选修2－2 模块综合评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．函数y＝2x2，则自变量从2变到2＋Δx时函数值的增量Δy为( )
A．8
B．8＋2Δx
C．2(Δx)2＋8Δx
D．4Δx＋2(Δx)2
2．设i为虚数单位，则复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′＝( )
A.
B．0
C．－1
D．1
4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|等于( )
A.＋i
B．5
C.
D.
5．已知函数y＝xlnx，则这个函数的图像在点x＝1处的切线方程是( )
A．y＝2x－2
B．y＝2x＋2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
6．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于( )
A．3
B.
C．1
D.
7．观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( )
A．171
B．183
C．205
D．268
8．图①～图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
9．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
10．若函数f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点是β，则有( )
A．α<β
B．α>β
C．α＝β
D．α与β的大小不确定
11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2
014个梯形数为a2
014，则a2
014＝( )
A．2
015×2
013
B．2
015×2
014
C．2
015×1
008
D．2
015×1
009
12．定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知＝1＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝（
）
14．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0>0，则x0＝（
）.
15．若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An＝A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分．已知：
①当A1∪A2＝{a1，a2，a3}时，有33种拆分；
②当A1∪A2∪A3＝{a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；
③当A1∪A2∪A3∪A4＝{a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；
…
由以上结论，推测出一般结论：
当A1∪A2∪…∪An＝{a1，a2，a3，…，an＋1}有（
）种拆分．
16．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（
）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z＝，i为虚数单位．
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
18．(12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
19．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
20．(12分)已知函数f(x)＝xlnx－x2(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)＝f(x)＋(a－1)x在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝f(1)．当n≥2时，Sn－＝(n2＋5n－2)．
(1)直接写出a1，a2，a3，a4的值；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并给予证明．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.
(1)若函数y＝f(x)和函数y＝g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求实数a的取值范围．
(2)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，求实数m的值．选修2－2 模块综合评估
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．函数y＝2x2，则自变量从2变到2＋Δx时函数值的增量Δy为( C )
A．8
B．8＋2Δx
C．2(Δx)2＋8Δx
D．4Δx＋2(Δx)2
解析：Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝2(Δx)2＋8Δx.
2．设i为虚数单位，则复数z＝在复平面上对应的点位于( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝＝＝，在复平面上对应的点为，位于第四象限，故选D.
3．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′＝( B )
A.
B．0
C．－1
D．1
解析：∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，
∴f′＝cos＝0.故选B.
4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|等于( D )
A.＋i
B．5
C.
D.
解析：由(1＋2ai)i＝1－bi得解得
所以|a＋bi|＝＝＝.故选D.
5．已知函数y＝xlnx，则这个函数的图像在点x＝1处的切线方程是( C )
A．y＝2x－2
B．y＝2x＋2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
解析：当x＝1时，y＝0.y′＝lnx＋1，k＝ln1＋1＝1，所以切线方程为y＝x－1.
6．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于( A )
A．3
B.
C．1
D.
解析：∫02sinxdx＝－2cosx0＝3.
7．观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( B )
A．171
B．183
C．205
D．268
解析：由前两个题图发现：中间数等于四周四个数的平方和，
即12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109，
所以“x”处该填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
8．图①～图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( B )
A．①②
B．③④
C．①③
D．①④
解析：①②正确；③不正确，导函数图像过原点，且在原点附近的导数值异号，但三次函数在x＝0处不存在极值；④不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故选B.
9．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( D )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析：由前几项观察得第1项1个数，第2项2个数相加，第3项3个数相加，则第k项有k个数相加，且首项为ak－1，故选D.
10．若函数f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点是β，则有( B )
A．α<β
B．α>β
C．α＝β
D．α与β的大小不确定
解析：由题意得f′(x)＝2xlnx＋x，g′(x)＝lnx2＋2，又函数f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点是β，所以2αlnα＋α＝0，lnβ2＋2＝0，所以α＝e－，β＝e－1，所以α>β，故选B.
11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2
014个梯形数为a2
014，则a2
014＝( D )
A．2
015×2
013
B．2
015×2
014
C．2
015×1
008
D．2
015×1
009
解析：5＝2＋3＝a1，
9＝2＋3＋4＝a2，
14＝2＋3＋4＋5＝a3，
…，
an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝
＝(n＋1)(n＋4)，
由此可得a2
014＝2＋3＋4＋…＋2
016＝×2
015×2
018＝2
015×1
009.故选D.
12．定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(aA.
B.
C.
D.
解析：由题意可知，在区间[0，a]上存在x1，x2(0∵f(x)＝x3－x2＋a，
∴f′(x)＝3x2－2x，
∴方程3x2－2x＝a2－a在区间(0，a)上有两个不相等的实数根．
令g(x)＝3x2－2x－a2＋a(0∴解得∴实数a的取值范围是，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知＝1＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝.
