第2章 一元二次方程 教案（54页）

教
案
NO
课
题
2.1
一元二次方程
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1.使学生了解什么是一元二次方程；
2.了解一元二次方程的一般形式，会把一元
二次方程化成它的一般形式，能写出一般形式的二次项系数，一次项系数和常数项.
过
程
与方法
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
情
感
态
度
价值观
在把实际问题转化为一元二次方程的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
教
学
重
点
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.
教
学
难
点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
分析:雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:
A
即
2-x
设雕像下部高x
m,于是得到方程
B
整理得
x
C
问题（2）如图所示，已知一矩形的长为200cm，宽为
150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
整理得：
x2-2500=0．
问题（3）
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共=28场
整理，得：x2-x=56．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）并且是关于x的整式方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）
将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
三、巩固练习
教材P28
练习1、2
桃
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县
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中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
四、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
课堂小结
（学生总结，老师点评）本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
布置作业
教材P28
习题A组
6、7．
板
书
设
计
2.1
一元二次方程
x2-2500=0．
x2-x=56．
（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）并且是关于x的整式方程．
像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1
例2
例3
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.1配方法（1）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的
方程，并会用直接开平方法解．
过
程
与方法
培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
情
感
态
度
价值观
通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学
习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
教
学
重
点
用直接开平方法解一元二次方程.
教
学
难
点
（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、创设情境、导入新课
在初二代数“数的开方”这一章中，学方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
二、合作交流、解读探究
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？
桃
源
县
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镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（2）平方根的概念及开平方运算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移项，得x2＝4．
两边开平方，得x＝±2．
∴?
x1＝2，x2＝-2．
例1
解方程：4x2-25=0
解：原方程可化为
根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为
例2
解方程
解：根据平方根的意义，得
因此，原方程的解为
三、应用迁移，巩固提高
练习1：教材
P31
1、2题
练习2：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
四、总结反思、拓展升华
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
桃
源
县
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镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．
3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
五、作业：
教材P41
A组
1题
课堂小结
见四、总结反思
布置作业
教材P41
A组
1题
板
书
设
计
2.2.1配方法（1）
引例：解方程x2-4=0．
例1
解方程：4x2-25=0
例2
解方程
如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.1
配方法(二)
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）
类型．2．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
过
程
与方法
培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问
题的能力．
情
感
态
度
价值观
通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代
数问题的一个很重要的方法.
教
学
重
点
用配方法解一元二次方程.
教
学
难
点
正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
创设情境、导入新课
学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
合作交流、解读探究
1．复习投影：（1）完全平方公式__________________
（2）填空：
1）x2-2x+（???
）＝[x＋（???
）]2
2）x2＋6x＋（???
）＝[x-（???
）]2
引例：将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-8x+7=0
（2）x2+4x+1=0
桃
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中
学
教
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电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0
（x-4）2=9
x-4=±3即x1=7，x2=1
（2）
x2+4x=-1
x2+4x+22=-1+22
（x+2）2=3
即x+2=±
x1=-2，x2=--2
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．解下列方程
（1）x2+6x+5=0
（2）2x2+6x-2=0
（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
（2）移项，得：2x2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2=
由此可得x+=±，即x1=-，x2=--
（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=±，即x1=-2，x2=--2
三、应用迁移、巩固提高
1、
P33练习
1、2
题
2、用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2（y+）（y-）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72，
y4-y2=72
（y2-）2=
y2-=±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3
6x=-4
x=-
当y=-3时，6x+7=-3
6x=-10
x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
课堂小结
1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：
（1）化二次项系数为1．（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法求解．
配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法．
2．配方法的理论依据是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接开平方法为基础．
3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．
布置作业
教材
P41
A组
2题
板
书
设
计
2.2.1
配方法(二)
例1．解下列方程
（1）x2+6x+5=0
（2）2x2+6x-2=0
（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.1配方法（三）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n
≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
过
程
与方法
培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问
题的能力．
情
感
态
度
价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，
并增强他们的数学应用意识和能力.
教
学
重
点
用配方法解一元二次方程.
教
学
难
点
正确理解把ax2＋bx+c型的代数式配成完全平方式.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、回顾与复习1：
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。用配方法解一元二次方程的方法的助手：平方根的意义：如果x2=a，那么x=±.
完全平方式：式子
a2±2ab＋b2叫完全平方式且a2±2ab＋b2=（a±b）2
回顾与复习2：
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；
变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解.
随堂练习：
用配方法解下列方程：
1.
x2－2=0
2.x2＋4x=2
3.
3
x2＋8
x－3=0
桃
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县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
这个方程与前2个方程不一样的是二次项系数不是1，而是3。
基本思想是：
如果能转化成前2个方程的形式，则方程即可解决。
你想到了什么办法？
例2
解方程：3
x2＋8
x－3=0
解：3
x2＋8
x－3=0
x2＋x－1=0
1、化1：把二次项系数化为1；
x2＋x=1
2.移项：把常数项移到方程的右边；
x2＋x＋（）2=1＋（）2
3
.
