第二章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是( )
A．取到红球的次数
B．取到白球的次数
C．2次取到的红球总数
D．取球的总次数
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是( )
A.
B.
C.
D.
3．将三颗骰子各掷一次，设事件A＝{三个点数都不同}，B＝{至少出现一个3点}，则P(A|B)，P(B|A)分别是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为X，已知EX＝3，则DX＝( )
A.
B.
C.
D.
5．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．50个乒乓球中，合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( C )
A.
B.
C．1－
D.
7．体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望EX>，则p的取值范围是( )
A．(0，)
B．(，1)
C．(0，)
D．(，1)
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1)，不计其他得分情况)．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
9．口袋中有n个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X，若P(X＝2)＝，则下列结论错误的是( )
A．n＝7
B．P(X＝3)＝
C．EX＝
D．DX＝
10．小王通过某种英语测试的概率是，如果他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A.
B.
C.
D.
11．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
12．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{an}：an＝若Sn为数列{an}的前n项和，则S7＝3的概率为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．甲、乙二人从1,2,3，…，15中依次任取一个数(不放回)，已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是.
14．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝.
15．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望Eξ＝5.
16．已知随机变量Y只取a,1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当EY取最小值时DY等于.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)．
18．(12分)小王通过微信向在线的甲、乙、丙发放红包，每次发放1个，且发给每人的概率相等．
(1)若小王发放5元的红包2个，求恰好发给甲1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记发给乙的红包的总钱数为X，求X的分布列和数学期望．
19．(12分)某志愿者团体为积极配合奥运会志愿者招募工作，准备成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，初步选定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)记ξ为女同学当选的人数，求ξ的分布列；
(2)设至少有n名男同学当选的概率为Pn，求Pn≥时n的最大值．
20．(12分)甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是，，m，且三人能否达标互不影响．
(1)若三人中至少有一人达标的概率是，求m的值．
(2)设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望．
21．(12分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
22．(12分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)，统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术
生物
化学
物理
数学
周一
周三
周五
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率．
(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．第二章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是( D )
A．取到红球的次数
B．取到白球的次数
C．2次取到的红球总数
D．取球的总次数
解析：因为随机变量具有不确定性，取球的总次数是2次，具有确定性，所以取球的总次数不可作为随机变量．故选D.
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a[＋()2＋()3]，解得a＝.
3．将三颗骰子各掷一次，设事件A＝{三个点数都不同}，B＝{至少出现一个3点}，则P(A|B)，P(B|A)分别是( A )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：因为“至少出现一个3点”的所有可能情况数为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同，且至少出现一个3点”的所有可能情况数为C×5×4＝60，所以P(A|B)＝.又“三个点数都不相同”的所有可能情况数为6×5×4＝120，所以P(B|A)＝＝.
4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为X，已知EX＝3，则DX＝( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，知X～B，所以EX＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B(5，)，所以DX＝5××(1－)＝.
5．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，
且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.
所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.
6．50个乒乓球中，合格品45个，次品5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( C )
A.
B.
C．1－
D.
解析：“出现次品”的对立事件为“全为正品”，故“出现次品”的概率为1－.
7．体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望EX>，则p的取值范围是( C )
A．(0，)
B．(，1)
C．(0，)
D．(，1)
解析：X的所有可能取值为1,2,3.由题意P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，所以EX＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由EX>，即p2－3p＋3>，解得p<或p>(舍去)，所以0
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1)，不计其他得分情况)．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab的最大值为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为
X
3
2
0
P
a
b
c
EX＝3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当3a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立．
9．口袋中有n个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X，若P(X＝2)＝，则下列结论错误的是( D )
A．n＝7
B．P(X＝3)＝
C．EX＝
D．DX＝
解析：由P(X＝2)＝，得＝，即＝，整理得90n＝7(n＋2)(n＋3)，解得n＝7(n＝舍去)．X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，DX＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.
10．小王通过某种英语测试的概率是，如果他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，小王连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是C·2＝.
11．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( D )
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
解析：由于数学成绩平均分为90，
即正态分布曲线关于x＝μ＝90对称，
由P(X<60)＝0.1知P(X>120)＝0.1，
故P(90≤X≤120)＝＝0.4.
12．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{an}：an＝若Sn为数列{an}的前n项和，则S7＝3的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：S7＝3说明共摸球7次，只有2次摸到红球．因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以只有2次摸到红球的概率是C()5()2＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．甲、乙二人从1,2,3，…，15中依次任取一个数(不放回)，已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是.
解析：记A＝“甲数是5的倍数”，B＝“甲数大于乙数”，则P(B|A)＝＝＝.
14．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝.
解析：因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝或p＝(舍去)，则P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)4＝1－＝.
15．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望Eξ＝5.
解析：由题意S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
16
P
所以Eξ＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.
16．已知随机变量Y只取a,1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当EY取最小值时DY等于.
解析：因为随机变量Y只取a,1这两个值，且P(Y＝a)＝a,0所以EY＝a2＋1－a＝2＋，
所以当a＝时，EY取最小值，
所以此时DY＝2＋2＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)．
解：∵EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3，
E(X2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11，
DX＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2，
∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4EX＋4＝27，D(2X－1)＝4DX＝8.
18．(12分)小王通过微信向在线的甲、乙、丙发放红包，每次发放1个，且发给每人的概率相等．
(1)若小王发放5元的红包2个，求恰好发给甲1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记发给乙的红包的总钱数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“恰好发给甲1个红包”为事件A，则
P(A)＝C××＝.
(2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20.
P(X＝0)＝()3＝，
P(X＝5)＝C××()2＝，
P(X＝10)＝()2×＋()2×＝，
P(X＝15)＝C×()2×＝，
P(X＝20)＝()3＝.
故X的分布列为
X
0
5
10
15
20
P
所以EX＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝.
19．(12分)某志愿者团体为积极配合奥运会志愿者招募工作，准备成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，初步选定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)记ξ为女同学当选的人数，求ξ的分布列；
(2)设至少有n名男同学当选的概率为Pn，求Pn≥时n的最大值．
解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)P4＝P(ξ＝0)＝<，
P3＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝<，
P2＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＋＝>.因此要使Pn≥，n的最大值为2.
20．(12分)甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是，，m，且三人能否达标互不影响．
(1)若三人中至少有一人达标的概率是，求m的值．
(2)设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望．
解：(1)设三人中至少有一人达标为事件A，则1－P()＝1－(1－m)＝?m＝.
(2)P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．(12分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则
P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望为EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
22．(12分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)，统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术
生物
化学
物理
数学
周一
周三
周五
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率．
(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A.
则P(A)＝××＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
P(X＝0)＝4×＝；
P(X＝1)＝C××3×＋4×＝；
P(X＝2)＝C×2×2×＋C××3×＝；
P(X＝3)＝C×3××＋C×2×2×＝；
P(X＝4)＝4×＋C×3××＝；
P(X＝5)＝4×＝.
所以，随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
3
4
5
P
故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.