整式的乘除复习讲义
板块一：幂的运算
知识点梳理：
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0,
为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
例题讲解
例1、下列各个选项中的两个幂是同底数幂的是（
C
）
A．和
B．和
C．和
D．和
例2、计算：
（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4
（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．
（3）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（4）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2
（5）
（6）（﹣x）3?x2n﹣1+x2n?（﹣x）2
解：（1）原式＝m8+m8+m8＝3m8；
（2）原式＝x6﹣3+2+x3?x2＝x5+x5＝2x5．
（3）原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3；
（4）原式＝﹣8x6y3﹣4x6y2+6x6y3+2x6y2＝﹣2x6y3﹣2x6y2．
（5）
（6）（﹣x）3?x2n﹣1+x2n?（﹣x）2=﹣x2n+2+x2n+2=0．
例3、已知ax=3，ay=2，求ax+2y的值
解：∵ax=3，ay=2，
∴ax+2y=ax×a2y=3×22=12．
例4、已知，，求的值
解：因为,
.
所以.
例5、已知2x=8y+2，9y=3x-9，求x+2y的值
解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
例6、已知，则＝
原式
∵∴
原式＝＝－5.
例7、已知，，，比较a、b、c的大小
解：∵a=355=(35)11=24311，b=444=(44)11=25611，c=555=(55)11=12511
12511<24311<25611
∴c
例8、计算：
解：原式=
例9、已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
解：（1）50x＝10x×5x＝ab；
（2）2x＝＝＝；
（3）20x＝（＝＝．
巩固练习：
1、下列运算正确的是（ B ）
A．x2+x3＝x5
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．x2?x3＝x6
D．x6÷x2＝x3
2、下列运算正确的是（D ）
A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4
B．5x2?（3x3）2＝15x12
C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7
D．（2×10n）（×10n）＝102n
3、若成立，则(
C
)．
A.
＝6，＝12
B.
＝3，＝12
C.
＝3，＝5
D.
＝6，＝5
4、若，则＝__6_____
5、若，则＝____5__；若，则＝___1___．
6、
____64__；
______；
＝______．
7、若n
是正整数，且，则＝______200____.
8、计算：
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
解：（1）．
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
9、已知：xm＝4，xn＝8．
（1）求x2m的值；
（2）求xm+n的值；
（3）求x3m﹣2n的值．
解：（1）∵xm＝4，xn＝8，
∴x2m＝（xm）2＝16；
（2）∵xm＝4，xn＝8，
∴xm+n＝xm?xn＝4×8＝32；
（3）∵xm＝4，xn＝8，
∴x3m﹣2n＝（xm）3÷（xn）2
＝43÷82
＝1．
10、已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值
原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
板块二、整式的化简
和
活用乘法公式
一、知识点梳理：
平方差公式：
完全平方公式：
二、例题讲解：
例1、化简求值：
（1）．
（2）已知，求的值．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
由已知，得，即．
例2、已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
解：（1）原式＝x4﹣2x3﹣mx2+nx3﹣2nx2﹣mnx+3x2﹣6x﹣3m＝x4+（n﹣2）x3+（3﹣m﹣2n）x2+（mn+6）x﹣3m，
由乘开的结果不含x3和x2项，得到n﹣2＝0，3﹣m﹣2n＝0，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）当m＝﹣1，n＝2时，原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3＝﹣1﹣8＝﹣9．
例3、已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，求这个多项式．
解：
所求的多项式为
．
例4、若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．
解：＝
因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．
例5、图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为
．
（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；
（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；
方法②：（m+n）2﹣4mn；
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
∵a+b=7，ab=5，
∴（a﹣b）2=72﹣4×5
=49﹣20
=29．
例6、已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a﹣b）2＝49，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2＝25；
（3）∵a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1．
例7、（a﹣b）（a+b）=
；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=
；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=
．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=
（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式=an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
例8、已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．
解：∵
，
∴
，
即．
即．
∴
，，，
即，∴
△ABC为等边三角形．
巩固练习：
1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有(
)．
①
②
③
④
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2.