配方：方程两边都加上一
次项系数绝对值一半的平方；
（x＋）2=（）2
4.
变形：方程左边分解因式，
右边合并同类项；
x＋=±
5.
开方：根据平方根的意义，方程两
边开平方；
x＋=
或
x＋=－
6.
求解：解一元一次方程；
所以x1==，
x2=－3
7.
定解：写出原方程的解。
心动不如行动：
用配方法解下列方程
1．3x2
－9x＋2=0
2．2x2＋6=7x
做一做：
一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：
h=15t－5t2,小球何时能达到10m高？
解：根据题意，得：
15t－5t2=10
即t2－3t=－2
t2－3t＋（）2=－2＋（）2
（t－）2=
即t－=
或t－=－
桃
源
县
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河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
所以t1=2，
t2=1
答：在1s时，小球达到10m；至最高点后下落，在2s时其高度又为10m.
课堂小结
本节课又学会了哪些新知识呢？
布置作业
教材
P35
练习
（1）（2）（3）（4）题P41
A组
3题
板
书
设
计
2.2.1配方法（三）
1．回顾与复方根的意义：如果x2=a，那么x=±。
完全平方式：式子
a2±2ab＋b2叫完全平方式，且a2±2ab＋b2=（a±b）2
2．随堂练习
用配方法解下列方程：
1.
x2－2=0
2.x2＋4x=2
3.
3
x2＋8
x－3=0
3．例2
解方程：3
x2＋8
x－3=0
4．用配方法解下列方程
1．3x2
－9x＋2=0
2．2x2＋6=7x
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.2公式法
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
让学生掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程.
过
程
与方法
1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生
快速而准确的计算能力．
情
感
态
度
价值观
1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通
过求根公式的推导，渗透分类的思想
.
教
学
重
点
求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
教
学
难
点
对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、创设情境、导入新课
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题.
二、合作交流、解读探究
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根
x1=，x2=
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1=，x2=
三、巩固练习
教材P37
练习（1）、（2）（3）、（4）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1
m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去)
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
课堂小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．
布置作业
教材P42
4题．
板
书
设
计
2.2.2公式法
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定:
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.3因式分解法（一）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
过
程
与方法
通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．
情
感
态
度
价值观
通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.
教
学
重
点
用因式分解法解一元二次方程.
教
学
难
点
正确理解.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
创设情境、导入新课
1、如果，那么、应在什么范围内取值？
2、分解因式：
（学生活动）
解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．
（2）直接用公式求解．
二、合作交流、解读探究
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
三、巩固练习
教材P39
练习1、2．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
桃
源
县
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中
学
教
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子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
课堂小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）可以用分解因式法解一元二次方程的特点：等号一边为
，另一边可以
.
（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤
1）方程右边化为
.
2)
将方程左边分解成两个
的乘积.
3)
至少
因式为零，得到两个一元一次方程.
4)
两个
就是原方程的解.
布置作业
教材
P42
5题
板
书
设
计
2.2.3因式分解法（一）
一、创设情境、导入新课
二、合作交流、解读探究
巩固练习
四、应用拓展
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.2.3因式分解法（二）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够
根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法.
过
程
与方法
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.
情
感
态
度
价值观
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，
树立转化的思想方法.
教
学
重
点
熟练掌握用公式法解一元二次方程.
教
学
难
点
用配方法解一元二次方程.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、创设情境、导入新课
回顾：
（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）3x2＝x＋4；
（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；
（3）（x＋3）（x-4）＝-6；
（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．
（2）解一元二次方程都学过哪些方法？说明这几种方法的联系及其特点．
二、合作交流、解读探究
练习1．用直接开平方法解方程．
（1）（x-5）2＝36；
（2）（x-a）2＝（a＋b）2；
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
练习2．用配方法解方程．
（1）x2-10x-11=0；
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
练习3．用公式法解一元二次方程
（1）
（2）
练习4．用因式分解法解一元二次方程
(1)
x2-3x＋2＝0；
（2）3x（x-1）＋2x＝2；
三、应用迁移、巩固提高
练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．
练习6．选择恰当的方法解下列方程
(2)
四、随堂练习
方程X(X-1)=0的解是（）
A.
X=0
B.X=1
C.X=0或X=-1
D.X=0或X=1
2.方程X(X+1)=3(X+1)的解是（）
A.X=-1
B.X=3
C.X1=-1,X2=3
D.以上答案都不对
3.(X+2)(X+3)=0,
X=______
4.方程(3X+1)(2X-3)=0的根是__________.
5.解方程：
①
4X2-4X+1=0
②(Y+2)(2Y+3)+)
③(Y-1)2+2(Y-1)+1=0
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
6、解下列方程：
①（x+3）(x+2)=0
②4x2-4x+1=0
③x(x-1)=0
④3x(x+1)+4(x+1)=0
⑤x2-2x-3=0
⑥3x2=6x
7、三角形的一边长为10，另两边长为方程x2-14x+48=0的两个根，求三角形的周长？
课堂小结
（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．
（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．
布置作业
教材
P42
7、8、9、10
板
书
设
计
2.2.3因式分解法（二）
创设情境、导入新课
二、合作交流、解读探究
三、应用拓展
随堂练习
教
学
后
记
桃
源
县
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河
镇
中
学
教
师
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子
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案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.3一元二次方程的根的判别式（一）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
使学生掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用，通过复习用配
方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目.
