第二章单元质量评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4Δx
C．4＋2Δx
D．4＋2Δx2
2．下列结论中不正确的是( B )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则f′(1)＝3
3．已知函数f(x)＝，则f′＝( )
A．－
B．－
C．－8
D．－16
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
5．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)＝( )
A．sinx
B．cosx
C．cosα＋sinx
D．2sinα＋cosx
6．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9
B．－3
C．9
D．5
7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝( )
A.
B．2ln3
C.
D.
8．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝( )
A．a
B．±a
C．－a
D．a2
9．曲线y＝e－x－ex的切线的斜率的最大值为( )
A．2
B．0
C．－2
D．－4
10．已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，若l⊥m，则点P的坐标可能是( )
A.
B.
C.
D.
11．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( )
A．4
B．2
C．2
D.
12．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是( )
A．2
B．1
C．3
D．－2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为（
）
14．已知0
）
15．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为（
）.
16．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（
）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sinx＋；
(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；
(3)y＝x·e－x；
(4)y＝sin2x.
18．(12分)点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，且点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
19．(12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
20．(12分)若函数y＝f(x)在区间(－a，a)(a>0)内为偶函数且可导，试讨论y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性．
21．(12分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
22．(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－bx＋1(b为常数)．函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图像相切，求实数b的值．第二章单元质量评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( C )
A．4
B．4Δx
C．4＋2Δx
D．4＋2Δx2
解析：＝＝＝4＋2Δx.
2．下列结论中不正确的是( B )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则f′(1)＝3
解析：因为y＝＝x
eq
\s\up15(－)
，
所以y′＝(x
eq
\s\up15(－)
)′＝－x
eq
\s\up15(－)
＝－.
3．已知函数f(x)＝，则f′＝( D )
A．－
B．－
C．－8
D．－16
解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，
∴f′＝－2×－3＝－16.
4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.
5．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)＝( A )
A．sinx
B．cosx
C．cosα＋sinx
D．2sinα＋cosx
解析：函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．
6．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( C )
A．－9
B．－3
C．9
D．5
解析：因为y′＝3x2，切点P(1,12)，
所以切线的斜率k＝3×12＝3.
故切线方程为y－12＝3(x－1)，
即3x－y＋9＝0，
令x＝0，得y＝9.
7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝( D )
A.
B．2ln3
C.
D.
解析：∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.
8．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝( B )
A．a
B．±a
C．－a
D．a2
解析：因为y′＝
＝＝，
所以x－a2＝0，解得x0＝±a.
9．曲线y＝e－x－ex的切线的斜率的最大值为( C )
A．2
B．0
C．－2
D．－4
解析：y′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－≤
－2＝－2，
当且仅当＝ex，即x＝0时，等号成立．
10．已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，若l⊥m，则点P的坐标可能是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：因为直线m的斜率为－，l⊥m，
所以直线l的斜率为2.
因为函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，
则b＝3a＋cosa且当x＝a时，y′＝3－sina＝2，
所以sina＝1，解得a＝＋2kπ(k∈Z)，
所以b＝＋6kπ(k∈Z)，
所以P(k∈Z)，
当k＝0时，P.故选B.
11．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( D )
A．4
B．2
C．2
D.
解析：函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，所以切点为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，所以a＋b的最大值是，故选D.
12．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是( A )
A．2
B．1
C．3
D．－2
解析：由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导得，
f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.
令x＝1，
得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8?f′(1)＝2，∴k＝2.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为－.
解析：Δy＝－
＝－＝
＝.
所以＝＝－，
即k＝＝－.
所以当Δx＝1时，k＝－＝－.
14．已知0解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.
由01，
故f′(x)15．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为7x－4y－2＝0.
解析：f′(x)＝＋
＝＋.
当a＝2时，f′(0)＝＋＝，
而f(0)＝－，
因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，
即7x－4y－2＝0.
16．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是(－∞，10]．
解析：在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0,2x)(x0>0)，
因为y＝2x2，所以y′＝4x，f′(x0)＝4x0.
令＝4x0，得x0＝1，
此时，D(1,2)，
kAD＝＝4，直线AD的方程为y＝4x－2.
要视线不被曲线C挡住，则实数a≤4×3－2＝10，
即实数a的取值范围是(－∞，10]．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sinx＋；
(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；
(3)y＝x·e－x；
(4)y＝sin2x.
解：(1)y′＝(sinx)′＋′＝cosx－.
(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′
＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)
＝9x2－2x＋6.
(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′
＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
(4)y′＝(sin2x)′＝×2·cos2x＝cos2x.
18．(12分)点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，且点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解：∵k＝tanα＝y′＝3x2－≥－，
∴tanα≥－.
又α∈[0，π)，∴α∈∪.
19．(12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
20．(12分)若函数y＝f(x)在区间(－a，a)(a>0)内为偶函数且可导，试讨论y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性．
解：∵f′(－x)＝
＝
＝
(－1)·＝－f′(x)，
∴f′(x)为奇函数，即y＝f′(x)在(－a，a)内为奇函数．
21．(12分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
解：(1)f′(x)＝a－，于是
解得或
因为a，b∈Z，故即f(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，
f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，
切点为的切线方程为y－＝(x－3)，
即3x－4y＋5＝0.
切线与直线x＝1的交点为(1,2)，
切线与直线y＝x的交点为(5,5)，
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.
22．(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－bx＋1(b为常数)．函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图像相切，求实数b的值．
解：因为f(x)＝lnx，所以f′(x)＝，f′(1)＝1.
又f(1)＝ln1＝0，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，
因为直线y＝x－1与函数g(x)的图像相切，
由
消去y得x2－2(b＋1)x＋4＝0，
则Δ＝4(b＋1)2－16＝0，解得b＝1或－3.