如图，用代数式表示阴影部分面积为(
C
)．
A.
B.
C.
D.
3．已知(a＋b)2＝11，(a－b)2＝7，则2ab的值是( A )
A．2
B．－2
C．1
D．0
4.
之积中含项的系数为
12
.
5.
已知，则的结果是__23_____.
6．多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是
2x
（任写一个符合条件的即可）．
7.多项式的最小值是_______4_____.
8.计算：（1）[5xy2(x2－3xy)＋(3x2y2)3]÷(5xy)2.
解：原式＝(5x3y2－15x2y3＋27x6y6)÷
25x2y2
＝x－y＋x4y4
9.已知m﹣n＝3，mn＝2，求：
（1）（m+n）2的值；
（2）m2﹣5mn+n2的值．
解：∵m﹣n＝3，mn＝2，
∴（1）（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（m﹣n）2+4mn＝9+8＝17；
（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．
10.计算：(2＋1)()(
)()()()＋1．
解：原式＝(2－1)(2＋1)(
)()()()()
＋1
＝()(
)(
)()()()＋1
＝－1＋1＝．
板块三、因式分解
一、知识点梳理：
因式分解的一般步骤如下：
一提：如果多项式即各项有公因式，即分解因式要先
。
二套：如果多项式没有公因式，即可以尝试套用
来分解。
三十字：如果不能用公式进行分解，就考虑用
进行分解。
四分组：如果发现多项式有四、五、六项，就要采用
来分解。
特别提醒：
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般都是一提二套，做题时要特别注意。
一、例题讲解：
例1、
下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ B ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay
B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
例2、因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
（3）1﹣a2﹣b2﹣2ab；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；
（2）原式＝x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）＝x（x﹣y）（x﹣4）．
（3）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；
（4）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）?（3a﹣2b）．
例3、求相关代数式的值：设，，求的值。
解：原式=
∵，
∴原式=
例4、阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3+3x2﹣4．
解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．
解：（1）把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，多项式的值为0，
∴多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），
于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝3，n﹣m＝0，∴m＝4，n＝4，
（2）把x＝﹣1代入x3+x2﹣16x﹣16，多项式的值为0，
∴多项式x3+x2﹣16x﹣16中有因式（x+1），
于是可设x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2+mx+n）＝x3+（m+1）x2+（n+m）x﹣n，
∴m+1＝1，n+m＝﹣16，∴m＝0，n＝﹣16，
∴x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2﹣16）＝（x+1）（x+4）（x﹣4）巩固练习
1.下面的多项式中，能因式分解的是（ D ）
A．m2
+n
B．m2
-m
+1
C．m2-n
D．m2
-2m+1
2.
a4b
-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（D）
A．a2b(a2
-6a+9)
B．a2b(a
-3)(a+3)
C．b(a2
-3)2
D．a2b(a
-3)2
3.分解因式：
（1）=
（2）=
（3）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2=
5（x+1）（x-9）
（4）8ab﹣8b2﹣2a2
=
-2(a-2b)
2
=
（x-2）2
＝；
＝
=
若a=2，a
+b=3，则a2
+ab
=
6
．
5.计算
解：原式＝
.
6.已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值.
解：∵4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，
∴x＝，y＝﹣5，
则原式＝3+1＝4．
7.已知m2＝n+2
①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．
解：①﹣②得：m2﹣n2＝n﹣m
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1
∴原式＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2m+2n
＝﹣2
8.教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝
．
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．
（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+5＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+5，
当a＝1，b＝﹣2时，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值为5；
（3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27
＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19
＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，
∴当a＝6，b＝2时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．
9.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝
（第一步）
＝
（第二步）
＝
（第三步）
＝
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（
）
A．提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式
进行因式分解.
解：（1）C；
（2）不彻底；；
（3）设，原式＝
.