过
程
与方法
1.经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观
点．2．体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识.
情
感
态
度
价值观
1．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．2．形成合作交流、独立思考
的学习习惯．
教
学
重
点
b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．.
教
学
难
点
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
创设情境、导入新课
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0
（2）3x2-2x+1=0
（3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根。
二、合作交流、解读探究
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
x求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
三、应用迁移、巩固提高
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
练习1：
教材
P45
练习
1、2
练习2：不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0
（2）x2-x-=0
（3）3x2+6x-5=0
（4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0
（6）4x2-6x=0
x（2x-4）=5-8x
课堂小结
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示。
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
布置作业
教材
P45
1、2、3题
板
书
设
计
2.3一元二次方程的根的判别式（一）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反之亦然．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3
（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0
（4）x2-7x-18=0
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.3一元二次方程的根的判别式（二）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意
的字母的取值范围和进行有关的证明．
过
程
与方法
1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．
情
感
态
度
价值观
通过例题教学，渗透分类的思想．
教
学
重
点
运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.
教
学
难
点
对一元二次方程根的判别式的正确理解.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、复习引入
上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出了什么结论
（教师板书）在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．
合作交流、解读探究
例1?
已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程无实数根
解：∵?
a＝2，
b＝-4k-1，c＝2k2-1，
∴?
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
练习2．已知：关于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．
和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．
三、应用迁移、巩固提高
例?
求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．
分析：将△算出，论证△＜0即可得证．
证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
∵?
不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．
∴?
-4（m2＋2）2＜0，即△＜0．
∴?
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．
本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
四、总结反思、拓展升华
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的
桃
源
县
漆
河
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中
学
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师
电
子
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案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．
（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．
课堂小结
本节课你有什么收获？
布置作业
1、教材
P45
4题
（补充）
2、当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
板
书
设
计
2.3一元二次方程的根的判别式（二）
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．
（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
例1
补例
教
学
后
记
桃
源
县
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河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
一元二次方程的解法练习
课
型
练
习
教
学
目
标
知
识
与技能
使学生进一步熟练掌握一元二次方程的解法,能根据一元二次方程的特点灵
活选择各种解法求解，并能熟练地运用根的判别式解决有关问题．
过
程
与方法
经历一元二次方程的解法的归纳小结过程,体会各种解法的内在联系及转化
的数学思想方法.
情
感
态
度
价值观
积极参与归纳、练习活动,多与同伴交流,体会成功的乐趣.
教
学
重
点
根据一元二次方程的特点灵活选择各种解法求解.
教
学
难
点
一元二次方程各种解法的灵活运用.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、一元二次方程的解法小结
一元二次方程
是
是否可以直接用因式分
否
解法或直接开平方法
解两个一元一次方程
写成一般形式
计算
否
是
≥0
用求根公式
无实数根
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
1.形如的一元二次方程既可用因式分解法也可用直接开平方法;
2.方程右边为0,左边可因式分解的一元二次方程,用因式分解法;
3.不满足上面两种形式的一元二次方程,化为一般形式后用配方法或公式法.
解一元二次方程的基本思想方法是＂将次＂，化一元二次方程为一元一次方程．要根据方程的特点，灵活选择解法．
二、一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程
当﹥０时，方程有两个不相等的实数根；
当＝０时，方程有两个相等的实数根；
当﹤０时，方程没有实数根．
根的判别式的应用：
１.不解方程，判别一元二次方程根的情况
２.根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围
３.
应用判别式证明方程根的情况
方法：
在教师的引导下让学生充分发表自己的见解，然后共同归纳整理．
三、练习［投影］
１.用因式分解法解下列方程：
(１)；　　(２)；
(３)
(4)
2.用直接开平方法解下列方程:
(1)
(2)
3.用配方法解下列方程:
(1)
(2)
4.用公式法解下列方程:
(1)
(2)
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
(3)
(4).
5.用适当的方法解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
6.当取什么值时,关于的一元二次方程有两个实数根?
7.当为何值时,关于的二次三项式是完全平方式?
8.已知关于的方程有两个不相等的实数根,那么的最大整数是多少?
课堂小结
根据一元二次方程的特点，灵活选择求解方法;
熟练地运用根的判别式解决有关问题．
布置作业
见课件.
板
书
设
计
一元二次方程的解法练习
一、一元二次方程的解法小结
二、一元二次方程根的判别式
三、练习
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.4一元二次方程的根与系数的关系
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.
过
程
与方法
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.
情
感
态
度
价值观
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现
规律的积极性及勇于探索的精神．
教
学
重
点
根与系数的关系及其推导.
