六年级数学下册教案-5.鸽巢问题-人教版

鸽巢问题
第1课时　鸽巢原理
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一、教学内容
鸽巢原理。(教材第68～69页例1、例2)
二、教学目标
1．在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，认识理解“鸽巢原理”。
2．提高有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．通过认识理解“鸽巢问题”，激发学习兴趣，感受数学的魅力。
三、重点难点
重点：理解“鸽巢问题”的一般化模型推理过程。
难点：理解“鸽巢原理”的一般规律。
四、教学准备
教师准备：课件PPT、铅笔、笔筒、书等。
教学过程
一、情境引入
师：同学们，老师给大家表演一个“魔术”。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，请5个同学上来，每人随意抽一张，我知道至少有2人抽到的是同花色的，相信吗？试一试。
师生共同玩几次这个“小魔术”，验证一下。
师：想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题。(板书课题：鸽巢原理)
二、学习新课
1．教学教材第68页例1。
(课件出示教材第68页例1)
(1)把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
提问1：“总有”是什么意思？(一定有)
提问2：“至少”有2支是什么意思？(不少于2支，可能是2支，也可能是多于2支)
探究把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
①用实际操作证明。
通过摆放铅笔进行操作，4支铅笔放进3个笔筒中，把各种情况都摆出来，如下图：
由此发现，把4支铅笔放进3个笔筒中，一共有4种情况，在每种情况中，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
②用数的分解法证明。
可以把4分解成3个数，如图：
由此发现，把4分解成3个数共有4种情况，每一种结果的3个数中，至少有一个数是不小于2的。
③用反证法(或假设法)证明。
假设先在每个笔筒里放1支铅笔。那么，3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔，放进任意一个笔筒里，那么这个笔筒里就有2支铅笔。
(2)认识“鸽巢问题”与“鸽巢原理”。
像上面这样的问题就是“鸽巢问题”，它所蕴含的这种原理叫做“鸽巢原理”，也称为“抽屉原理”。在这里，“4支铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个笔筒”相当于“3个抽屉”。把这个问题用“鸽巢原理”的语言描述就是：把4只鸽子放进3个鸽巢中，总有一个鸽巢中至少放2只鸽子。
(3)理解“鸽巢原理”。
如果把5支铅笔放进4个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔；如果把6支铅笔放进5个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔；如果把8支铅笔放进6个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔……
结论：把铅笔放进笔筒中，如果要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
2．教学教材第69页例2。
(课件出示教材第69页例2)
(1)把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？自己想一想，再跟小组的同学交流。
①我们可以动手操作，选用列举的方法：
第一个抽屉 7 6 5 5 4 4 3 3
第二个抽屉 0 1 1 2 1 3 1 2
第三个抽屉 0 0 1 0 2 0 3 2
通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。
②用数的分解法进行证明。
把7本书放进3个抽屉，就是把7分解成3个数。如图：
把7分解成3个数，共有8种情况，在任何一种情况中，总有一个数不小于3。
(2)提问：通过上面两种方法，我们知道了把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多，数据变大，如果有8本书会怎样呢？10本呢？甚至更多呢？用列举法、数的分解法会变得繁琐，我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢？请同学们自己想一想。
①假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢？
明确：7÷3＝2……1
把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。
②如果有8本书会怎样呢？
明确：8÷3＝2……2，可以知道把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩2本；把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉至少放3本书。
……
小结：要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n＝b……c(c≠0)，那么一定有一个抽屉至少放(b＋1)个物体。
三、巩固反馈
1．完成教材第68页“做一做”。(学生独立完成，然后点名学生汇报解题思路及过程)
第1题：如果每个鸽笼只飞进1只鸽子，最多能飞进3只鸽子，剩下的2只鸽子还要飞进其中任意2个或1个鸽笼里，所以总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
第2题：一副扑克牌共54张，去掉2张王牌，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色。把4种花色看作4个“鸽巢”，把5张扑克牌放进4个“鸽巢”中，必然有一个“鸽巢”中至少有2张扑克牌，即至少有2张牌是同花色的。
2．完成教材第69页“做一做”。(学生独立完成，然后点名学生汇报解题思路及过程)
第1题：11÷4＝2(只)……3(只)，可知如果每个鸽笼飞进2只鸽子，剩下的3只鸽子再飞进其中任意3个鸽笼，那么总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
第2题：5÷4＝1(人)……1(人)，可知如果每把椅子上坐1人，剩下的1人再坐其中任意的1把椅子上，那么总有1把椅子上至少坐2人。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么新的收获？
板书设计
鸽巢原理
要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n＝b……c(c≠0)，那么一定有一个抽屉至少放(b＋1)个物体。
