六年级数学下册教案比例的应用人教版（6课时）
文档属性
| 名称 | 六年级数学下册教案比例的应用人教版（6课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 449.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-09 17:39:02 | ||
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文档简介
3 比例的应用
第1课时 比例尺
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教学导航
一、教学内容
比例尺。(教材第53页例1)
二、教学目标
1．从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。
2．会求一幅图的比例尺。
3．经历比例尺的探究过程，体验从实践中学习的方法，感受数学知识与日常生活的密切联系，培养探究意识和创新意识。
三、重点难点
重点：理解比例尺的含义。
难点：求一幅图的比例尺。
教学过程
一、情境引入
师：前面我们学习了比例的知识。比例的知识在实际生活中有什么用途呢？请同学们看一看我们教室有多大，它的长和宽大约是多少米。(学生观察并回答)
师：如果我们要绘制教室的平面图，若是按实际尺寸来绘制，需要多大的图纸？可能吗？如果要画中国地图呢？于是，人们就想出了一个聪明的办法：在绘制地图和其他平面图的时候，把实际距离按一定的比缩小，再画在图纸上，有时也把一些尺寸小的物体(如机器零件等)的实际距离按一定的比扩大，再画在图纸上。(课件出示教室平面图、机器零件图)
师：不管是哪种情况，都需要确定图上距离和实际距离的比，这就是我们今天要学习的内容——比例尺。(板书课题：比例尺)
二、学习新课
1．比例尺的意义。
师：如果要把一条2 m长的线段画在作业本上，你准备用图上几厘米表示实际2 m?
组织学生独立完成，小组内互相展示，说说自己是怎么画的。
学生可能会用1 cm表示2 m或用2 cm表示2 m。
教师小结：图上画出的1 cm、2 cm叫“图上距离”，2 m叫“实际距离”。
师：在绘制地图和其他平面图时，经常要用到“图上距离和实际距离的比”，我们把它叫做“比例尺”。
图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺(板书)
提示：图上距离是比的前项，实际距离是比的后项。
2．比例尺的种类。
(1)数值比例尺。
(课件出示比例尺是数值比例尺的地图)
师：观察1∶100000000。比例尺中的“1”表示什么？“100000000”表示什么？
学生思考，相互交流，汇报结果。
明确：“1”表示图上距离，“100000000”表示实际距离，也就是说图上1 cm的距离表示实际距离100000000 cm。
说明：1∶100000000是数值比例尺，有时写成。
(2)线段比例尺。
课件出示地图，引导学生观察比例尺。
明确：这是线段比例尺，表示线段的长度1 cm是图上距离，50 km是实际距离，也就是说图上距离1 cm代表实际距离50 km。
(3)放大比例尺。
课件出示零件图纸。引导学生观察并思考图中的比例尺2∶1表示什么？
明确：2∶1表示图上距离是实际距离的2倍。
小结：①缩小比例尺：在绘图时，有时需要把实际距离按一定的比例缩小后在图纸上画出来，用这种方法得到的比例尺就是缩小比例尺。前面提到的比例尺1∶100000000，比例尺1∶5000000都是缩小比例尺。为了计算方便，把缩小比例尺写成带比号的形式，前项一般化为1；若写成分数形式，分子一般化为1。
②放大比例尺：在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件的尺寸按一定的比放大后画在图纸上，这样的比例尺就是放大比例尺。如一幅零件图纸的比例尺是2∶1，它表示图上距离2 cm相当于实际距离1 cm，就是图上距离是实际距离的2倍，这是一个放大比例尺。为了计算方便，通常把放大比例尺的后项写成1。
3．已知图上距离和实际距离，求比例尺。
(课件出示教材第53页例1)
组织学生阅读题目，理解题意。
师：从题中你得到了哪些信息？
明确：①实际距离是120 km，图上距离是2.4 cm；②要求这幅地图的比例尺。
师：应该怎样求出比例尺呢？
明确：根据“比例尺＝图上距离：实际距离”来求。
学生根据公式独立完成计算，汇报结果。
教师强调：图上距离和实际距离的单位要相同，并板书：
120 km＝12000000 cm
2.4∶12000000＝1∶5000000
教师小结：已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离就可以求出比例尺。
三、巩固反馈
1．完成教材第53页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
2 cm＝20 mm
20∶5＝4∶1
2．完成教材第56页“练习十”第1题。
3．把改写成数值比例尺是( A )
A．1∶4000000
B．1∶8000000
C．1∶12000000
4．在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是4 cm，而甲、乙两地的实际距离是180 km，这幅地图的比例尺是多少？
180 km＝18000000 cm
4∶18000000＝1∶4500000
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
比例尺
图上距离∶实际距离＝比例尺 或 ＝比例尺
例1 120 km＝12000000 cm 2.4∶12000000＝1∶5000000
答：这幅地图的比例尺是1∶5000000。
教学反思
1．在教学比例尺的意义时，由简单的画图到具体分析计算图上距离和实际距离关系的思维过程中，同学们对生活问题数学化后，比例尺意义的揭示就成为必然。学生的学习因为适时的讲解有了自然过渡，实现了学生认知的和谐发展。
2．数学教学中，应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。这一过程也就是生活经验和新旧数学知识的融合过程，融合促进了学生的主动建构，提高了学生的应用能力和学习能力，实现了学生的生命发展。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】一辆汽车从A地开往B地，先以每小时80 km的速度行驶3小时，剩下的路程以每小时60 km的速度行驶了6小时。若在一幅地图上测得A、B两地的距离为6 cm，则这幅地图的比例尺为多少？
分析：已知图上距离，要求比例尺，还需要知道实际距离。实际距离可根据“路程＝速度×时间”求得，再根据“图上距离：实际距离＝比例尺”计算出比例尺。
