同一直线时，它们最短，如图2，在直角三角形中，OC=2，，∴，∴
5.如图，矩形OABC的边OC的y轴上，OA在x轴上，C（0，3），点D是线段OA的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使EF过点B，连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12，在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为_____
【思路过程】
由条件“当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12”，及利用矩形面积的“一半模型”即可求出OA的长，由点D不管怎么运动，矩形CDEF都经过B点可知∠CFB=90?，可构造圆模型，以CB为直径作△CFB的外接圆，当点F在该圆CB的上方运动，当点F、圆心、点O在同一直线上时，OF有最大值。
【解题过程】
如图1，当D点与A点重合时，△BAC的面积，即是矩形CDEF面积的一半，也是矩形OABC面积的一半（“一半模型”），∵矩形CDEF的面积为12，∴矩形OABC的面积为12，∴OA=4。由题可知，矩形CDEF经过B点，即∠CFB在运动中保持90?不变，以CB为直径，作△BCF的外接圆⊙M，则点F在BC上方圆部分运动，当点O、M、F在同一直线上时，OF有最大值，∵OC=3，CM=MB=MF=2，∴OF的最大值为：OF=OM+MF=+2.过点F作FN⊥BC于点N，∵FN//OC，∴FM：MO=FN：OC=MN：CM，即2：=FN：3=MN：2，∴FN=，MN=，∴F点的坐标为（，+3），即当线段OF有最大值时，则点F的坐标为（，）.
6．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
解析：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=1/2AB=1，在Rt△AOD中，OD=√5，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=√5﹣1．
7.矩形OABC中B（2，2），点A在轴上，点C在轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交轴于点D，连接CD.①OA=BC=2；②当点D运动到OA的中点处时，；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）.其中正确结论的个数是____个
解析：①正确；②正确；③四点共圆（O、C、D、P共圆），∠CDP=∠BOA；正确；
④“一线三垂直”变化模型，由题可得CD⊥OB，证△OCD∽△OAB可得OD长，正确；
8.如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE?HB=4-2√2,BD、AF交于M，当E在线段CD(不与C、D重合)上运动时，下列四个结论:①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=√2AM；④若BE平分∠DBC,则正方形ABCD的面积为4，其中结论正确的是__________(填序号)
解析：填①②③④；
解析：（1）易证△BCE≌△DCG，可得∠CBE=∠CDG，利用△BCE与△DHE是“8字模型”可得∠BCE=∠DHE=90?，∴BE⊥DG，∴①正确；
（2）∵∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠DHE=90?，∴点A、B、C、H、D五点共圆，且BD是直径，如图1，连接OA，依“圆心角定理”可得∠AOD=2∠AHD=90?，∴∠AHD=45?，②正确；
（3）求线段比的关系，从相似角度考虑，首先找AM、DG所在的三角形相似，∠BAH与∠BDH所对同一段弧BH，∴∠BAH=∠BDH，∵∠ABM=∠DBG=45?，∴△ABM∽△DBG，∴AM：DG=AB：BD=1：，∴，③正确；
（4）由条件“HE?HB=4-2，联想到相似中的线段乘积式，找线段EH、BE所在三角形相似，∵∠CBH=∠HBD，恰好有一个相似典型图形“共角模型”，易证△HDE∽△HBD，∴HD：HB=HE：DH，∴，由①及BE是角平分线可得DH=HG，∴，由①可知，由角平分线性质定理可得：BC：BD=CE：DE=1：；设CE=x，则DE=x，BC=DC=()x，在Rt△BCE中，
由勾股定理可列方程：，解得，
∴,④正确。
9.在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（4，0）、（4，4）、（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为_____
【思路分析】
依解题经验“没图的几何题，首先考虑分类讨论”：D点的坐标（4，1）或（4，-1）；
（1）若D点坐标为（4，1），依“定边对定角”构造圆模型，以CD为直径构造圆，则P点在该圆上，如图1，
出现直角三角形，利用“一线三垂直模型”的△OCP∽△APD,即可求OP长及点P坐标；
（2）若D点坐标为（4，-1），依“定边对定角”构造圆模型，以CD为直径构造圆，则P点在该圆上的两个位置上，如图3，同样，构造“一线三垂直模型”，利用相似来求OP的长及P点的坐标，如图4、5.
