二次函数中平行四边形存在性问题的探究
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二次函数中平行四边形存在性问题的探究
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考命题的热点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.为此，本节课我们另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标性质来解决这一类题.
现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标性质，本节课我们就探究这两个问题并运用其解决一类问题
1.一个公式，解题的切入点
376237551435线段的中点坐标公式
如右图，已知A(-1，1),B(3,3),C(3 ,2),D(4 , -2)请直接写出线段AB、CD的中点P、Q的坐标。
P（ ， ） Q（ ， ）
3699510457200② 如右图，已知A（xa , ya） B(xb , yb) ,请写出AB中点P的坐标（xp = xa+xb2，yp = ya+yb2）
证明：如图，分别过A、B、P作坐标轴的平行线
∵ AP=BP ∴ AM=CM
即：xb - xp = xp - xa ∴ xp = xa+xb2
同理：yp = ya+yb2
2.一条性质，解题的基本点
平行四边形的顶点坐标性质
ABCD的顶点坐标A（xa , ya）,B(xb , yb), C(xc , yc), D(xd , yd).
则 xa +xc=xb +xd3305175622935 ya+ yc =yb+ yd
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ P是AC中点
∴ P的坐标为（xa+xc2，ya+yc2）
又P是BD中点
∴ P的坐标为（xb+xd2，yb+yd2）
∴ xa+xc2=xb+xd2 , ya+yc2=yb+yd2
∴ xa +xc=xb +xd ya+ yc =yb+ yd
3. 一个事实，解题的关键点
已知平面内不在同一直线上的三点A、B、C，
4143375462915求作一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形
有三种可能性：
以AC为对角线的平行四边形ABCD
以AB为对角线的平行四边形ACBD
以BC为对角线的平行四边形ABDC（也可以看作是以AD为对角线）
4. 一种题型，中考命题的热点
例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.
解：(1)易求抛物线解析式为：y=13x2-23x-1
(2)由题意知：A(-1,0), B(3,0) 设Q（0，a） P(x , 13x2-23x-1)
①当AB为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+3=0+ x 所以x=2，此时P（2，-1）
②3867150133350当AQ为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+0=3+ x 所以x=-4，此时P（-4,7）
③当AP为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+ x =3+ 0 所以x=4，此时P（4, 53）
综上所述：P的坐标为（2，-1）（-4,7）或（4, 53）
知识内化：
对于抛物线中平行四边形的存在性探究问题，我们只要分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标性质转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
中考链接：
1.(2019·包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1＜x＜2)，连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案(4)综上所述：M(2，2)或M(4，－)或M(－2，－).
2．(2019·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
参考答案(3)点E的坐标为(2，1)或(2－2，1＋)或(2＋2，1－)或(－2－2，3＋)或(－2＋2，3－)．
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考命题的热点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.为此，本节课我们另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标性质来解决这一类题.
现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标性质，本节课我们就探究这两个问题并运用其解决一类问题
1.一个公式，解题的切入点
376237551435线段的中点坐标公式
如右图，已知A(-1，1),B(3,3),C(3 ,2),D(4 , -2)请直接写出线段AB、CD的中点P、Q的坐标。
P（ ， ） Q（ ， ）
3699510457200② 如右图，已知A（xa , ya） B(xb , yb) ,请写出AB中点P的坐标（xp = xa+xb2，yp = ya+yb2）
证明：如图，分别过A、B、P作坐标轴的平行线
∵ AP=BP ∴ AM=CM
即：xb - xp = xp - xa ∴ xp = xa+xb2
同理：yp = ya+yb2
2.一条性质，解题的基本点
平行四边形的顶点坐标性质
ABCD的顶点坐标A（xa , ya）,B(xb , yb), C(xc , yc), D(xd , yd).
则 xa +xc=xb +xd3305175622935 ya+ yc =yb+ yd
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ P是AC中点
∴ P的坐标为（xa+xc2，ya+yc2）
又P是BD中点
∴ P的坐标为（xb+xd2，yb+yd2）
∴ xa+xc2=xb+xd2 , ya+yc2=yb+yd2
∴ xa +xc=xb +xd ya+ yc =yb+ yd
3. 一个事实，解题的关键点
已知平面内不在同一直线上的三点A、B、C，
4143375462915求作一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形
有三种可能性：
以AC为对角线的平行四边形ABCD
以AB为对角线的平行四边形ACBD
以BC为对角线的平行四边形ABDC（也可以看作是以AD为对角线）
4. 一种题型，中考命题的热点
例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.
解：(1)易求抛物线解析式为：y=13x2-23x-1
(2)由题意知：A(-1,0), B(3,0) 设Q（0，a） P(x , 13x2-23x-1)
①当AB为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+3=0+ x 所以x=2，此时P（2，-1）
②3867150133350当AQ为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+0=3+ x 所以x=-4，此时P（-4,7）
③当AP为对角线时，依据平行四边形对角线性质得：
-1+ x =3+ 0 所以x=4，此时P（4, 53）
综上所述：P的坐标为（2，-1）（-4,7）或（4, 53）
知识内化：
对于抛物线中平行四边形的存在性探究问题，我们只要分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标性质转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
中考链接：
1.(2019·包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1＜x＜2)，连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案(4)综上所述：M(2，2)或M(4，－)或M(－2，－).
2．(2019·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
参考答案(3)点E的坐标为(2，1)或(2－2，1＋)或(2＋2，1－)或(－2－2，3＋)或(－2＋2，3－)．
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