解答：80×3＋60×6＝600(km)
600 km＝60000000 cm
6∶60000000＝1∶10000000
答：这幅地图的比例尺为1∶10000000。
解法归纳：通过题中已知条件求出实际距离，然后根据比例尺的意义求得比例尺即可。
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地图上的比例尺
根据地图的用途、所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的评略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十万分之一的地图称为大比例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于一百万分之一的地图，称为小比例尺地图。
在同样的图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精确度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，图内表示的内容越简略，精确度越低。地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。
第2课时 比例尺的应用
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一、教学内容
比例尺的应用。(教材第54～55页例2、例3)
二、教学目标
1．能根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2．学会用比例尺画图并解决问题，提高解决实际问题的能力。
3．体会比例尺在日常生产与生活中的应用。
三、重点难点
重点：根据比例尺求出图上距离或实际距离。
难点：根据比例尺画图。
教学过程
一、复习引入
师：什么是比例尺？比例尺1∶1000表示什么？
明确：(1)图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺
(2)1∶1000表示图上距离与实际距离的比。
师：怎样求比例尺？
学生回答：根据公式“图上距离：实际距离＝比例尺”去求。
师：今天我们就来学习如何利用比例尺求图上距离或实际距离，并运用比例尺画平面图。(板书课题：比例尺的应用)
二、学习新课
1．已知比例尺和图上距离，求实际距离。
(课件出示教材第54页例2)
师：从题中已知什么？求什么？
已知这幅图的比例尺是1∶400000，图上距离是7.8 cm，要求两地的实际距离是多少。
师：这个问题怎么解答呢？你是怎么想的？
学生讨论，说说自己的解决方案，并独立完成。
(方法一)从比例尺我们可以知道，这幅图中图上距离1 cm表示实际距离400000 cm，那么图上距离2 cm表示的实际距离就是400000 cm的2倍，图上距离3 cm表示的实际距离就是400000 cm的3倍……所以图上距离7.8 cm表示的实际距离就是400000 cm的7.8倍，可以用算式计算：400000×7.8＝3120000(cm)＝31.2(km)，即从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2 km。(板书)
(方法二)我们可以根据比例尺的公式，设从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是x cm，这样就可以写出比例式7.8∶x＝1∶400000，然后解比例，就能求出从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是3120000 cm，也就是31.2 km。(板书)
2．已知比例尺和实际距离，求图上距离。
(课件出示教材第55页例3)
师：你从题中知道了什么？要想解决问题，该怎么做呢？
明确：已知比例尺是1∶10000以及实际距离和方位，要求画出他们三家和学校的平面图，我们首先就要算出相关的图上距离。
师：该怎样计算图上距离呢？
明确：根据“＝比例尺”，推出“图上距离＝实际距离×比例尺”，可以求出图上距离，知道图上距离后，根据叙述语言就能画出平面图了。
组织学生小组内完成，汇报结果，教师板书：
200 m＝20000 cm
400 m＝40000 cm
250 m＝25000 cm
小明家到学校的图上距离：
20000×＝2(cm)
小亮家到学校的图上距离：
(40000－20000)×＝2(cm)
小红家到学校的图上距离：
25000×＝2.5(cm)
组织学生分小组画图，各组展示所画平面图，集体订正。
他们三家和学校的位置平面图如图所示：
师：今天你学会了解决哪些问题？用什么方法解决？求解时需要注意什么？
学生讨论、交流。
教师总结：不管是求图上距离还是求实际距离，都要弄清题中的条件和问题，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式解答。求解时要注意单位的统一，最后结果的单位要与问题一致或化简。
三、巩固反馈
1．完成教材第54页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
1∶60000
60000×3＝180000(cm)
180000 cm＝1800 m
2．完成教材第55页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
80 m＝8000 cm
8000×＝4(cm)
60 m＝6000 cm
6000×＝3(cm)
3．填表。
图上距离 实际距离 比例尺
6 cm 150 km 1∶2500000
1.5 cm 45 km 1∶3000000
4 cm 0.8 mm 50∶1
四、课堂小结
1．在本节课的学习中，你有哪些收获？
2．自由交流各自的收获、体会。
板书设计
比例尺的应用
例2 (方法一)400000×7.8＝3120000(cm)＝31.2(km)
(方法二)解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是x cm。
7.8∶x＝1∶400000
x＝400000×7.8
x＝3120000
3120000 cm＝31.2 km
答：从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2 km。
例3 200 m＝20000 cm 400 m＝40000 cm 250 m＝25000 cm
小明家到学校的图上距离：20000×＝2(cm)
小亮家到学校的图上距离：(40000－20000)×＝2(cm)
小红家到学校的图上距离：25000×＝2.5(cm)
教学反思