【解答】
（1）易证△OCP∽△APD,则OC:OP=AP:AD，即4:OP=(4-OP):1,解得OP=2，∴P（2，0）
（2）
①当P在A点左侧时，如图4构造“一线三垂直模型”，则△CMP∽△PND,则CM:PM=PN:ND，设OP=m，即m:4=1:(4+m),解得m=-2+2，∴P（2-2，0）
②当P在A点右侧时，如图5构造“一线三垂直模型”，则△CFP∽△PED,则CF:PF=PE:ED，设OP=a，即a:4=1:(a-4),解得a=2+2，∴P（2+2，0）
∴符合要求的点P的坐标为（2，0）、（2-2，0）、（2+2，0）题型全解4
五大性质定理之圆周角定理
【知识梳理】
1.三个知识点
（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；
即：①∵，∴∠A=∠D；②∵，∴∠B=∠C；
注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补
即：弦BC所对的圆周角有：∠E、∠A、∠D，其中∠A=∠D，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）
（2）圆周角定理与垂径定理综合运用
（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）
即：BC是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC是直径；
注意：
①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；
②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；
②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：
①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角;
即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE；
拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质:
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;
(2)圆内接四边形的对角互补;
如∠DAB+∠DCB=180°;
(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;
(4)△DEC∽△AEB、△DEA∽△CEB;
(5)
以上性质逆用,即可判定四点共圆;
(6)托勒密定理
若ABCD四点共圆(ABCD按顺序都在同一个圆上)，那么AB×DC+BC×AD=AC×BD
即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.
(7)相交弦定理：
AE×CE=BE×DE;
【典型例题】
1．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为______
解析：∠C=∠B=24°
2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．
解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．
3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于
点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）
A.
∠ACD=∠DAB
B.
AD=DE
C.
AD2=BD?CD
D.
AD?AB=AC?BD
解析：如图，∠ADC=∠ADB，
A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
C、∵AD2=BD?CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；
D、∵AD?AB=AC?BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．
24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是
．
解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，
∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．
5.
已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____
解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=AD/OD=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________
解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°
7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____
解析：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC=弧AB，
∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．
8．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC=____
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，
=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，
=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB?sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，
9．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为___
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，
10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_______
解析：连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°?PB=×5=，∴AP=2PD=5，
11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________
解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°
12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______
解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为
解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．
14．如图，⊙A过点O（0，0），C（√3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是__________
解析：连接DC，∵C（√3，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，
15．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是_______
解析：连接BD，∵∠E=90°，可知BD是直径，作OM⊥BC于点M，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=，BM=，∴BC=，CD=2OM=1，∴
16.如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB=______
解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB，且知AH的长，我们选△ABH跟某个三角形相似，由于△ABH是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC为边的直角三角形与△ABH相似，所以连OA并延长AO交于点M，连MC，由于AM是直径，∴∠ACM=90°，∵∴∠B=∠AMC，∴△ABH∽△AMC，∴，即，∴AB=
17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=?π?42=8π．
18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=72°
19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______
解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，
21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________
解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°
22.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DP//AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC=PA·BC
解析：连接BD，∵DP//AC，∴∠PDA=∠DAC，∵∠DAC=∠DBC，∴∠PDA=∠DBC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB，∴△PAD∽△DCB，∴PA：DC=AD：BC，即AD·DC=PA·BC题型全解12
圆综合题思路细节分析
【思路梳理】
1.圆的综合题，只是众多小知识点的整合，学会从图形或题目条件中寻找解题线索；
2.圆的综合题中(1)、(2)、(3)小题不是随意设置的，它们之间存在必然的逻辑关系，学会利用“解题思路的延续性”分析思考；
3.圆的压轴题型，必定压在“四个典型”上，当思路卡壳时，学会从图形或条件中寻找“典型模型、典型图形、典型题型、典型知识点的典型用法”以得到思路启发。
【范例详解】
例1.已知PA、PB分别是为⊙O相切于点A、B，∠APB=80°,C为⊙O上一点.
（1）求∠ACB的大小；
（2）如图2，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，连接AB，若AB=AD，求∠EAC的大小.