解析：∵＝1＋i，
∴1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i，
∴∴∴ab＝.
14．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，x0>0，则x0＝.
解析：答案为.
15．若集合A1，A2，…，An满足A1∪A2∪…∪An＝A，则称A1，A2，…，An为集合A的一种拆分．已知：
①当A1∪A2＝{a1，a2，a3}时，有33种拆分；
②当A1∪A2∪A3＝{a1，a2，a3，a4}时，有74种拆分；
③当A1∪A2∪A3∪A4＝{a1，a2，a3，a4，a5}时，有155种拆分；
…
由以上结论，推测出一般结论：
当A1∪A2∪…∪An＝{a1，a2，a3，…，an＋1}有(2n－1)n＋1种拆分．
解析：因为当有两个集合时，33＝(4－1)2＋1＝(22－1)2＋1；当有三个集合时，74＝(8－1)3＋1＝(23－1)3＋1；当有四个集合时，155＝(16－1)4＋1＝(24－1)4＋1……由此可以归纳当有n个集合时，有(2n－1)n＋1种拆分．
16．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
解析：设g(x)＝，
则g(x)的导数为g′(x)＝.
∵当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，即当x>0时，g′(x)恒大于0，∴当x>0时，函数g(x)为增函数，
∵f(x)为奇函数，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，
又∵g(－1)＝＝0，f(x)>0，
∴当x>0时，g(x)>0＝g(1)，当x<0时，g(x)<0＝g(－1)，
∴x>1或－1故使f(x)>0成立的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)，故答案为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z＝，i为虚数单位．
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
解：由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i.
(1)因数复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们的实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i.
(2)因为z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，所以z2的共轭复数为－3－4i.
18．(12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)要证f＋f≤，
只需证＋≤，
即证＋≤，
即证≤，
即证(a－b)2≥0，这显然成立，
∴f＋f≤.
(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，即≤，≤，
则有2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b>4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
19．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意得f(1)＝4，f′(1)＝3，
即解得
所以a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：
由表可知，f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
20．(12分)已知函数f(x)＝xlnx－x2(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)＝f(x)＋(a－1)x在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝xlnx－x2，f′(x)＝lnx＋1－2x，因为f(1)＝－1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x.
(2)由已知得g(x)＝xlnx－x2＋(a－1)x，
则g′(x)＝lnx－ax＋a，记h(x)＝g′(x)＝lnx－ax＋a，则h(1)＝0，h′(x)＝－a＝.
①当a≤0，x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，函数g′(x)单调递增，因为g′(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在x＝1处取得极小值，满足题意．
②当01，当x∈时，h′(x)>0，故函数g′(x)单调递增，可得当x∈(0,1)时，g′(x)<0，x∈时，g′(x)>0，所以g(x)在x＝1处取得极小值，满足题意．
③当a＝1，x∈(0,1)时，h′(x)>0，g′(x)在(0,1)内单调递增，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≤0恒成立，所以g(x)无极值，不合题意．
④当a>1，即0<<1时，当x∈时，h′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)<0，所以g(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．
综上可知，实数a的取值范围为(－∞，1)．
21．(12分)已知函数f(x)＝，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝f(1)．当n≥2时，Sn－＝(n2＋5n－2)．
(1)直接写出a1，a2，a3，a4的值；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并给予证明．
解：(1)a1＝2，a2＝3，a3＝4，a4＝5.
(2)由(1)猜想an＝n＋1.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1,2,3,4时，由(1)可知猜想成立；
②假设n＝k(k≥4且k∈N
)时猜想成立，
即ak＝k＋1，
则当n＝k＋1时，Sk＋1－＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
即Sk＋ak＋1－(2－ak＋1)＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
即(k2＋5k－2)＋2－ak＋ak＋1－(2－ak＋1)＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
化简整理得ak＋1＝k＋2＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时猜想成立，
综上所述，对任意n∈N
，an＝n＋1成立．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.
(1)若函数y＝f(x)和函数y＝g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求实数a的取值范围．
(2)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，求实数m的值．
解：(1)f′(x)＝2x－＝(x>0)．
当0当x>2时，f′(x)>0，
要使f(x)在(a，a＋1)上递增，必须a≥2.
g(x)＝－x2＋14x＝－(x－7)2＋49，
如使g(x)在(a，a＋1)上递增，必须a＋1≤7，即a≤6.
由上得出，当2≤a≤6时f(x)，g(x)在(a，a＋1)上均为增函数．
(2)方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解
?有唯一解．
设h(x)＝2x2－8lnx－14x，
h′(x)＝4x－－14＝(2x＋1)(x－4)(x>0)，
h′(x)，h(x)随x变化如下表：
由于在(0，＋∞)上，h(x)只有一个极小值，
所以h(x)的最小值为－24－16ln2，
当m＝－24－16ln2时，方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解．