1．通过本节课的教学，学生学得还是比较轻松的。无论从学生学习新知的状态，还是从参与程度上，都很好地体现了学生是学习的主体，尤其是一些概念性知识的总结环节，学生学得很主动。比例尺的转化和有关计算是本节课的重点和难点，而理解比例尺的含义虽是上节课的内容，但是是突破这一重点和难点的基础和前提，所以我在教学中对于重点的把握还是可以的。只是在这节课中还有一点遗憾，就是感觉到对于教材的拓展方面还有一些欠缺，所以在这方面还需努力，而且对于一些后进生来说，知识点多，理解起来比较慢，掌握起来还有些难度。所以，学生在计算过程中，教师要不断强调有关注意事项。
2．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】原有一幅比例尺为1∶50000的地图，现在要改用的比例尺重新绘制，原地图中4.8 cm的距离在新地图中应该画多少厘米？
分析：不管比例尺怎么变，原地图中4.8 cm表示的实际距离是不变的。根据原地图的比例尺先求出原地图中4.8 cm表示的实际距离，再根据新地图的比例尺求出实际距离在新地图上的距离。
解答：4.8÷＝240000(cm)
240000×＝12(cm)
答：在新地图中应该画12 cm。
解法归纳：解决此类问题的关键是求出题中的不变量，即实际距离。
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空间比例尺
空间比例尺是摄影所特有的不同于绘画的空间意识。我们通常所见的摄影作品大多是平面的视觉表达，现实生活中立体的、有深度的空间在作品中都得转化为平面的视觉形象，从而摄影画面中的空间表达也必须借助于摄影自身的独特的表达方式，才能在观众解读时还原为原空间的真实感受。摄影营造空间的方式主要有线条透视、影调透视和色彩透视、摄影画面明示与暗示等。空间存在的方式主要有运动、指示、视线、明暗等。
第3课时 比例尺(练习课)
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一、教学内容
比例尺的练习。(教材第56～58页练习十第2、4、5、7、8、9题)
二、教学目标
1．进一步理解比例尺的意义。
2．能熟练地求比例尺、图上距离和实际距离，并能应用比例尺画图。
3．经历应用知识的过程，体验数学知识的应用价值。
三、重点难点
重点：求比例尺、图上距离和实际距离。
难点：提高解决问题的能力。
教学过程
一、基础练习
1．选择超市。
(1)下列说法正确的是( )
A．比例尺是一种特殊的尺子
B．图上距离与实际距离的比叫做比例尺
C．实际距离与图上距离的比叫做比例尺
(2)把线段比例尺改写成数值比例尺是( )
A．1∶40
B．1∶400
C．1∶4000000
(3)一个零件的实际长度是4 mm，在一幅图纸上量得它的长度是24 cm，这幅图纸的比例尺是( )
A．6∶1 B．1∶60 C．60∶1
(4)在比例尺是1∶26000000的中国地图上，量得武汉到重庆的图上距离是3 cm。武汉到重庆的实际距离是( )
A．78 km B．780 km C．7800 km
(5)在比例尺是1∶50000的地图上，已知甲、乙实际距离相距5 km，甲、乙两地图上距离( )
A．10 cm B．50 cm C．100 cm
2．在比例尺1∶6000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8 cm，如果一辆汽车以每小时80 km的速度从甲地开出，几小时到达乙地？
二、指导练习
1．求比例尺。
(1)教学教材第56页练习十第2题。
(课件出示教材第56页练习十第2题)
师：这幅图纸有什么特点？它的比例尺有什么特点？
明确：这是缩小后的图纸，比例尺的前项是1。
组织学生独立完成，汇报结果，集体订正。
(2)教学教材第56页练习十第4题。
(课件出示教材第56页练习十第4题)
师：这幅图有什么特点？它的比例尺有什么特点？
明确：这是放大后的图，比例尺的后项是1。
组织学生独立完成，汇报结果，集体订正。
2．求图上距离或实际距离。
(1)教学教材第57页练习十第8题。
师：已知比例尺和实际距离，求图上距离怎么求？已知比例尺和图上距离，求实际距离怎么求？
学生讨论交流，点名学生回答。
组织学生独立完成教材第57页练习十第8题，集体订正。
(2)教学教材第57页练习十第5、7题。
(课件出示教材第57页练习十第5题)
组织学生认真读题，说一说已知什么。求什么。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
(课件出示教材第57页练习十第7题)
组织学生认真读题，说一说已知什么。求什么。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
3．比例尺的应用。
教学教材第57页练习十第9题。
(课件出示教材第57页练习十第9题)
组织学生认真读题，理解题意。
点名学生说一说如何确定小明、小丽、小红的位置。
学生独立进行计算，并在题图中标出三个人的位置，教师巡视指导。
三、巩固练习
1．完成教材第56页“练习十”第3题。(学生独立完成，集体订正)
(1)团结路在图上的长度为6 cm。
18000 m＝1800000 cm
6∶1800000＝1∶300000
(2)
2．完成教材第58页“练习十”第11题。(用图上1 cm表示实际距离200 m，小组合作完成，相互交流)
四、课堂小结。
通过本节课的练习，你有哪些收获？
板书设计
比例尺(练习课)
第5题 解：设上海到杭州的实际距离是x cm。
3.4∶x＝1∶5000000
x ＝17000000
17000000 cm＝170 km
答：上海到杭州的实际距离是170 km。
第7题 解：设地图上两地之间的长度是x cm。
1900 km＝190000000 cm
x∶190000000＝1∶40000000
x ＝4.75
答：地图上两地之间的长度是4.75 cm。
教学反思
1．本节课的重点和难点在于熟练掌握比例尺、图上距离和实际距离三者之间的变换，我通过形式多样的习题指导和讲解，使学生深刻理解了比例尺的概念和意义，体会到了比例尺这一数学知识给我们生活带来的便利。在一定程度上，也使学生体会到了学习数学知识的乐趣，培养了学生热爱数学的情感。
2．我先用几个简单的概念计算题回顾引入比例尺的相关知识，让学生充分热身。紧接着，我通过引导组织学生动手探究、小组交流的方式，帮助学生多次应用比例尺来解决生活实际问题，保证了学生的课堂兴趣，也提高了学生将某些实际问题转换成所学知识的能力。本节课不仅对学生的解决问题能力提出了要求，也对学生发现问题、提出问题等方面的能力进行了训练，全面开拓了学生的思维。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离是6 cm，甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，匀速行驶，经过4 h相遇。已知甲、乙两车的速度比为7∶8，甲、乙两车的速度各是多少？