（1）【思路分析】
已知条件∠P在圆外，所求结论∠C在圆内，要想通过∠P求出∠C，中间必须有个“过渡角”，圆中的角无非三种“圆心角、圆周角与弦切角”，依“有切点，连半径”，首先连接OA、OB，这时就形成了一个我们需要的“过渡角---圆心角∠AOB”，它与∠P的关系是均为四边形APBO的内角，它与∠C的关系是圆弧AB所对的圆心角与圆周角，这样我们可以通过先求出∠AOB的角度，再求∠C的角度；
【解题过程】
如图3，连接OA、OB，∵PA、PB分别是为⊙O相切于点A、B，∴∠OAP=∠OBP=90°,在四边形APBO中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=100°,∴∠ACB=1/2∠AOB=100°÷2=50°
2.由题可知，题目已知角是∠ACB=50°、由AB=AD可得的∠ABD=∠ADB，所求角为∠EAC，且∠ADB是∠EAC与∠ACB的外角，这样不难理出此题的解题思路脉络：∠ACB------→∠ABD或∠ADB------→∠EAC，也能找到解题关键：由∠ACB求出∠ABD或∠ADB的度数，这是我们重点思考的地方，很明显，要想解决这个问题，必须利用到题目唯一余下的一个条件：“AE是直径”，即思路过程应该是：通过“AE是直径”这个条件，必须找到∠ACB与∠ABD或∠ADB的“过渡度”。依“遇直径，构造Rt△”，连接CE，这时就形成了一个我们需要的“过渡角”----圆周角∠ECB，它与∠ACB是互余关系，它与∠BAD是同弧AC所对的两个圆周角关系，而∠BAD是等腰△ABD的顶角，这样我们就能把关键的“由∠ACB求出∠ABD或∠ADB的度数”这个问题解决掉，进而求出∠EAC的度数；
【解题过程】
如图4，连接CE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°,∵
∠ACB=50°,∴∠BCE=40°,∴∠BAE=∠BCE=40°,在△ABD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=70°,∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°.
例2.如图1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB，CD交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.
（1）求证：ED=EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G为△ACD的内心，BC?BE=25，求BG的长.
【思路分析】
（1）如图3，由圆周角定理推论2：“等弧所对的圆周角相等”及题目条件∠1=∠2，即可得出∠1=∠D，则ED=EC；
（2）如图4，遇切线连半径，由垂径定理“知二推三”可得OA⊥BC，图中出现一个数学典型模型“角平分线+等腰三角形=平行线”，由BC是角平分线、△ACF是等腰三角形可推出AF//BC,则OA⊥AF，即AF是切线；
（3）①题目条件“BC?BE=25”是思路分析的突破口，要相似题型中，我们称之为线段的“乘积式”，通常转化成“比例式”找三角形相似，即“BC:?=?:BE”,结合图2，不难找到“共角模型”的相似图形：△BAE∽△BCA,（利用同弧BD可得∠BAD=∠BCD=∠ACB，容易证相似），即可得BC:AB=AB:BE,即可得AB=5；
②接下来我们要寻找AB与BG的关系，且需要利用到条件“G是内心”即G是△ACD的三条角平分线的交点，故需连接AG，如图5，由“等角对等边”，只需证∠3+∠4=∠7即可，由AF//BC，只需证∠3+∠4=∠5+∠6，易得∠4=∠5，∠3=∠1=∠2=∠6。
【解题过程】
（1）∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴∠2=∠D,∵∠1=∠2,∴∠1=∠D,∴ED=EC；
（2）连接OA，∵弧AB=弧AC，OA是半径，∴OA⊥BC，∵CF=AC,∴∠3=∠F,∵∠1=∠2,∠1+∠2=∠3+∠F,
∴∠2=∠3,∴AF//BC,∴OA⊥AF，∴AF是⊙O的切线；
（3）连接AG，∵G是内心，∴∠4=∠5，∵弧BD=弧BD，∴∠3=∠1,∵∠1=∠2=∠6,∴∠3=∠6,∴∠3+∠4=∠5+∠6,∵AF//BC,∴∠7=∠5+∠6,
∴∠3+∠4=∠7,∴AB=BG，∵∠ABE=∠ABC,∠3=∠2,∴△BAE∽△BCA,∴BC:AB=AB:BE,∵BC?BE=25，∴AB
2=25,AB=5,∴BG=5.
