12.1 轴对称——线段垂直平分线的性质

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12.1 轴对称（二）
——线段垂直平分线的性质
人教版初中数学
八年级上册十二章第一节
复习旧知
1、线段是轴对称图形吗？如果是请指 出它的对称轴在哪儿？
2、什么是线段的垂直平分线？
根据图形试着用符号语言描述出来。
A
B
M
N
C
∵ AB ⊥MN ， AC=BC
∴MN是线段AB的垂直平分线
∵ MN是线段AB的垂直平分线
∴ AB ⊥MN ，AC=BC
在一张纸上任意画一条线段AB
将纸对折，使线段端点A，B重合
把纸展开，并画出折痕所在直线MN
在MN上任取一点P，分别连接PA，PB
将纸沿着MN对折，观察PA和PB，有什么现象？
（B）
A
B
N
M
P
在一张纸上任意画一条线段AB
将纸对折，使线段端点A，B重合
把纸展开，并画出折痕所在直线MN
在MN上任取一点P，分别连接PA，PB
将纸沿着MN对折，观察PA和PB，有什么现象？
结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
我们已经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗
回顾 思考
题设：
一个点在线段的垂直平分线上
结论：
这个点与这条线段两个端点距离相等
已知:如图,直线MN⊥AB，垂足是C，AC=CB，
点 P在MN上。
求证:PA=PB.
证明：∵ MN⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又 AC=CB，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB （SAS）
∴ PA=PB
A
C
B
P
M
N
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
应用格式：
∵ AC=BC，MN⊥AB，P
是MN上任意一点
∴ PA=PB
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
′
驶向胜利的彼岸
思考分析
请将命题：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的题设、结论互换位置，并试着用语言描述出来
命题 ：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗 如果是，请试着证明它。
已知: 如图, PA=PB
求证: 点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：如图，做PC⊥AB，垂足是C
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又 PA=PB，PC=PC
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB （HL）
∴ AC=BC
∴ PC是线段AB的垂直平分线
即，点P在线段AB的垂直平分线上
C
B
A
P
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
应用格式：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线
上
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
C
B
P
智勇大闯关
判断下列说法是否正确：
①若直线PE是线段AB的垂直平分线，垂足为E，则EA=EB，PA=PB；
②若PA=PB，EA=EB，则PE是线段AB的垂直平分线；
③若PA=PB，则点P必在线段AB的垂直平分线上；
④若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线．
B
A
E
P
√
√
√
×
关卡一：
驶向胜利的彼岸
如图,已知AB是线段CD的垂直平分线，E是垂足，F是AB上的一点,如果EC=3cm，FC=7cm，那么ED= cm，FD= cm。
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
7
F
D
A
B
C
E
3
关卡二：
已知：如图，AB=AC=12 cm，
AB的垂直平分线分别交AC、AB
于D、E，△ABD的周长等于29
cm，求DC的长.
A
B
C
D
E
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
（第1题图）
（第2题图）
必做： 1. 课本 P37 习题12.1 5题
2. 同步学习 P25基础自测
3. 预习课本 P34-35
选作： 1. 课本 P38 习题12.1 12题
2.同步学习 P25拓展提高