分析：根据题中的图上距离和比例尺，可以列方程求出A、B两地的实际距离，再根据“路程÷时间＝速度”求出两车的速度和，最后用按比例分配的知识分别求出两车的速度。
解答：解：设A、B两地的实际距离是x cm。
＝
x ＝18000000
18000000 cm＝180 km
180÷4＝45(km/h)
45×＝21(km/h)
45×＝24(km/h)
答：甲车的速度是21 km/h，乙车的速度是24 km/h。
第4课时 图形的放大与缩小
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一、教学内容
图形的放大与缩小。(教材第59页、第60页例4)
二、教学目标
1．从数学的角度认识放大与缩小现象，体会图形相似变化的特点。
2．掌握图形的放大或缩小的方法，能在方格纸上按一定的比将简单的图形放大或缩小。
3．激发学习数学的兴趣和求知欲，在学习活动中感受数学的乐趣。
三、重点难点
重点：通过图形的放大和缩小体会图形的相似性。
难点：会按一定的比将图形放大或缩小。
教学过程
一、情境引入
(出示教材第59页的图)
师：说一说，图中反映的是什么现象。
学生讨论交流。
师：哪些是放大？哪些是缩小？
明确：第一幅图是缩小；第二幅图是放大；第三幅图是放大；第四幅图是放大。
师：由此说明，生活中存在许多放大与缩小的现象，现在我们就从数学的角度来研究“图形的放大与缩小”。(板书课题：图形的放大与缩小)
二、学习新课
教学教材第60页例4。
(1)探究放大的意义。
(课件出示教材第60页例4)
师：按2∶1放大图形是什么意思？
明确：按2∶1放大，就是把图形的各边放大到原来的2倍。
组织学生画出放大后的图形，教师巡视，发现学生在画图过程中遇到的问题。
师：你是怎么画的？
明确：计算各图形放大后的边长：正方形的边长为3格，放大到原来的2倍后变为6格；长方形的长为4格，宽为2格，放大到原来的2倍后，长变为8格，宽变为4格；直角三角形的两条直角边长分别为3格、4格，放大到原来的2倍后，两条直角边长分别变为6格、8格。
课件展示画出放大后的图形如图：
师：通过数一数或者量一量的方法，看看三角形斜边的长度，你发现了什么？
发现：放大后的三角形的斜边也变为原来的2倍。
师：观察一下放大后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？
学生思考，小组讨论交流，汇报结果。
小结：一个图形如果按2∶1放大后，图形各边的长度放大到原来的2倍，但图形的形状没有变。
(2)探究缩小的意义。
师：如果把放大后的正方形按1∶3，长方形按1∶4，三角形按1∶2缩小。各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画看。
学生在方格纸上画一画。
课件出示缩小后的图形。
师：按1∶3,1∶4,1∶2缩小分别是什么意思？
明确：按1∶3,1∶4,1∶2缩小，就是把图形的各边缩小为原来的，，。
师：观察一下缩小后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？
学生思考，小组讨论交流，汇报结果。
三、巩固反馈
1．完成教材第60页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
2．完成教材第63页“练习十一”第1题。(点名学生回答)
图形D。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
板书设计
图形的放大与缩小
一个图形如果按2∶1放大后，图形各边的长度放大到原来的2倍，但图形的形状没有变。
一个图形如果按1∶3缩小后，图形各边的长度缩小到原来的，但图形的形状没有变。
结论：图形的各边按相同的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。
教学反思
1．图形的放大与缩小属于图形与几何领域中图形的变化方面的内容，比例的知识属于数与代数领域的内容。教材将图形的放大与缩小纳入比例单元中，将两条线交织在一起，体现数形结合的思想，使知识形成和发展的基础更加扎实。
2．在教学中通过强调“原来的长方形”“变化后的长方形”，使学生更容易认识到研究图形放大与缩小时图形的变化特点。另外，这一课时的内容也着重考查学生准确画图的能力，这也是本课时的难点。学生通过自己动手画图，可以更深刻地了解到：要把一个图形按一定的比放大或缩小，只要把图形的各边按一定的比放大或缩小即可。教师还要及时引导学生观察放大或缩小前后的图形，通过对比使学生认识到：放大或缩小前后，图形的大小变了，但形状没变。这样，根据学生的思维特点，借助直观图形，充分让学生动手操作，可以使学生积极主动地、全身心地投入课堂，从而比较轻松地认识和掌握图形放大或缩小的特点。
3．我的补充：
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备课资料参考
【例题】一个多边形的面积为48 cm2。如果把这个多边形先按3∶1放大，再按3∶4缩小，最后得到的图形的面积为多少？
分析：将一个多边形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的2倍；把一个多边形按3∶4缩小，它的面积就缩小到原来的2。
解答：48×2×2＝243(cm2)
答：最后得到的图形的面积是243 cm2。
解法归纳：解决这类问题要先明确是将图形放大还是缩小，再弄清楚放大或缩小的比，最后根据图形放缩后面积的变化规律解决问题。
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放大尺
放大尺是利用平行四边形原理，用4根木尺制成平行四边形形状的，可用来放大绘制图画、地图的简单仪器。放大尺由4根20 cm长的直尺构成，每根直尺都等距离地钻上多个小孔，然后将4根直尺安装好。使用时，在放大尺下铺上一张白纸，原图放在大头针下，用大头针描绘原图，铅笔芯就会在白纸上画出临摹图。移动固定支点的位置，就能改变放大倍数。放大尺的结构虽然简单，但实用性却很强，用它绘画，比例准确，大小可调，用起来十分方便。
第5课时 用比例解决问题
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一、教学内容
用比例解决问题。(教材第61～62页例5、例6)
二、教学目标
1．使学生能正确判断应用题中涉及的量成什么比例关系，能利用正、反比例的意义正确解答实际问题。
2．进一步提高运用已学知识进行分析、推理的能力，培养和发展发散思维。
3．感受数学知识与实际生活的密切联系，提高应用数学的能力。
三、重点难点
