等腰三角形
【知识梳理】
一、等腰三角形
1．等腰三角形的有关概念及分类
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底
的等腰三角形和______三角形．
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；
(3)等腰三角形是轴对称图形．
3．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．
二、等边三角形的性质与判定
1．等边三角形的性质
(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．
2．等边三角形的判定
(1)________相等的三角形是等边三角形；
(2)________相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．
三、线段的垂直平分线
1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．
2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．
四、角的平分线
1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．
2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
五、含30°的直角三角形
直角三角形中30°所对的边是斜边的一半
板块一、等腰三角形的性质与判定
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(
D
)．
A．60°
B．120°
C．60°或150°
D．60°或120°
例2、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
解：AB=AC=BD，
∴∠B=∠C，∠2=∠3．
设∠2=x°=∠BAD，
∠B=∠C=180°-2x，
由三角形外角的性质得∠2=∠1+∠C，
即x=30°+（180°-2x）
解得x=70°，
则∠2=70°．
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
证明：(1)
∵
AD⊥BC，∴
∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵
，
∴
∴
AD＝CD
∵
，
∴
△ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴
BD＝FD.
∵
∠FDB＝90°，
∴
.
∵
，
∴
.
∴
BE⊥AC．
例4、如右图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
证明：（1）∵AC
⊥BC
，BD
⊥AD??????
∴?∠D=
∠C=90°???
在Rt△ACB和Rt
△BDA中，AB=
BA，AC=BD
，??
∴△ACB≌△BDA（HL）????
∴BC=AD；
（2）由△ACB≌?△BDA
得∠C
AB=∠D
BA?????????????
?∴△OAB是等腰三角形
板块二、等边三角形的性质与判定
如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，
AD交CE于H.
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD.
（1）证明：和都是等边三角形
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD（SAS）
（2）由（1）知△BCE≌△ACD
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中
∴△BCF≌△ACH（ASA）
∴CF=CH，
又∵∠FCH＝60°
∴△CHF是等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD=60°，
∴FH∥BD
例2、已知：如右图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边
三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；
(2)△ABC为等边三角形．
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE，
∴FA=EC，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE，
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）；
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC，
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，
△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°，
∴△ABC中，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形。
板块三、线段的垂直平分线和角平分线
如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为
30°
．
例2、如右图，△ABC的周长为30
cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4
cm，则△ABD的周长是( A )
A．22
cm
B．20
cm
C．18
cm
D．15
cm
例3、如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE=?∠CAB=（90°-∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAE=?∠CAB=?（90°-∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
例4．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD的中垂线交AB于点E、BC的延长线于点F，
∴AF=DF，
∴∠4=∠DAF=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠B，
∴∠3=∠B；
（2）∵EF是AD的中垂线，
∴OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∵∠4=∠DAF，
∴∠3=∠ODF，
∵∠3=∠B，
∴∠ODF=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠B+∠ODB=180°．
例5、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，
，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
板块四、含30°的直角三角形
例1、如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF=5，求线段OE的长.
解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，
∴DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（LH）
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）∵△OCD是等边三角形，OF是角平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=10，
∴OE=2DE=20.
例2、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．
解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，
∴∠ABD＝90°－60°＝30°，
在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．
∴BH＝2EH＝4．
同理可得，CH＝2HD＝2，
∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．
CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．等腰三角形
达标训练
1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为：4或6．
2．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为：8或10或．
3．等腰三角形的底和腰是方程x2
-6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为( B )
A．8
B．10
C．8或10
D．不能确定
4.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角为：70°，70°或40°，100°
5．若等腰三角形的一个内角为80°，则它的底角是( B )
A．20°
B．50°
或80°
C．60°
或80°
D．80°
6.
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于E，过E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，
则线段MN的长为(
D )
A．6
B．7
C．8
D．9
7．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(
C
)
A．在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
8．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ D ）处.
A、1
B、2
C、3 D、4
第8题
第9题
第10题
9.如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝( D )
A．125°
B．130°
C．90°
D．120°
10．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于____8____．
11.已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝
15
度．
12.已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是
2.513．如右图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC。求证：AB＝AC.
证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
14．如右图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：(1)△ABD≌△ACD；
(2)BE＝CE.
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；????
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE
（SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）
15.如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
证明：（1）∵O是AD的中点，
∴AO＝DO
又∵等边△AOB和等边△COD
∴AO＝DO＝CO＝BO，∠DOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠CAO＝∠ACO＝∠BDO＝∠DBO＝30°
∴∠AEB＝∠BDO
＋∠CAO
＝60°
（2）∵∠BOD＝∠DOC＋∠BOC，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
∴∠BOD＝∠AOC
在△BOD与△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠ACO＝∠BDO
∵∠AED＝∠ACO＋∠DCO＋∠CDB
＝∠BDO＋60°＋∠CDB＝60°＋∠CDO＝60°＋60°＝120°
∴∠AEB＝180°－∠AED＝60°.