教
学
难
点
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、问题情境，导入新课：
解下列方程，并填写表格
方
程+
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
二、探究新知：
1.根与系数关系：方程的两根，与系数p，q的关系是：
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（2）形如的方程，如果，两根为，，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程
∵
∴
∴，
对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
证明：∵，当时根为：
设，，则
∴
学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例2、已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？
例3、已知的两个实数根，求的值.
分析：因为是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将代入原方程可得，而，利用根与系数的关系可知，从而可求的值.
四、巩固练习：
1、已知方程的两根互为相反数，求k的值。
2、已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。
3、备选题：关于x的方程两实数根的平方和等于11，求k的值.
课堂小结
1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？
布置作业
教材
P48
A组
1、2、3、4、5题
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.5一元二次方程的应用（一）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率和利润问题；2.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法；3.通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、
提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.
过
程
与方法
通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热
情.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力
情
感
态
度
价值观
使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习
活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活.
教
学
重
点
列一元二次方程解增长率、利润问题应用题..
教
学
难
点
发现实际问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、复习回顾，引入新知
提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？
①列一元一次方程解应用题；
②列二元一次方程组解应用题；
③列分式方程解应用题提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；
③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）；
⑥解（解方程）；
⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.
二、合作交流、解读探究
（动脑筋）某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率.
若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均
增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变)
.
分析：
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：
今年的使用率×（1+年平均增长率）2
=后年的使用率
设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量
关系，可列出方程：
40%（1
+
x
）2
=
90%
整理，得
（1
+
x
）2
=
2.25
解得
x1
=
0.5
=
50%
x2=
-2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.
例1
为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.
求平均每次降价的百分率．
分析：问题中涉及的等量关系是：
原价×（1-平均每次降价的百分率)
2=现行售价
解：略
例2
某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x
元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
分析：问题中涉及的等量关系是：（售价-进价）×销售量=利润
解：根据等量关系得
（x-21）（350
-10x）=
400.
整理，得
-
56x
+
775
=
0
解得
x1
=
25，
x2
=
31
又因为
21
×
120%
=
25.2，即售价不能超过
25.2
元，
所以
x
=
31
不合题意，应当舍去．故
x=25，从而卖出
350
-10x
=
350-10×5
=100（件）
答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是
25
元
三、应用迁移、巩固提高
例3、2010年4月30日，龙泉山旅游度假区正式对外开放后，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.门票为40元/人时，平均每天来的人数380人，当门票每增加1元，平均每天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元，门票的价格应定多少元？
教师活动：组织学生讨论：
（1）指导学生理解问题，着重理解门票每增加一元，平均每天就减少2人的含义.
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（2）引导学生设什么为x才好？设门票增加了x元.
（3）指导学生用x表示其他相关量.增加后的门票价格为（40+x)元，平均每天来的人数为（380-2x)人.
（4）指导学生列方程、解方程，并进行检验.并请每位同学自己进行检验两根发现什么？
（x+40）(380-2x)=24000,
解得x1=40,x2=110.
经经验，x1=40,x2=110都是方程的解，且符合题意.
答：门票的价格定为80元或150元时，每天的门票收入都能达到24000元.
学生活动：合作交流，讨论解答.
练习
教材
P50
练习
1、2题
.
课堂小结
1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？
2、善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
3、在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
4、我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．
布置作业
教材
P53
A组
1、2题
板
书
设
计
2.5一元二次方程的应用（一）
列方程解应用题的基本步骤怎样
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；
③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）；
⑥解（解方程）；
⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.
.例1
例2
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.5一元二次方程的应用（二）
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.
过
程
与方法
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养
用数学的意识.
情
感
态
度
价值观
进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想.
教
学
重
点
会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.
教
学
难
点
找等量关系．列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、复习引入
列方程解应用题的步骤？教师引导、学生回答
合作交流、解读探究
（动脑筋）如图，在一长为40
cm、宽为28
cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子．若已知长方体盒子的底面积为364
cm2，
求截去的四个小正方形的边长．
教师启发、引导、学生回答，应明确：
（1）因为要做成底面积为364cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．
（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验.
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．
注意：全面积=各部分面积之和．
剩余面积=原面积-截取面积
设截去的小正方形的边长为xcm，
则无盖长方体盒子的底面长与宽分别为（40–2x）cm，（28–2x）cm.
根据等量关系，
可以列出方程（40–2x）（28–2x）
=
364.
整理，
得
解得
x1
=
27，
x2
=7
如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54
cm，这超过了矩形铁皮的长度（40cm）．因此
=
27不合题意，应当舍去
因此，截去的小正方形的边长为7cm
例1、如图，
一长为32
m、宽为24
m
的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），
余下部分进行了绿化.
若已知绿化面积为540m2，
求道路的宽.
虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，
但道路不是规则图形，因此不便于计算。若把道路
平移，则可得到下图：此时绿化部分就成了一个新的矩形了，再由本问题涉及的等量关系：
矩形的面积=矩形的长×矩形的宽，
就可建立一个一元二次方程.
虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，
但道路不是规则图形，因此不便于计算.若把道路平移，
则可得到右图：
设道路宽x
m，则新矩形的长为
（32
-
x）m，宽为（20
-x）m
根据等量关系得
（32
-
x）（20-x）
=
540
整理
得：
x2-52x+100=0
解得：x1=
2
,x2=
50
(不合题意，舍去)
答：道路宽为2m.
三、应用迁移、巩固提高
例2、如图所示，在△ABC
中，∠C
=
90°，AC
=
6cm，
BC
=
8cm.
点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s
的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2？
设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2.
根据题意得
AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm
整理
得：x2-6x+9=0
解得：
x1=x2=3
练习：P52—53
练习
1、2题
课堂小结
1．有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系．
2．要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负．
3．进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．
布置作业
教材
P53—54
3、5题
板
书
设
计
2.5一元二次方程的应用（二）
一、复习引入
列方程解应用题的步骤？
二、合作交流、解读探究
动脑筋
例1
三、应用迁移、巩固提高
例2
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.5一元二次方程的应用(三)
课
型
新
授
教
学
目
标
知
识
与技能
会熟练地一元二次方程解应用题,并能根据具体问题的实际意义,检验其结果
是否合理.
过
程
与方法
让学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中使学生进一步感受一
元二次方程的应用价值.
情
感
态
度
价值观
在组织学生自主探究、相互交流、协作学习的过程中,使学生积极参与数学学习
活动,培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志,在探索中获得成功的体验.
教
学
重
点
会熟练地列出一元二次方程解决实际问题.
教
学
难
点
将实际问题抽象为一元二次方程的模型.
教
具
准
备
多媒体课件
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
创设情境，导入新课
［课件演示］小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图（教材Ｐ２５图１-６）所示，现在已备足
砌１０m长的墙的材料，大家来讨论：不同的砌法，猪圈的面积会发生什么样的变化？
合作交流，解读探究
将学生分成若干个学习小组进行探究学习．
由于只需要砌三面墙，因此矩形中三条边的长度之和等于
１０m,平均每条边的长度为m,按照这种砌法，猪圈的面积为㎡．
填写教材Ｐ２６的表格．
讨论
　　（１）当与已有墙面平行的一面墙的长度从m减小时，猪圈的面积是否随着减小？（是）
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（２）当与已知墙面平行的一面墙的长度从m增大时，猪圈的面积怎样变化？
（猪圈的面积增加，但当这面墙长为５m时，猪圈的面积达到１２.５m，此后随着这面墙的长度增加，猪圈的面积逐渐减小．）
(３)在上面所列表中，什么时候猪圈面积变大？
（当与已有墙面平行的一面墙长为５m时，猪圈面积最大，此时面积为１２.５㎡.）
研究有没有一种砌墙方法，使猪圈面积为１２.５５㎡？
（设与已知墙面垂直的每一面的长为m，则与已有墙面平行的一面墙的长度为m.根据题意得化简这个方程得．
因为所以，此方程无实数根．故猪圈的面积不能为１２.５５㎡．）
（５）你能不能讲出猪圈的面积不可能大于１２.５㎡的理由？
三、应用迁移，巩固课题
［例题解析］
例１　用一根长２２㎝的铁丝，能不能折成一个面积为３２㎝
的矩形？试分析你的结论．（课件出示）
方法：有学生分组讨论完成，每组派代表发言，师生共同评价．
［课件出示］
解：设折成的矩形的长为cm,则宽为cm，依据题意得矩形的面积为cm.
∵
∴矩形的最大面积为又∵３２﹥，
∴不能折成一个面积为３２㎝的矩形．
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
［课件出示］例２　某商场从厂家以每件４０元的价格购进一批商品，当商场按单价５０元出售时，能卖５００个，已知该商品每涨价１元，其销售量就会减少１０个，为了赚８０００元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？　
方法：教师指导，分组完成．
（此题属于经营问题，设商品单价为（５０+）元，则每个商品能得利润［（５０+）-４０］元，因为该商品每涨价１元，其销售量就会减少１０个，则每涨价元，其销量会减少１０个，故销量为（５００-１０）个，为了赚得８０００元利润，则应用（５００-１０）［（５０+）-４０］＝８０００
［随堂练习］教材Ｐ２７练习题
［拓展］某城市出租汽车的收费标准如下表，一人上车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单为＂里程１１千米，应收２９.１元请付２９元，谢谢！请算出基本价Ｍ（Ｍ﹤１２）．
里程（千米）０﹤≤３３﹤≤６﹥６单价（元）　　Ｍ
课堂小结
列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和相等关系．
列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）求解．
布置作业
见课件
板
书
设
计
2.5一元二次方程的应用(三)
例１　　　　　　　　　　　　　　　例２
列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和相等关系．
列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）求解．
教
学
后
记
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
2.5一元二次方程的应用(四)
课
型
练
习
教
学
目
标
知
识
与技能
在实际情境中,能熟练地根据有关的数量关系列出一元二次方程,并会检验其
结果的合理性.
过
程
与方法
理解一元二次方程在实际问题中的应用,进一步体会方程是刻画现实世界的
一个有效的数学模型.
情
感
态
度
价值观
培养学生探求问题的能力,提高学生分析问题及解决问题的能力.