重点：掌握用正、反比例知识解答实际问题。
难点：正确分析题中的比例关系，列出方程。
教学过程
一、情境引入
1．先根据条件说出下面各题的数量关系式，再说出两种相关联的量成什么比例，并列出相应的等式。
(1)一台机床5小时加工40个零件，照这样计算，8小时加工64个。
(2)一列火车行驶360 km。每小时行90 km，要行4小时；每小时行80 km，要行x小时。
教师引导学生回答。
(1)工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系。
(2)路程＝行驶的速度×时间，路程一定，行驶的速度和时间成反比例关系。(80x＝360)
2．引入新课。
从上面可以看出，生产、生活中的一些实际问题，应用比例的知识也可以列出等式。所以我们以前学过的一些实际问题，还可以应用比例的知识来解答。这节课，我们就来学习用正、反比例知识解决问题。(板书课题：用比例解决问题)
二、学习新课
1．用正比例解决问题。
(课件出示教材第61页例5)
(1)李奶奶家上个月的水费是多少钱？
师：你是怎样想的？怎样算的？说一说。
学生可能会这样想：要求李奶奶家上个月的水费是多少钱，就必须知道李奶奶上个月用水的吨数和水的单价。从张大妈家上个月用水8吨，水费28元中，可以算出水的单价是28÷8＝3.5(元)，然后就能计算出李奶奶家上个月的水费是3.5×10＝35(元)。
师：题里涉及到哪些数量，什么数量是一定的？
明确：题中涉及到用水的吨数和水费(水的总价)，虽然没有出现水的单价，但是我们知道水的单价是一定的。它们的数量关系式是水的总价÷吨数＝水的单价(一定)，所以还可以用正比例关系解答。
因为每吨水的价钱是一定，所以水费和用水的吨数成正比例关系。也就是说，两家的水费和用水吨数的比值相等。
组织学生设未知数，根据正比例的意义列方程解答。
点名学生板演，集体订正。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8x＝28×10
x＝35
小结：解决这个问题的关键是找到不变的量，只要两个量的比值一定，就可以用正比例关系列方程解答。
(2)王大爷家上个月的水费是42元，上个月用了多少吨水？
明确：因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水吨数成正比例关系，从而有＝。即可以利用正比例关系列方程求解。
组织学生独立思考、列方程求解，然后汇报。课件演示：
解：设王大爷家上个月用了y吨水。
＝
28y＝42×8
y＝12
2．用反比例解决问题。
(课件出示教材第62页例6)
一个办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。
(1)原来5天的用电量现在可以用多少天？
组织学生认真读题，理解题意，交流、讨论解题方法，然后汇报。
明确：当总的用电量一定时，用电时间与单位时间内的用电量成反比例关系，也就是说，每天的用电量与用电天数的乘积是一定的。
组织学生设未知数，根据反比例的意义列方程解答。
点名学生板演，集体订正。
解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
25x＝100×5
x＝500÷25
x＝20
小结：解决这个问题的关键是找到哪两个量的乘积一定，只要两个量的乘积一定，就可以用反比例关系解答。
(2)现在30天的用电量原来只够用多少天？
组织学生独立思考、列方程求解，然后汇报。课件演示：
解：现在30天的用电量原来只够用y天。
100y＝25×30
y＝750÷100
y＝7.5
三、巩固反馈
完成教材第62页“做一做”。
第1题：
解：设要用x元。
＝
x ＝4.5
第2题：
解：设可以买x支。
1.5×4＝2x
x ＝3
3．一辆汽车3小时行驶210 km，如果速度不变，这辆汽车从甲地到乙地共行驶5小时。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
解：设甲、乙两地之间的距离是x km。
＝
x ＝350
4．李师傅要生产一批零件，每小时生产45个，需要4小时完成。如果每小时生产60个，需要几小时完成？
解：设需要x小时完成。
45×4＝60x
x ＝3
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
板书设计
用比例解决问题
例5 解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8x＝28×10
x＝35
答：李奶奶家上个月的水费是35元。
例6 解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
25x＝100×5
x＝500÷25
x＝20
答：原来5天的用电量现在可以用20天。
教学反思
1．由于解答时是根据比例的意义来列等式的，学生可以巩固和加深对简易方程的认识。在教学上要十分重视从旧知识中引出新知识，因为在这个过程中，蕴涵抽象概括的方法。
2．学生一般都不喜欢用比例方法，而喜欢用算术方法解答问题。把学生从传统的算术方法中释放出来是教学的关键。因为习惯很难改变，一种新的思维方法需要时间去接受，所以对于用比例来解决问题必须在以后的课堂中经常提到。改变他们传统的思维习惯，也是为了和初中学习的新知识接上轨道。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】在100米赛跑中，小强离终点还有10米时，小亮离终点还有20米。如果小强和小亮按原来的速度继续冲到终点，那么当小强冲到终点时，小亮还差多少米到达终点？
分析：参加赛跑的两人的速度一定，在相同的时间内，两人所跑的路程的比也是一定的，则当小强到达终点时，小强和小亮所跑的路程比是。据此列出方程解答即可。
解答：设当小强冲到终点时，小亮还差x米到达终点。
＝
＝
x ＝
答：当小强冲到终点时，小亮还差米到达终点。
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用比例解决问题顺口溜
数量关系很重要，前后联系很微妙。
先把关系写上边，解题思路它领先。
计划实际在左面，上下对比一条线。
具体数量要体现，不变数量是关键。
按量填数看得准，最后再把问题填。
根据等式列方程，算术方法也简单。
第6课时 练习课
课时目标导航
教学导航
一、教学内容
比例的应用练习。(教材第63～64页练习十一第2～5、8题)
二、教学目标
1．进一步认识图形的放大与缩小现象，能在方格纸上按一定的比例将简单图形放大或缩小。
2．提高运用比例知识解决简单的实际问题的能力。
3．经历解决问题的过程，总结解决问题的方法，感受数学知识的广泛应用。
三、重点难点
重难点：按一定的比将简单图形放大或缩小，并能运用比例知识解决实际问题。
教学过程
一、复习回顾
