选修2－3 模块综合测试
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，(A，B可以不相邻)那么不同的站法有( )
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
2．设随机变量ξ～N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于( )
A.p
B．1－p
C．1－2p
D.－p
3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
4．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
若Y＝2X＋3，则EY等于( )
A.
B.
C.
D.
5．一个袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记下颜色后放回，连续四次，设X为取得红球次数，则EX等于( )
A.
B.
C.
D.
6．设随机变量X满足P(X＝2)＝p，P(X＝0)＝1－p，则DX等于( )
A．p(1－p)
B．2p(1－p)
C．4p(1－p)
D．(1－p)2
7．若n的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
8．某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝6.5x＋17.5，则下列说法：①销售额y与广告费支出x正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为60万元．其中，正确说法有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程，则不同的承包方案有( )
A．30种
B．60种
C．150种
D．180种
10．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )
A.
B.
C.
D.
11．(x2－2x－1)n(n∈N＋)的展开式中含x奇次幂的项的系数之和为( )
A．1
B．(－2)n－1
C.
D.
12．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
附：
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
x0
2.706
3.841
5.024
χ2＝参照附表，得到的正确结论是( )
A．有95%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．有95%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝（
）
14．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400
）.
15．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1）(用数字作答)．
16．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是（
）
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)安排5名歌手的演出顺序．
(1)要求歌手甲不第一个出场，有多少种不同的排法？
(2)要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？
18．(12分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．
19．(12分)交5元钱，可以参加一次摸奖．一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所摸球的钱数之和．
(1)求摸奖者所得奖励为6元钱的概率；
(2)记X为摸奖者所得奖励钱数，求X的分布列和EX；
(3)求摸奖者获利的数学期望．
20．(12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
21．(12分)某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如表：
x(月)
1
2
3
4
5
y(千克)
0.5
0.9
1.7
2.1
2.8
(1)在给出的坐标系中(如图所示)，画出关于x，y两个相关变量的散点图；
(2)请根据表格提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程y＝bx＋a；
(3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．(参考公式b＝，a＝－b)
22．(12分)一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x1，x2，记Y＝(x1－3)2＋(x2－3)2.
(1)分别求出Y取得最大值和最小值的概率；
(2)求Y的分布列．选修2－3 模块综合测试
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，(A，B可以不相邻)那么不同的站法有( B )
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
解析：五人站成一排，共有A＝120种站法，B站在右边有A＝×120＝60种站法．故选B.
2．设随机变量ξ～N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于( D )
A.p
B．1－p
C．1－2p
D.－p
解析：因为P(ξ>1)＝p且对称轴为ξ＝0，知P(ξ<－1)＝p，所以P(－1<ξ<0)＝＝－p.故选D.
3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( C )
A．30
B．20
C．15
D．10
解析：x3的系数为C＝＝15.故选C.
4．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
若Y＝2X＋3，则EY等于( A )
A.
B.
C.
D.
解析：∵EX＝0×＋1×＋2×＝＝，
∴EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝2×＋3＝.
5．一个袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记下颜色后放回，连续四次，设X为取得红球次数，则EX等于( B )
A.
B.
C.
D.
解析：取一次取到红球的概率为，取到白球概率为，X～B，
所以EX＝4×＝.故选B.
6．设随机变量X满足P(X＝2)＝p，P(X＝0)＝1－p，则DX等于( C )
A．p(1－p)
B．2p(1－p)
C．4p(1－p)
D．(1－p)2
解析：EX＝2×p＋0×(1－p)＝2p，
DX＝(2－2p)2p＋(0－2p)2(1－p)
＝4p(1－p)(1－p＋p)＝4p(1－p)．故选C.
7．若n的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( B )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：的二项展开式的通项为Tr＋1＝C·xn－r·(2x)－r＝C·2－r·xn－2r，前三项的系数为20·C，2－1·C，2－2·C，由它们成等差数列，得n＝8或n＝1(舍去)．展开式通项为Tr＋1＝rCx8－2r，令8－2r＝4，得r＝2，所以x4项的系数为C·2－2＝7.故选B.
8．某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝6.5x＋17.5，则下列说法：①销售额y与广告费支出x正相关；②丢失的数据(表中▲处)为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为60万元．其中，正确说法有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由回归方程为y＝6.5x＋17.5，可知b＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，所以①是正确的；设丢失的数据为a，由表中的数据可得＝5，＝，把点代入回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得a＝30，所以②是正确的；该公司广告费支出每增加1万元，销售额应平均增加6.5万元，所以③不正确；若该公司下月广告费投入7万元，则销售额估计为y＝6.5×7＋17.5＝63万元，所以④不正确，故选B.