教学反思
1．培养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，将问题转化成“有余数的除法”形式，可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。
2．经历将具体问题“数学化”的过程，有利于提高学生的数学思维能力，让学生在运用新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中，进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】有11名同学到老师家去借书，老师的书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借2本不同类型的书，最少借1本。至少有几名同学所借的书的类型相同？
分析：列表找出借一本书和借两本不同类型的书的所有可能情况。
借一本书 A、B、C、D，共4种
借两本不同类型的书 AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种
合计 10种
把10种类型看作10个鸽巢，把11名同学看成11个物体，所以至少有2名同学所借的书的类型完全相同。
解答：至少有2名同学所借的书的类型完全相同。
相关知识阅读
二桃杀三士与抽屉原理
齐景公蓄养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，连齐国的宰相晏婴都不放在眼里，终于得罪了晏婴。晏婴便劝齐景公杀掉他们。齐景公对晏婴言听计从，但却心存疑虑，恐怕用武力制服不了三人，如果他们联合起来反抗，问题就麻烦了。晏婴便献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是，公孙接讲了自己的打虎功，拿了一个桃子；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一个桃子。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子，说：“咱本领不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去！”说罢都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。心想：“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士的威严；为了满足自己而羞辱同伴，又有损兄弟的义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士？”便仰天长叹一声，也拔剑自杀了。晏婴采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。值得指出的是，在晏婴的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。
什么叫抽屉原理？简单地说就是：把m个物品放到n(m>n)个抽屉里，至少有一个抽屉里的物品不止一个。更一般地说，把(m×n＋1)个物品放到m个抽屉里，总有一个抽屉里的物品至少有(n＋1)个。例如，把(3×2＋1)本书放到三个抽屉里，不管你怎么放，总有一个抽屉里至少有(2＋1)本书。在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲惨的结局就无法避免。
第2课时　鸽巢原理的具体应用
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一、教学内容
鸽巢原理的具体应用。(教材第70页例3)
二、教学目标
1．在了解简单的“抽屉原理”的基础上，会用此原理解决简单的实际问题。
2．经历运用鸽巢原理解决问题的过程，体验观察猜想和实践操作的学习方法。
3．加强数学知识与日常生活的联系，激发学习兴趣，提高动手操作能力。
三、重点难点
重难点：掌握鸽巢原理的逆应用。
四、教学准备
教师准备：课件PPT、纸盒1个、红球和蓝球各4个。
教学过程
一、情境引入
讲《月黑风高穿袜子》的故事。
一天晚上，毛毛房间的电灯忽然坏了，伸手不见五指。这时他又要出去，于是他就摸床底下的袜子。他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中，无法知道哪两只是颜色相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少应该拿几只袜子出去吗？
这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。(板书课题：鸽巢原理的具体应用)
二、学习新课
鸽巢原理的具体应用。
(课件出示教材第70页例3)
(1)盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
①猜测可能出现：摸2个、3个、4个、5个等。
②按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。
摸2个球可能出现的情况：1红1蓝；2个红球；2个蓝球。
摸3个球可能出现的情况：2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝。
摸4个球可能出现的情况：2红2蓝；3蓝1红；3红1蓝；4红；4蓝。
摸5个球可能出现的情况：4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红。
③小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸3个球。
(2)引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
①思考。
a．“摸球问题”与“抽屉原理”有怎样的联系？
b．应该把什么看成“抽屉”？有几个“抽屉”？要分放的东西是什么？
②把问题转化为“抽屉问题”。
因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，把“摸球问题”转化成“抽屉问题”，即“只要分的物体个数比抽屉个数多，就能保证有一个抽屉至少有2个球”。
从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了1个，也就是在两个“抽屉”里各拿了1个球，不管从哪个“抽屉”里再拿1个球，都有2个球是同色的，假设最少要摸a个球，即a÷2＝1……b，当b＝1时，a就最小。所以一次至少应拿出1×2＋1＝3(个)球，就能保证有2个球同色。
(3)结论：要保证摸出2个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
三、巩固反馈
完成教材第70页“做一做”。(学生独立完成，点名学生汇报，并集体评议)