1．你能说一说图形放大或缩小后的特点吗？
学生独立思考，并在小组内互相说一说，教师点名汇报。
2．正比例和反比例的意义分别是什么？
学生在小组内讨论交流，教师点名汇报。
二、指导练习
1．教学教材第63页练习十一第2题。
(课件出示教材第63页练习十一第2题)
(1)先组织学生读题，理解题意，再组织学生自己选定比例尺画图。
教师用投影仪投影展示较好的作业。
(2)组织学生观察A，B，C三个三角形，集体回答第(1)题和第(2)题。
(三角形B和三角形C可以由三角形A放大后得到，三角形A和三角形C可以由三角形B缩小后得到)
(3)组织学生观察三角形A和三角形B，并思考它们的面积有什么变化。
教师提示：假设三角形A的两条直角边都为2，因为三角形B是按4：1将三角形A放大后得到的，所以三角形B的两条直角边都为8。然后组织学生分别求出三角形A和三角形B的面积，最后比较它们面积的大小。
学生通过计算发现，三角形B的面积是三角形A的16倍。
师：三角形的面积和边长是按相同的比变化的吗？
学生回答，教师组织学生分组探讨三角形B和三角形C的面积变化，从而检验刚刚的回答。
2．教学教材第63页练习十一第3、4题。
(课件出示教材第63页练习十一第3题)
组织学生认真读题，理解题意。
师：同一时间、同一地点，影长和高度有什么特点？
明确：同一时间、同一地点，小兰和这棵树的高度和影长的比相同。此题可用正比例的知识解答。
学生独立完成，集体订正。
(课件出示教材第63页练习十一第4题)
组织学生认真读题，理解题意，找出题中不变的量，确定解题方法。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
3．教学教材第64页练习十一第5、8题。
(课件出示教材第64页练习十一第5题)
组织学生认真读题，理解题意。
师：题中什么量是一定的？
明确：工作总量是一定，即工作效率和工作时间的乘积一定。此题可用反比例的知识解答。
学生独立完成，集体订正。
(课件出示教材第64页练习十一第8题)
组织学生认真读题，理解题意，找出题中不变的量，确定解题方法。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
三、巩固练习
完成教材第64页“练习十一”第6、7、9、10题。(学生独立完成，集体订正)
第6题：
解：设从北京到长沙需要x小时。
11∶30－9∶00＝2小时30分＝2.5小时
＝
x ＝
<6，从北京到长沙6小时能到。
第7题：
解：设全程需要x小时。
＝
x ＝6
第9题：
(1)解：设每小时应收割x公顷。
40×0.3＝30x
x ＝0.4
(2)40×0.3×8＝96(t)
(3)答案不唯一，如提问：如果每小时收割0.8公顷，那么需要多少小时才能收割完？
解：设需要x小时才能收割完。
40×0.3＝0.8x
x ＝15
第10题：
解：设x小时能够返回原地。
72×10＝90x
x ＝8
四、课堂小结
通过本节课的练习，你有哪些收获？
板书设计
练习课
第4题 解：设运行15周要用x小时。
＝
x ＝26.5
答：运行15周要用26.5小时。
第8题 解：设平均每天要读x页。
30×8＝6x
x ＝40
答：平均每天要读40页。
教学反思
1．知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自已已有的知识和经验主动地加以“构建”。学习完“比例尺”和“图形的放大与缩小”后如果像以前那样，只通过教师讲解教材中相应的习题进行巩固，学生显然兴趣不大，所以我从学生的心理需求出发，通过让学生自已确定比例尺的大小，然后作图计算等，尝试用已有的知识去探究验证新的知识及规律。这一教学过程，不仅使课堂充满了探索的气息，让学生体会到数学知识在实践应用中与地理等学科的密切联系，也使学生感受到探究学习所带来的快乐，从而进一步激发学生的学习兴趣。
2．在运用比例知识解决实际问题的教学过程中，我循循善诱，创设问题，引导学生逐步明确解题思路，寻求解题方法。需要完善的是，如果能让学生主动提出问题并解决，将进一步发展和提高学生解决问题的能力。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】宣宣计划买一些笔记本送给贫困地区的小朋友，由于笔记本降价20%，现在用同样多的钱可以多买8本，宣宣原计划买多少本笔记本？
分析：根据题意，由总价不变可知，单价和数量成反比例的关系。设宣宣计划买x本笔记本，列方程：x×1＝(x＋8)×(1－20%)，解方程求解即可。
解答：解：设宣宣计划买x本笔记本。
x×1＝(x＋8)×(1－20%)
0.2x ＝6.4
x ＝32
答：宣宣原计划买32本笔记本。
解法归纳：解答此题的关键是明确单价和数量成反比例的关系，列方程求解即可。
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阶梯水价和阶梯电价
阶梯水价，是在合理核定居民用水及各类企业营业用水基本用量的基础上，对定量以内的用水实行低价，超过基本用水量的部分实行超量累进加价；对公共服务用水实行低价，对合理工业生产用水实行中价，对营运用水实行高价。阶梯水价的基本特点是用水越多，水价越贵。
阶梯电价，是指把用户平均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。阶梯电价的具体内容是：第一阶梯为基数电量，此阶梯内电量较少，电价也较低；第二阶梯电量较高，电价也较高一些；第三阶梯电量更多，电价更高。对居民用电实行阶梯电价可以提高能源效率。
第1课时 比例尺
课时目标导航
教学导航
一、教学内容
比例尺。(教材第53页例1)
二、教学目标
1．从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。
2．会求一幅图的比例尺。
3．经历比例尺的探究过程，体验从实践中学习的方法，感受数学知识与日常生活的密切联系，培养探究意识和创新意识。
三、重点难点
重点：理解比例尺的含义。
难点：求一幅图的比例尺。
教学过程
一、情境引入
师：前面我们学习了比例的知识。比例的知识在实际生活中有什么用途呢？请同学们看一看我们教室有多大，它的长和宽大约是多少米。(学生观察并回答)
师：如果我们要绘制教室的平面图，若是按实际尺寸来绘制，需要多大的图纸？可能吗？如果要画中国地图呢？于是，人们就想出了一个聪明的办法：在绘制地图和其他平面图的时候，把实际距离按一定的比缩小，再画在图纸上，有时也把一些尺寸小的物体(如机器零件等)的实际距离按一定的比扩大，再画在图纸上。(课件出示教室平面图、机器零件图)
师：不管是哪种情况，都需要确定图上距离和实际距离的比，这就是我们今天要学习的内容——比例尺。(板书课题：比例尺)
二、学习新课
1．比例尺的意义。
师：如果要把一条2 m长的线段画在作业本上，你准备用图上几厘米表示实际2 m?