16.如图,在△ABC中，∠ACB
=90°，∠BAC
=40°,在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形,求∠APB的度数.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，
当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=1212∠BAC=1212×40°=20°，
当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=1212×（180°-40°）=70°，
当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，
∴∠AP2B=180°-40°×2=100°，
∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．
故答案为：20°或40°或70°或100°．
17.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°
求证：2AE=AB+AD．
证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC，
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE
∴2AE=AB+AD全等三角形的性质和判定的综合运用
1、全等三角形的概念及其性质
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形性质：
（1）对应边相等
（2）对应角相等
（3）周长相等
（4）面积相等
特别提醒：找准两个全等三角形的对应边和对应角是证明三角形全等的关键，要学会找对应角、对应边。
例1.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
例2.
如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
解∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
全等三角形的五种判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）
例1、如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE
B．∠B＝∠C
C．CD＝BE
D．∠ADC＝∠AEB
解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；
当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．
故选：C．
例2、（SSS）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
例3、（AAS）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BF⊥CE于F．
（1）△AEC与△CFB全等吗？请说明理由；
（2）请说明BF，AE，EF之间的数量关系．
解：（1）全等，理由如下：
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
又∵BF⊥CE于F，
∴∠CBF+∠BCF＝90°．
∴∠ACE＝∠CBF．
在△ACE与△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF
（AAS）；
（2）BF＝EF+AE，理由如下：
由（1）知：△AEC≌△CFB，
∴AE＝CF，EC＝BF，
又∵EC＝EF+CF，
∴EC＝EF+AE．
∴EC＝BF＝EF+AE，
∴BF＝EF+AE．
例4、（SAS）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC∥DF,求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC
∴BC=FE
∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
例5、（ASA）.已知：如图,
ACBC于C
,
DEAC于E
,
ADAB于A
,
BC
=AE．若AB
=
5
,求AD
的长？
解：∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
例6、（HL）已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴在Rt△ADE与Rt△CBF中
∴Rt△ADE≌Rt△CBF
（HL）
∴AE＝CF，DE＝BF
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE
在Rt△CDE与Rt△ABF中，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）
∴∠DCE＝∠BAF
∴AB∥DC.
3、综合练习：
1、如图，已知点C是线段BD上一点，以BC、DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD，连接AD，BE相交于点F，AC和BE交于点M，AD，CE交于点N，（注：等边三角形的每一个内角都等于60°）
（1）求证：AD＝BE
（2）线段CM与CN相等吗？请证明你的结论．
（3）求∠BFD的度数．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
同理：CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解；CM＝CN，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝60°
∴∠ACB＝∠ACE，
在△BCM和△ACN中，，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠BFD＝∠BAF+∠ABE＝∠BAC+∠CAD+∠ABE＝∠BAC+∠CBE+∠ABE＝∠BAC+∠ABC＝60°+60°＝120°．
2、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形.
理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DCB，
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形.
3、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
4、如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．
证明：（1）∵∠1＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，
∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠E，
在△ABC与△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴∠B＝∠D．
（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．
5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
6、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
7、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）证明：连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）解：连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．全等三角形性质和判定的的综合运用的达标训练
1、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状和大小的玻璃．那么最省事的办法是带( C )
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①②去
2、如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：
（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．
以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ C ）
A．（1）（5）（2）
B．（1）（2）（3）
C．
（2）（3）（4）
D．
（4）（6）（1）
3、
如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（
B
）
A.20°
B.30°
C.40°
D.150°
4、如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（B ）
A．13
B．8
C．6
D．5
5、工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（B ）
A．HL
B．SSS
C．SAS
D．ASA
6、在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是
AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E
．(只需写一个，不添加辅助线)
7、如图：已知点A，E，F，B在一条直线上，AE＝BF，CF＝DE，AC＝BD，求证：GE＝GF.
证明：∵AE＝BF，∴AF＋EF＝BE＋EF，即AF＝BE.
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE(S.S.S.)，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF.
8、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
9、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图20②是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：．
解：（1）图2中．
理由如下：与均为等腰直角三角形
，，，
，
即
，
．
（2）说明：由（1）知，
又
，
如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?
证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，即∠BCE＝∠ACD
在△ADC与△BEC中
∴△ADC≌△BEC(SAS)
∴BE＝AD．
若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，因为还是可以通过SAS证明△ADC≌△BEC.