例3.
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AE，垂足为点E，交AB的延长线于点F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为AB=8，DE=2，求AC的长；
(3)在(2)的条件下，点Q是线段DF上的一动点（不与D,F重合），点M为OQ的中点，过点Q作QG⊥OF，垂足为点G，连接MD、MG。请问当点Q在线段DF上运动时，∠DMG大小是否变化？若不变，则求出∠DMG的度数；请说明理由。
【思路过程】
（1）连OD，出现数学典型数学“角平分线+等腰三角形=平行线”，由AD是角平分线，△OAD是等腰三角形，可得OD//AE，可得OD⊥EF，可论证结论；
（2）解决几何题，看图有一条基本要求：找出已知条件、未知条件的图形位置；审图也有一条基本要求：想办法拉近已知条件与未知条件的图形位置，这其实是几何推理思路在图形上的表现，如此题，已知条件DE、AB与未知条件AC所处位置如图2，其中AC与AB在同一个Rt△ACB内，暂时可不理，而DE的位置却远离这个图形，所以，要想办法把DE的图形位置往下“挪”---通过几何性质或等量代换进行线段转移，这样一个矩形型的图形DECN就呈现在我们的注意中，易证四边形DECN是矩形，即CN=DE=2√3,这样已知条件“DE=2√3”的位置与其余条件的位置更近了，但还不够，CN、AC、AB没组成一个完整的三角形，还需要进一步转化，这时你的注意力就集中在△ACB这块位置，这样一个“圆的垂径定理”就会呈现在你的思路中，OD垂直平分BC，这样由CN的长就可得出BC的长，这时，即可利用勾股定理求出AC的长；一条完整的解题思路线就通过“拉近已知条件与未知条件的图形位置”一步步串联在一起，问题也就解决了。
（3）我们仍按上面的审图思路来展开对第（3）小题的分析推导，如图3，已知条件集中在图形的左侧的△ACB中，而未知条件∠DMG却在这个图形之外，故我们要想办法拉近它们之间的图形位置，将∠DMG的位置往左“挪”，通过外角定理可做到这点，由图易知M分别是Rt△DOQ、Rt△OQG斜边上的中点，故DM=OM=MG，则∠MDO=∠DOM,∠MOG=∠MGO,利用外角定理可得：∠DMG=∠DMQ+∠QMG=2∠DOM+2∠MOG=2∠DOG，这样未知条件“∠DMG”的图形位置就“挪”到了∠DOG的位置，这时我们的思路注意点就集中在△ABC中，不难发现由于AB=2AC，可得出∠CBA=30?、∠CAB=60?,进而得出∠DAB=30?,它与∠DOB是外角与内角的关系，这样一条完整的解题思路线就清晰了。
【解题过程】
（1）连接OD，则OA=OD,∴∠2=∠3,∵AD是∠EAB的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE//OD,∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴DE是⊙O的切线；
（2）由题可知∠ACB=90?,∵OD//AE,∴∠ONC=90?,∵∠ODE=90?,
∠E=90?,∴四边形DECN是矩形，∴CN=DE=2√3,∵OD⊥BC,∴CB=2CN=4,在Rt△ACB中，∵AB=8,由勾股定理可得AC=4；
（3）不变，∠DMG=120?.理由是：
在Rt△ACB中，∵AB=8,
AC=4，∴∠CBA=30?，∴∠CAB=60?,∴∠DAB=30?,∴∠DOG=2∠DAO=60?,∵∠ODQ=∠OGQ=90?,M是OQ的中点，∴DM=OM=MG,∴∠MDO=∠DOM,∠MOG=∠MGO,∴∠DMG=∠DMQ+∠QMG=2∠DOM+2∠MOG=2∠DOG=120?.
例4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90?，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，过点A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点F、E.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=2，试求AB?AE的值；
（3）在（2）的条件下，若∠B=30?，求图中阴影部分的面积.（结果保留л和根号）
解析：考查圆综合知识应用.