组织学生独立完成，小组内互相展示，说说自己是怎么画的。
学生可能会用1 cm表示2 m或用2 cm表示2 m。
教师小结：图上画出的1 cm、2 cm叫“图上距离”，2 m叫“实际距离”。
师：在绘制地图和其他平面图时，经常要用到“图上距离和实际距离的比”，我们把它叫做“比例尺”。
图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺(板书)
提示：图上距离是比的前项，实际距离是比的后项。
2．比例尺的种类。
(1)数值比例尺。
(课件出示比例尺是数值比例尺的地图)
师：观察1∶100000000。比例尺中的“1”表示什么？“100000000”表示什么？
学生思考，相互交流，汇报结果。
明确：“1”表示图上距离，“100000000”表示实际距离，也就是说图上1 cm的距离表示实际距离100000000 cm。
说明：1∶100000000是数值比例尺，有时写成。
(2)线段比例尺。
课件出示地图，引导学生观察比例尺。
明确：这是线段比例尺，表示线段的长度1 cm是图上距离，50 km是实际距离，也就是说图上距离1 cm代表实际距离50 km。
(3)放大比例尺。
课件出示零件图纸。引导学生观察并思考图中的比例尺2∶1表示什么？
明确：2∶1表示图上距离是实际距离的2倍。
小结：①缩小比例尺：在绘图时，有时需要把实际距离按一定的比例缩小后在图纸上画出来，用这种方法得到的比例尺就是缩小比例尺。前面提到的比例尺1∶100000000，比例尺1∶5000000都是缩小比例尺。为了计算方便，把缩小比例尺写成带比号的形式，前项一般化为1；若写成分数形式，分子一般化为1。
②放大比例尺：在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件的尺寸按一定的比放大后画在图纸上，这样的比例尺就是放大比例尺。如一幅零件图纸的比例尺是2∶1，它表示图上距离2 cm相当于实际距离1 cm，就是图上距离是实际距离的2倍，这是一个放大比例尺。为了计算方便，通常把放大比例尺的后项写成1。
3．已知图上距离和实际距离，求比例尺。
(课件出示教材第53页例1)
组织学生阅读题目，理解题意。
师：从题中你得到了哪些信息？
明确：①实际距离是120 km，图上距离是2.4 cm；②要求这幅地图的比例尺。
师：应该怎样求出比例尺呢？
明确：根据“比例尺＝图上距离：实际距离”来求。
学生根据公式独立完成计算，汇报结果。
教师强调：图上距离和实际距离的单位要相同，并板书：
120 km＝12000000 cm
2.4∶12000000＝1∶5000000
教师小结：已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离就可以求出比例尺。
三、巩固反馈
1．完成教材第53页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
2 cm＝20 mm
20∶5＝4∶1
2．完成教材第56页“练习十”第1题。
3．把改写成数值比例尺是( A )
A．1∶4000000
B．1∶8000000
C．1∶12000000
4．在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是4 cm，而甲、乙两地的实际距离是180 km，这幅地图的比例尺是多少？
180 km＝18000000 cm
4∶18000000＝1∶4500000
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
比例尺
图上距离∶实际距离＝比例尺 或 ＝比例尺
例1 120 km＝12000000 cm 2.4∶12000000＝1∶5000000
答：这幅地图的比例尺是1∶5000000。
教学反思
1．在教学比例尺的意义时，由简单的画图到具体分析计算图上距离和实际距离关系的思维过程中，同学们对生活问题数学化后，比例尺意义的揭示就成为必然。学生的学习因为适时的讲解有了自然过渡，实现了学生认知的和谐发展。
2．数学教学中，应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。这一过程也就是生活经验和新旧数学知识的融合过程，融合促进了学生的主动建构，提高了学生的应用能力和学习能力，实现了学生的生命发展。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】一辆汽车从A地开往B地，先以每小时80 km的速度行驶3小时，剩下的路程以每小时60 km的速度行驶了6小时。若在一幅地图上测得A、B两地的距离为6 cm，则这幅地图的比例尺为多少？
分析：已知图上距离，要求比例尺，还需要知道实际距离。实际距离可根据“路程＝速度×时间”求得，再根据“图上距离：实际距离＝比例尺”计算出比例尺。
解答：80×3＋60×6＝600(km)
600 km＝60000000 cm
6∶60000000＝1∶10000000
答：这幅地图的比例尺为1∶10000000。
解法归纳：通过题中已知条件求出实际距离，然后根据比例尺的意义求得比例尺即可。
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地图上的比例尺
根据地图的用途、所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的评略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十万分之一的地图称为大比例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于一百万分之一的地图，称为小比例尺地图。
在同样的图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精确度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，图内表示的内容越简略，精确度越低。地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。
第2课时 比例尺的应用
课时目标导航
教学导航
一、教学内容
比例尺的应用。(教材第54～55页例2、例3)
二、教学目标
1．能根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2．学会用比例尺画图并解决问题，提高解决实际问题的能力。
3．体会比例尺在日常生产与生活中的应用。
三、重点难点
重点：根据比例尺求出图上距离或实际距离。
难点：根据比例尺画图。
教学过程
一、复习引入
师：什么是比例尺？比例尺1∶1000表示什么？
明确：(1)图上距离∶实际距离＝比例尺或＝比例尺
(2)1∶1000表示图上距离与实际距离的比。
师：怎样求比例尺？
学生回答：根据公式“图上距离：实际距离＝比例尺”去求。
师：今天我们就来学习如何利用比例尺求图上距离或实际距离，并运用比例尺画平面图。(板书课题：比例尺的应用)
二、学习新课
1．已知比例尺和图上距离，求实际距离。
(课件出示教材第54页例2)
师：从题中已知什么？求什么？
已知这幅图的比例尺是1∶400000，图上距离是7.8 cm，要求两地的实际距离是多少。
师：这个问题怎么解答呢？你是怎么想的？
学生讨论，说说自己的解决方案，并独立完成。