9．五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程，则不同的承包方案有( C )
A．30种
B．60种
C．150种
D．180种
解析：分两种情况，一种是有一个工程队承包3个工程，另两个工程队各承包1个工程，有C·A种方法；另一种是有两个工程队各承包2个工程，另一个工程队承包1个工程，有C·C·A种方法．所以共有C·A＋C·C·A＝150(种)承包方案．故选C.
10．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，∴某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×(1－)＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，∴某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为(1－)×(1－)＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝.
11．(x2－2x－1)n(n∈N＋)的展开式中含x奇次幂的项的系数之和为( D )
A．1
B．(－2)n－1
C.
D.
解析：设(x2－2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，
则a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝(－2)n，a0－a1＋a2－…＋a2n＝2n，
所以a1＋a3＋…＋a2n－1＝.故选D.
12．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
附：
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
x0
2.706
3.841
5.024
χ2＝参照附表，得到的正确结论是( C )
A．有95%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．有95%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：由公式可计算
χ2＝＝≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝1或－3.
解析：由题设知，令x＝0，得a0＝1，令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1＋m)6，
即(1＋m)6＝64.
故1＋m＝±2，m＝1或－3.
14．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400解析：由下图可以看出P(55015．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1解析：由已知得数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4，由分步乘法计数原理知满足条件的排列种数是240.
16．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是.
解析：4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4>p2，必有三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(10分)安排5名歌手的演出顺序．
(1)要求歌手甲不第一个出场，有多少种不同的排法？
(2)要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？
解：(1)先从甲以外的4名歌手中选1人出场，其他4名歌手任意排列，所以，共有CA＝96种演出顺序．
(2)A－2A＋A＝78(种)或分类完成：
第一类：甲最后一个出场，有A＝24(种)；
第二类：甲不最后一个出场，有CCA＝54(种)．
所以，共有24＋54＝78(种)演出顺序．
18．(12分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a的值．
19．(12分)交5元钱，可以参加一次摸奖．一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所摸球的钱数之和．
(1)求摸奖者所得奖励为6元钱的概率；
(2)记X为摸奖者所得奖励钱数，求X的分布列和EX；
(3)求摸奖者获利的数学期望．
解：(1)记摸奖者所得奖励为6元钱为事件A(摸到1个1元，1个5元)，则P(A)＝＝.
(2)X的取值为2,6,10.
由(1)知P(X＝6)＝，
又P(X＝2)＝＝，
P(X＝10)＝＝.
X的分布列为
X
2
6
10
P
EX＝2×＋6×＋10×＝＝(元)．
(3)设Y为摸奖者获利可能值，则Y＝X－5，
所以摸奖者获利的数学期望为
EY＝EX－5＝－5＝－＝－1.4(元)．
20．(12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有CC＋C＝7个，所以P＝.
(2)
甲班
乙班
合计
优秀
6
14
20
不优秀
14
6
20
合计
20
20
40
χ2＝＝6.4>5.024，
因此，我们有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
21．(12分)某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如表：
x(月)
1
2
3
4
5
y(千克)
0.5
0.9
1.7
2.1
2.8
(1)在给出的坐标系中(如图所示)，画出关于x，y两个相关变量的散点图；
(2)请根据表格提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程y＝bx＋a；
(3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．(参考公式b＝，a＝－b)
解：(1)散点图如图所示．
(2)
直线方程为y＝bx＋a＝0.58x－0.14.
(3)当x＝12时，y＝0.58×12－0.14＝6.82.
所以预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重为6.82千克．
22．(12分)一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x1，x2，记Y＝(x1－3)2＋(x2－3)2.
(1)分别求出Y取得最大值和最小值的概率；
(2)求Y的分布列．
解：(1)底面上的数字x可能是1,2,3,4，
则x－3的取值可能是－2，－1,0,1，
于是(x－3)2的所有可能取值为0,1,4.
因此Y的可能取值为0,1,2,4,5,8.
当x1＝1且x2＝1时，Y＝(x1－3)2＋(x2－3)2取得最大值8，此时P(Y＝8)＝×＝；
当x1＝3且x2＝3时，Y＝(x1－3)2＋(x2－3)2取得最小值0，此时P(Y＝0)＝×＝.
(2)由(1)知Y的可能取值为0,1,2,4,5,8，P(Y＝0)＝P(Y＝8)＝.
当Y＝1时，(x1，x2)可能为(2,3)，(4,3)，(3,2)，(3,4)，易知P(Y＝1)＝；
当Y＝2时，(x1，x2)可能为(2,2)，(4,4)，(4,2)，(2,4)，易知P(Y＝2)＝；
当Y＝4时，(x1，x2)可能为(1,3)，(3,1)，易知P(Y＝4)＝；
当Y＝5时，(x1，x2)可能为(2,1)，(1,4)，(1,2)，(4,1)，易知P(Y＝5)＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
4
5
8
P