第1题：“六年级里至少有两人的生日是同一天”，这种说法是正确的。因为如果一年当中每天都有一名学生过生日(闰年366天)，则最多有366名学生的生日都不是在同一天，还剩下1名学生；剩下的这一名学生生日无论在哪一天，都一定会与前面366名同学中的一人的生日是相同的，即他们的生日在同一天。
“六(2)班中至少有5人的生日在同一个月”这种说法是正确的。因为由49÷12＝4(人)……1(人)，可知如果每4人是同一个月出生的，还剩下1人。把剩下的1人再定为其中任意一个月出生的，则六(2)班中至少有5人是同一个月出生的。
第2题：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
鸽巢原理的具体应用
要保证摸出2个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
教学反思
1．在思考应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么时，学生一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。不同颜色的球的个数，很容易给学生造成干扰。因此教学时，教师要鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
2．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？
分析：把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有5个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢数的(5－1)倍多1个，而(25－1)÷(5－1)＝6，所以最多放进6个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。
解答：最多放进6个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。
解法归纳：(分放的物体总数－1)÷(其中一个鸽巢里至少有的物体个数－1)＝a……b，则a就是所求的鸽巢数。
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鸽巢原理
鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。
其中一种简单的表述法为：
若有n个笼子和n＋1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。
另一种表述法为：
若有n个笼子和kn＋1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少(k＋1)只鸽子。
第3课时　鸽巢问题(练习课)
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一、教学内容
鸽巢问题练习。(教材第71页练习十三)
二、教学目标
1．进一步理解和掌握鸽巢原理。
2．能比较灵活地运用鸽巢原理解决实际问题。
3．经历鸽巢问题的思考练习过程，体验数学知识之间的联系和数学知识的广泛应用。
三、重点难点
重难点：灵活运用有关鸽巢原理的知识分析问题。
教学过程
一、基础练习
1．教材第71页练习十三第1题。
组织学生独立思考，并在小组中说一说自己的想法。
2．教材第71页练习十三第2题。
组织学生独立思考，并和同桌议一议、说一说，教师点名学生回答。
3．教材第71页练习十三第3题。
组织学生独立思考，并在小组内讨论、交流思路和方法。
二、指导练习
1．教学教材第71页练习十三第4题。
(课件出示教材第71页练习十三第4题)
组织学生认真读题，理解题意。
学生独立完成，教师点名回答，集体订正。
2．教学教材第71页练习十三第5题。
(课件出示教材第71页练习十三第5题)
让学生罗列出三个不同的自然数，看看可以是多少个偶数和多少个奇数的组合。
组织学生对每一种组合进行分析，得出结论：其中一定有2个数的和是偶数。
三、巩固练习
1．完成教材第71页练习十三第6题。(学生独立完成，小组讨论并汇报)
如果给每个格子涂上红色或蓝色，每列的涂法共有8种：
红 红 红 红 蓝 蓝 蓝 蓝
红 红 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红
红 蓝 蓝 红 蓝 红 蓝 红
把这8种涂法看作8个“鸽巢”，把9列格子看作是9个要分放的物体，9÷8＝1(列)……1(列)，所以无论怎么涂，至少有1＋1＝2(列)的涂法相同。
如果只涂两行，每列的涂法共有4种：
红 红 蓝 蓝
红 蓝 红 蓝
同理，把这4种涂法看作4个“鸽巢”，把9列格子看作是9个要分放的物体，9÷4＝2(列)……1(列)，所以无论怎么涂，至少有2＋1＝3(列)的涂法相同。
2．填空。
(1)实验小学有370名学生是2010年出生的，那么其中至少有(　2　)名学生的生日是在同一天。
(2)一个盒子里有形状、大小相同的黑、白两种棋子各16枚，要想摸出的棋子一定有2枚是同色的，最少要摸出(　3　)枚棋子。
(3)3个连续自然数分别除以2后，必有(　2　)个余数相同。
3．盒子里有黑、白、红、黄球各3个，那么至少取出多少个球，可以保证能取到2个颜色相同的球？为什么？
5个。因为要保证取到2个颜色相同的球，可以先将4种不同颜色的球各取1个，再任意取出1个，一定是这4种颜色之一，即至少要取出：4＋1＝5(个)。
四、课堂小结
通过本节课的练习，你是否对鸽巢原理有了更深的了解？
板书设计
鸽巢问题(练习课)
　第6题
(1)给每个格子涂上红色或蓝色：
红 红 红 红 蓝 蓝 蓝 蓝
红 红 蓝 蓝 红 蓝 蓝 红
红 蓝 蓝 红 蓝 红 蓝 红
9÷8＝1(列)……1(列)
1＋1＝2(列)
至少有2列的涂法相同。　　　　　　(2)只涂两行：
红 红 蓝 蓝
红 蓝 红 蓝
9÷4＝2(列)……1(列)
2＋1＝3(列)
至少有3列的涂法相同。
教学反思
1．本节课首先通过三个基础练习回顾了鸽巢原理，接下来的练习题是鸽巢问题的实际应用，虽然鸽巢问题的原理比较简单，但是在实际的题目当中，最主要的是帮助学生在不同的题目中找出该道题目的“鸽巢”是什么，然后要放到“鸽巢”里的东西是什么，只有让学生在解题时有了构建鸽巢问题模型的能力，才能使学生真正地理解鸽巢原理，以便更好地解决鸽巢问题。
2．鸽巢问题的出题方式都比较有趣，可以涉及生活的许多不同的方面。在解决这些问题时可以让学生通过动手，构建解题的模型，用实物去解决问题，教师要提高学生的这种能力，才能让学生真正地学会学习，产生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？
分析：若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则说明每三个位的中间一定有一个人，再根据抽屉原理进行解答即可。
解答：20÷3＝6(人)……2(个)
6＋1＝7(人)
答：原来至少有7人就座。
解法归纳：解答此题的关键是把每3个座位看作一个“鸽巢”。