教
学
重
点
会熟练地列出一元二次方程解决实际问题.
教
学
难
点
将实际问题抽象为一元二次方程模型.
教
具
准
备
投影仪,幻灯片.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
知识回顾
列一元二次方程解应用题的一般步骤是这样的?要注意些什么?
在学生回答的基础上教师归纳总结并投影:
列一元二次方程解应用题的一般步骤:
1.审
审题,深刻理解题意,明确哪些是已知数,哪些是未知数,以及它们之间的关系;
2.设
设未知数,根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数;
3.列
列代数式和方程,根据题中给出的条件,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,利用等量关系列出方程;
4.解
解方程,用适当的方法准确地求出方程的解;
5.验
检验,既要检验求得的根是否是所列方程的根(看方程是否解错),又要检验是否符合题意;
6.答
作答,做出符合题意的答案.
应注意的问题:
在“设”和“答”中,有单位的量一定要带正确的单位;
所列方程必须满足三个条件:
(1)方程两边表示同类量;
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
(2)方程两边同类量的单位要一致;
(3)方程两边的数值要相等.
二、学生练习
方法:采用边练习边展示边评议的方法.
投影:
1.2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费改革中,我国政府采取了一系列政策和措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计2003年将达到304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的年平均增长率.
注意:关于平均增长(或降低)率问题,其基本关系式为Q=,其中是增长(或降低)的基础量,是平均增长(或降低)率,
是增长(或降低)的次数.
2.一个三位数的中间数字是0,其余两个数字的和为9,且这两个数字交换位置后的数比这两个数字的积的33倍还多9,求这个三位数.
注意:多位数的表示法
个位上的数字为a,十位上的数字为b,百位上的数字为c的三位数应表示为100c+10b+a.
某人购买了1500元的债券,定期为1年,到期兑换后他用去了435元,然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不变),再到期后他兑换得到了1308元,求这种债券的年利率.
如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,
A
AB=6厘米,BC=3厘米,点P从点A开始沿AB
边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点
P
B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移
动.如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒钟后
P,Q两点的距离等于4厘米?
B
Q
C
5.张大叔从市场上买回一块长方形铁皮,他将此长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,则张大叔购买这张长方形铁皮共花了多少钱?
6.将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17
cm,那么这段铁丝
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
成两段后的长度分别是多少?
7.如图,要建一个面积为130
16米
平方米的仓库,仓库的一边靠墙
(墙长16米),并在与墙平行的一
边开一个1米宽的门.现有能围
32米的木板,求仓库的长和宽各
1米
是多少米?
8.甲乙两公司都准备单独承租业主M沿街楼房一座,甲公司的条件是:每年租金29万元;乙公司的条件是:第一年的租金20万元,以后每年租金比前一年按相同的百分率增加,且乙公司三年内的总租金比甲公司多2000元.如果承租年限为三年,并于租用之日缴纳第一年租金,以后每满一年缴纳下一年租金.
(1)乙公司后两年的租金分别为多少万元?
(2)如果业主M将所得第一年租金以两年期存入银行,第二年租金以一年期存入银行,到第三年缴完租金时,考虑到存款的利息收入,该业主把沿街楼房租给哪家公司比较合算?为什么?
注:①银行一,二年期存款利率如下表:
存期一年二年年利率2.25%2.43%
②存款到期后国家增收利息税,税率为20%;
课堂小结
列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和相等关系．
列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）求解
布置作业
选做课堂上未完成的练习题
板
书
设
计
2.5一元二次方程的应用(四)
列一元二次方程解应用题的一般步骤:
1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
应注意的问题:
(1)在“设”和“答”中,有单位的量一定要带正确的单位;
(2)所列方程必须满足三个条件:
(3)方程两边表示同类量;
教
学
后
记
桃
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案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
小结与复习（一）
课
型
复
习
教
学
目
标
知
识
与技能
1．了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．2．理解一元二次方程
的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题．
过
程
与方法
1．进一步培养学生快速准确的计算能力．2．进一步培养学生严密的逻辑推理与
论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．
情
感
态
度
价值观
1．进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用；2．进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育．3．进一步体会配方法是解决数学问题
的一种思想方法．
教
学
重
点
一元二次方程的解法及判别式.
教
学
难
点
配方法.
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、创设情境、导入新课
复习提问，总结第二章的内容．学生自学P55
小结与复习。
教师启发引导，总结第二章所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用．培养学生归纳、总结的能力．
二、探究新课与课堂练习
练习1．下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）（x＋3）（x-3）＝0
（2）2x2-y＋2＝0；
（3）（2x-1）（x＋3）＝2x2＋1；
（4）（m-1）x2＋3mx-m＝0（m≠1的常数）．
学生口答，相互评价，教师强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整式方程．在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2
练习2．写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项．
桃
源
县
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镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
（1）（3x-1）（x＋1）＝6-（x-2）2，
（2）关于x的方程kx2＋2kx＝x2-k-3（k≠1）．
注意以下两点：（1）必须将一元二次方程化成一般形式．（2）二次项系数通常化为正数，各项系数包括它的符号．
练习3．解下列方程
（1）3x2-48＝0；
（2）（x＋a）2＝225??