（1）连接OD，数学典型模型“角平分线+等腰三角形=平行线”，AD是角平分线，△ODA是等腰三角形，∴∠DAC=∠ODA，∴OD//AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；
（2）求“乘积式”联想到“相似”，把AB?AE转化成AB：（）=（）：AE，找或构造含有AB、AE的两个相似三角形，连接EF、DE，便能找出两组三角形可能会相似：△AEF与△ACB、△AED与△ADB，其中△AED与△ADB既包含有未知的AB与AE，还包含已知条件AD，所以优先考虑，只要证明这两个三角形相似，则AB：AD=AD：AE，即AB?AE=AD?=12，即可求解，所以问题的关键在于能否证明△AED∽△ADB，由题目条件解决这个问题不是难事。
∵AF是直径，∴∠AEF=90?，∴EF//BC，∴∠B=∠AFE，∵弧AE=弧AE，∴∠AFE=∠ADE，∴∠B=∠ADE，∵∠FAD=∠DAE，∴△AED∽△ADB，∴AB：AD=AD：AE，即AB?AE=AD?=12.
(3)要求阴影部分面积，先找扇形OAE和圆心角∠AOE、半径长。则∠AFE=∠B=30°,则圆心角∠AOE=60°,可知△OAE是等边，这样题目的焦点集中在如何利用AD长求直径或半径的长，即求AF或OA的长，由于∠FAD=∠CAD=30°,则连DF即可利用Rt△AFD中的边角关系求出AF=4,OA=2,则扇形OAE的面积=л×2?=л,等边三角形OAE的面积=×2×=,∴阴影面积为2/3л-
例5.如图①，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，点A在x轴的负半轴，以A为圆心，AO为半径的圆与直线CE相切于点F，与x轴负半轴交于另一点B.
（1）求⊙A的半径；
（2）连接BF、AE，则BF与AE间有什么位置关系？写出结论并证明；
（3）如图②，以AC为直径作⊙交y轴于M、N两点，点P是弧MC上任意一点，点Q是弧PM的中点，连接CP、NQ，并延长CP、NQ交于点D，求CD的长.
解析：考查圆与函数知识综合
（1）连接AF，易得AF⊥CF，由题可得C(2,0),E(0,√2/2),CE=3√2/2,设半径为r，∴sin∠OCE=OE:EC=AF:AC=1:3=r:(r+2),∴r=1；
（2）数学典型模型“角平分线+等腰=平行线”，∵OE、EF分别是圆的切线，∴△AEF≌△AEO，∴∠EAF=∠EAO,∵△ABF是等腰三角形，利用外角定理，易得∠FAE=∠AFB，∴FB//AE；
（3）圆的知识只能解决圆内弦的长度问题，此小题求CD长，所以存在一个转化问题，必须把CD转化到圆内来，即CD会等于圆内的某条弦，连接MC、NC、CQ、MQ，由图大胆猜测，不难发现DC可能会等于MC或NC，要么想办法证△DCN为等腰三角形，要么证△DCQ≌△MCQ，由题目提供的条件，首先考虑后者。∵Q是弧MP的中点，∴∠DCQ=∠MCQ，∵Q、M、N、C四点共圆，∴∠MQC+∠MNC=180°,∵弧MC=弧NC,∴∠NQC=∠MNC，∵∠DQC+∠NQC=180°,∴∠DQC=∠MQC,∴△DCQ≌△MCQ，∴DC=MC,连接MO1，∵OA=1,OC=2,∴OM=1.5,OO1=0.5,由勾股定理可得OM=,∴MC=,∴DC=.
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F.
（1）求证：AE是的切线；
（2）当BC=8，AC=12时，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长.
解析：
（1）连接OM，运用“角平分线+等腰=平行线”证明
∵OB=OM，∴∠1=∠3，∵BM是角平分线，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD//OM，∵BD⊥AD，∴OM⊥AD，
即∠OMA=90°，∴AE是的切线
（2）沿着第（1）小题的思路继续思考，∵OM//BD，∴∵AC=AB=12，BC=8，设OM=r，∴BD=4，OA=12-r,∴解得r=3,即的半径是3.
（3）连接OG，作ON⊥BG于点N，∵OG=OB，∴NG=BN，∵ON//AE，∴即，∴BN=1，∴
