江苏省常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高二上学期期中考试 数学 Word版含答案

常州市“教学研究合作联盟”
2020学年度第一学期期中质量调研
高二年级 数学试题
2020年11月
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1.“x>0，2x>sinx”的否定是
A.x>0，2x0，2x≤sinx
C.x0≤0，2x≤sinx0 D.x0>0，2x0≤sinx0
2.不等式≥0的解集为
A.(－∞，－3]∪[5，＋∞) B.[－3，5] C.(－∞，－3)∪[5，＋∞) D.(－3，5]
3.设a∈R，则“a<1”是“a2<1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
4.观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……则该数列的第23项等于
A.sin21 B.ln20 C.sin24 D.ln23
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问大儿多少岁，各儿岁数要谁推。这位公公年龄最大的儿子年龄为
A.9岁 B.12岁 C.21岁 D.36岁
6.不等式(a2－9)x2＋(a＋3)x－1≥0的解集是空集，则实数a的范围为
A.(－3，) B.[－3，) C.[－3，] D.[－3，)∪{3}
7.己知实数a，b满足ab>0，则的最大值为
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)＝x－＋ln，若 ，其中b>0，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.如果aA. B.ac2ab>b2
10.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－2x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是
A.－3 B.－2 C.－1 D.0
11.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋4a3＝S7，则以下结论正确的有
A.a14＝0 B.S14最小 C.S11＝S16 D.S27＝0
12.将n2(n≥3)个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)。已知a11＝3，a61＝a13＋1，记这n2个数的和为S。下列结论正确的有
A.m＝2 B.a67＝13×27 C.aij＝(2i＋1)×2j－1 D.S＝n(n＋2)(2n－1)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分。
13.已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x<1或x>4}，则a－b＝ 。
14.已知数列{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，若1≤a2≤3，2≤a3≤4，则S4的取值范围是 。
15.已知x>0，y>0且xy－x＋2y＝6，若x＋y>m2－m＋1恒成立，则非零整数m的取值集合是 。
16.对于数列{an}，若任意m，n∈N*(m≠n)，都有≥t(t为常数)成立，则称数列{an}具有性质p(t)。
(1)若数列{an}的通项公式为an＝3n，且具有性质p(t)，则t的最大值为 ；
(2)若数列{an}的通项公式为an＝n－，且具有性质p(9)，则实数a的取值范围是 。
四、解答题：本大题共6小题共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知集合A＝{x|x2－8ax＋12a2>0}，其中a>0；集合B＝{x|(x－1)(2－x)≥0}。
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
18.(本小题满分10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4， ，b2＝8，b1－3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列{}的前k项和Tk>，若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由。
从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3－a4＝b2这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答。
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。)
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(a，b为常数)。
(1)若b＝1，解关于x的不等式f(x－2)<0；
(2)若a＝2，当x∈[－1，2]时，f(x)>，恒成立，求b的取值范围。
20.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－3n＋1＋2，n∈N*，且a1，a2＋6，29成等差数列。
(1)求a1的值；
(2)证明：数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(3)设bn＝log3()＋1，若对任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围。
21.(本小题满分12分)
党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展。新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向。为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元。每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝。由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完。
(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本)
(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润。
22.(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a13＋a23＋…＋an3＝(a1＋a2＋…＋an)2，n∈N*。
(1)求证：an2＝2Sn－an；
(2)设cn＝(an－)·2n，其前n项和为Tn，求Tn；
(3)在(2)的条件下，设bn＝，求使不等式对一切n≥2且n∈N*均成立的最大整数p。
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