（直接开平方法）；
（3）2x2＋7x-4＝0（配方法）；（4）2x2-x＝5（公式法）；
（5）（3x-1）2＝6x-2??（因式分解法）；
（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0?（因式分解法）；
练习4．选择适当方法解下列方程
（1）5x2-7x＋1＝0；
（2）4x2-5x＋1＝0；
（3）4（x＋2）2-9（x-3）2＝0
和学生一起回忆配方法和公式法的步骤，直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了“转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和因式分解达到“降次”．
学生板书，笔答，评价．最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．
练习5．1．求m为什么实数时，方程（m-1）x2-6x＋3＝0．
①有实数根；②没有实数根
引导学生分析：由于二次项系数是m-1，当m-1＝0时，方程为一元一次方程；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论．
2．求证：关于x的方程x2-（k＋4）x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根．
分析：利用“Δ”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，
写出根的判别式的代数式，然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数k都有Δ＞0即可．
桃
源
县
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镇
中
学
教
师
电
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教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
练习6
1.
当=______时，有最大值，这个最大值是_______.
2.
如果、、是△ABC的三边，且满足式子，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.
3.
说明代数式总大于.
4.
解下列方程
（1）
（2）
（3）
课堂小结
本节课复习的主要内容
2．通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法．
布置作业
教材P56
A
组
2、3、4题
板
书
设
计
小结与复习（一）
一元二次方程的有关概念
一元二次方程的解法
练习
教
学
后
记
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年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
小结与复习（二）
课
型
复
习
教
学
目
标
知
识
与技能
1．会列出一元二次方程解应用问题，2．掌握一元二次方程根与系数的关系，会
用它解一些简单的问题．.
过
程
与方法
结合复习，进一步提高学生的逻辑思维能力，进一步提高学生用数学的意识．
情
感
态
度
价值观
进一步理解转化的思想方法，由此获得对事物可以转化的进一步认识．
教
学
重
点
一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用．
教
学
难
点
根与系数关系的灵活应用．
教
具
准
备
多媒体课件.
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
一、创设情境、导入新课
一元二次方程的根与系数的关系是指一元二次方程两根和与两根积和系数的关系，它在下面几方面有着广泛的应用．
1．已知方程的一根，求方程的另一根及k的值．
2．不解方程，求某些代数式的值．
3．已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
4．已知两数的和与两数的积，求这两个数．
5．二次三项式的因式分解．
……
运用根与系数的关系，还大大缩简了复杂的运算量，它的应用，启发学生领会数学知识，并能运用数学知识提高分析问题、解决问题的能力．
二、探究新知与课堂练习
练习1选择题
（1）以两数-2，5为根的一元二次方程是??
[???
]
A．x2-3x-10＝0????????
B．x2-10x＋3＝0
C．x2＋3x-10＝0??????
D．x2-10x-3＝0
（2）方程x2-mx+m-2＝0有一个根为0，则m的值为
[???
]
桃
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县
漆
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镇
中
学
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师
电
子
教
案
教
学
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程
教
师
活
动
学
生
活
动
A．m＝0??
B．m＝1
C．m＝2??D．m＝3
练习2
1、设x1，x2是方程4x2-8x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）
（2）
2、已知关于x的方程的两个实数根的平方和为11，求实数k的值。
学生板书、笔答，教师点拨
教师板书，启发引导学生回答，规范书写步骤．
练习3
已知：方程x2＋3x-2＝0，不解出这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．
练习4
已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程
x2-（2m-1）x＋4（m-1）＝0的两个根，求m的值．
引导学生回答，教师板书，注意以下两个问题．
（1）此题由根与系数的关系、勾股定理建立了一个关于m的一元二次方程，由此求得m的值．
（2）求得的m值，不但要保证方程有实数根，同时要保证题目有意义，即要保证a、b为正数．
学生练习，板书，评价．
学习了无理数之后，因式分解的范围就扩大到实数范围，用求根法因式分解，是分解二次三项式最基本方法．
练习5
将下列各式因式分解：
（1）4x2-8x-1；（2）2abx2＋（a2＋2b2）x＋ab．
随堂检测
1、方程有两个相等的实数根，则
.
2、若关于x的方程有实数根，则k的非负整数值是
.
3、关于x的方程有两个实数根，则m的范围是
.
4、已知k>0且方程有两个相等的实数根，则k=
.
5、当?k不小于时，方程根的情况是
.
6、如果关于x的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是
.
7、如果关于x的方程没有实数根，那么
桃
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县
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教
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学
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活
动
关于x的方程的实根个数是
.
8、如果方程的两根为，且，求实数?m的值.
9、已知方程的两实根的平方和等于11，求k的值.
10、m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
11、m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
12、已知，当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
课堂小结
（1）本节课复习的基本的知识点
（2）通过本节课的学习，进一步提高学生综合分析问题、解决问题的能力．通过数学知识的应用，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣．
布置作业
1．教材
P56页5、6、7?
2．教材P57
15．
3．（补充）（1）不解方程2x2＋3x-1＝0，求作一个一元二次方程，使它的根是已知方程各根的平方的倒数．
（2）已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m4＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．
板
书
设
计
小结与复习（二）
一元二次方程的根与系数的关系是指一元二次方程两根和与两根积和系数的关系，它在下面几方面有着广泛的应用．
1．已知方程的一根，求方程的另一根及k的值．
2．不解方程，求某些代数式的值．
3．已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
4．已知两数的和与两数的积，求这两个数．
5．二次三项式的因式分解．
……
运用根与系数的关系，还大大缩简了复杂的运算量，它的应用，启发学生领会数学知识，并能运用数学知识提高分析问题、解决问题的能力．
教
学
后
记
桃
源
县
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中
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教
师
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案
NO
年
月
日
第
周
星
期
第
节
课
题
小结与复习(三)
课
型
复
习
教
学
目
标
知
识
与技能
使学生在实际情境中,能比较熟练地根据有关数量关系列出一元二次方程,并会检
验其结果的合理性.
过
程
与方法
通过复习,进一步理解一元二次方程在实际问题中的应用,体会方程是刻画现实世
界的一个有效的数学模型.
情
感
态
度
价值观
继续培养学生探求问题的能力,提高学生分析问题及解决问题的能力.
教
学
重
点
建立数学模型解决实际问题．
教
学
难
点
寻求等量关系.
教
具
准
备
投影仪,胶片
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
复习引入
列一元二次方程解应用题的一般步骤是这样的?要注意些什么?
在学生回答的基础上教师归纳总结并投影:
列一元二次方程解应用题的一般步骤:
1.审
审题,深刻理解题意,明确哪些是已知数,哪些是未知数,以及它们之间的关系;
2.找
找出（能代表题目全部含义的）相等关系；
3.设
设未知数,根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数;
4.列
列代数式和方程,根据题中给出的条件,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,利用等量关系列出方程;
5.解
解方程,用适当的方法准确地求出方程的解;
6.验
检验,既要检验求得的根是否是所列方程的根(看方程是否解错),又要检验是否符合题意;
7.答
作答,做出符合题意的答案.
应注意的问题:
在“设”和“答”中,有单位的量一定要带正确的单位;
6.所列方程必须满足三个条件:
桃
源
县
漆
河
镇
中
学
教
师
电
子
教
案
教
学
过
程
教
师
活
动
学
生
活
动
方程两边表示同类量;
(2)方程两边同类量的单位要一致;
(3)方程两边的数值要相等.
二、练习（投影）
1.为何值时，一元二次多项式的值是多项式的2倍.
(由题意得=2(),解这个方程可求得的值)
2.2006年,中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情,某养鸡场一只带病的小鸡经过两天的传染后使鸡场共有169只小鸡遭感染患病,在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡?
(设在每一天的传染中平均一只小鸡传染了只小鸡,根据题意得(1+x)+,解得(负数不合题意舍去))
3.一个容器盛满纯药液20升,第一次倒出若干后用水加满;第二次又倒出同样多体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液5升,每次倒出的液体有多少升?
(设每次倒出升,依据题意得即(舍去))
4.一个两位数比它的个位上的数的平方小6,个位上的数与十位上的数的和是13,求这个两位数.
(设这个两位数个位上的数为,则十位上的数为(13-),根据题意得10(13-)+=-6)
5.学校准备在图书馆后面的场地上围建一个面积为50平方米的矩形车棚,一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计,如何围建较为合适?
(设这个车棚与图书馆的后墙平行的一边长为米,则这个车棚与图书馆的后墙垂直的两边长都为米.根据题意得
·=50)
6.从一块长80cm,宽60cm的铁片中间截去一个小长方形,使小长方形的面积是原来铁片面积的一半,并且剩下的长方形四周的宽度一样,求这个宽度.
桃
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案
教
学
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程
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师
活
动
学
生
活
动
(设剩下的长方形四周的宽度为米,根据题意得
)
7.某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8％作为新产品开发的研究资金,该集团公司2003年投入新产品开发的研究资金是4000万元,2005年销售总额是7.2亿元,求该集团公司2003年到2005年销售总额的年平均增长率.
(设该集团公司2003年到2005年销售总额的年平均增长率为,依据题意得%()
8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为元,则可卖出(350-10)件,但物价局限定每件商品加价不能超过20%.商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价为多少元?
(100件,25元)
课堂小结
知识结构及要点
知识规律,思想方法,易错疑难
布置作业
教材P29-30复习题一A组T4,5,6
B组T3,4
板
书
设
计
小结与复习(三)
一元二次方程在实际问题中的应用:
思想方法:
关键在于弄清题意,明确数量关系,
数形结合思想,转化思想.
寻找相等关系,知道常用名词及数量
易错疑难:
间的关系公式.
审题不细,误解题意,解方程后未检验.
知识规律:
列一元二次方程解决实际问题,建立
一元二次方程模型.
教
学
后
记