(方法一)从比例尺我们可以知道，这幅图中图上距离1 cm表示实际距离400000 cm，那么图上距离2 cm表示的实际距离就是400000 cm的2倍，图上距离3 cm表示的实际距离就是400000 cm的3倍……所以图上距离7.8 cm表示的实际距离就是400000 cm的7.8倍，可以用算式计算：400000×7.8＝3120000(cm)＝31.2(km)，即从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2 km。(板书)
(方法二)我们可以根据比例尺的公式，设从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是x cm，这样就可以写出比例式7.8∶x＝1∶400000，然后解比例，就能求出从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是3120000 cm，也就是31.2 km。(板书)
2．已知比例尺和实际距离，求图上距离。
(课件出示教材第55页例3)
师：你从题中知道了什么？要想解决问题，该怎么做呢？
明确：已知比例尺是1∶10000以及实际距离和方位，要求画出他们三家和学校的平面图，我们首先就要算出相关的图上距离。
师：该怎样计算图上距离呢？
明确：根据“＝比例尺”，推出“图上距离＝实际距离×比例尺”，可以求出图上距离，知道图上距离后，根据叙述语言就能画出平面图了。
组织学生小组内完成，汇报结果，教师板书：
200 m＝20000 cm
400 m＝40000 cm
250 m＝25000 cm
小明家到学校的图上距离：
20000×＝2(cm)
小亮家到学校的图上距离：
(40000－20000)×＝2(cm)
小红家到学校的图上距离：
25000×＝2.5(cm)
组织学生分小组画图，各组展示所画平面图，集体订正。
他们三家和学校的位置平面图如图所示：
师：今天你学会了解决哪些问题？用什么方法解决？求解时需要注意什么？
学生讨论、交流。
教师总结：不管是求图上距离还是求实际距离，都要弄清题中的条件和问题，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式解答。求解时要注意单位的统一，最后结果的单位要与问题一致或化简。
三、巩固反馈
1．完成教材第54页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
1∶60000
60000×3＝180000(cm)
180000 cm＝1800 m
2．完成教材第55页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
80 m＝8000 cm
8000×＝4(cm)
60 m＝6000 cm
6000×＝3(cm)
3．填表。
图上距离 实际距离 比例尺
6 cm 150 km 1∶2500000
1.5 cm 45 km 1∶3000000
4 cm 0.8 mm 50∶1
四、课堂小结
1．在本节课的学习中，你有哪些收获？
2．自由交流各自的收获、体会。
板书设计
比例尺的应用
例2 (方法一)400000×7.8＝3120000(cm)＝31.2(km)
(方法二)解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是x cm。
7.8∶x＝1∶400000
x＝400000×7.8
x＝3120000
3120000 cm＝31.2 km
答：从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2 km。
例3 200 m＝20000 cm 400 m＝40000 cm 250 m＝25000 cm
小明家到学校的图上距离：20000×＝2(cm)
小亮家到学校的图上距离：(40000－20000)×＝2(cm)
小红家到学校的图上距离：25000×＝2.5(cm)
教学反思
1．通过本节课的教学，学生学得还是比较轻松的。无论从学生学习新知的状态，还是从参与程度上，都很好地体现了学生是学习的主体，尤其是一些概念性知识的总结环节，学生学得很主动。比例尺的转化和有关计算是本节课的重点和难点，而理解比例尺的含义虽是上节课的内容，但是是突破这一重点和难点的基础和前提，所以我在教学中对于重点的把握还是可以的。只是在这节课中还有一点遗憾，就是感觉到对于教材的拓展方面还有一些欠缺，所以在这方面还需努力，而且对于一些后进生来说，知识点多，理解起来比较慢，掌握起来还有些难度。所以，学生在计算过程中，教师要不断强调有关注意事项。
2．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】原有一幅比例尺为1∶50000的地图，现在要改用的比例尺重新绘制，原地图中4.8 cm的距离在新地图中应该画多少厘米？
分析：不管比例尺怎么变，原地图中4.8 cm表示的实际距离是不变的。根据原地图的比例尺先求出原地图中4.8 cm表示的实际距离，再根据新地图的比例尺求出实际距离在新地图上的距离。
解答：4.8÷＝240000(cm)
240000×＝12(cm)
答：在新地图中应该画12 cm。
解法归纳：解决此类问题的关键是求出题中的不变量，即实际距离。
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空间比例尺
空间比例尺是摄影所特有的不同于绘画的空间意识。我们通常所见的摄影作品大多是平面的视觉表达，现实生活中立体的、有深度的空间在作品中都得转化为平面的视觉形象，从而摄影画面中的空间表达也必须借助于摄影自身的独特的表达方式，才能在观众解读时还原为原空间的真实感受。摄影营造空间的方式主要有线条透视、影调透视和色彩透视、摄影画面明示与暗示等。空间存在的方式主要有运动、指示、视线、明暗等。
第3课时 比例尺(练习课)
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一、教学内容
比例尺的练习。(教材第56～58页练习十第2、4、5、7、8、9题)
二、教学目标
1．进一步理解比例尺的意义。
2．能熟练地求比例尺、图上距离和实际距离，并能应用比例尺画图。
3．经历应用知识的过程，体验数学知识的应用价值。
三、重点难点
重点：求比例尺、图上距离和实际距离。
难点：提高解决问题的能力。
教学过程
一、基础练习
1．选择超市。
(1)下列说法正确的是( )
A．比例尺是一种特殊的尺子
B．图上距离与实际距离的比叫做比例尺
C．实际距离与图上距离的比叫做比例尺
(2)把线段比例尺改写成数值比例尺是( )
A．1∶40
B．1∶400
C．1∶4000000
(3)一个零件的实际长度是4 mm，在一幅图纸上量得它的长度是24 cm，这幅图纸的比例尺是( )
A．6∶1 B．1∶60 C．60∶1
(4)在比例尺是1∶26000000的中国地图上，量得武汉到重庆的图上距离是3 cm。武汉到重庆的实际距离是( )
A．78 km B．780 km C．7800 km
(5)在比例尺是1∶50000的地图上，已知甲、乙实际距离相距5 km，甲、乙两地图上距离( )
A．10 cm B．50 cm C．100 cm
2．在比例尺1∶6000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是8 cm，如果一辆汽车以每小时80 km的速度从甲地开出，几小时到达乙地？
二、指导练习
1．求比例尺。
(1)教学教材第56页练习十第2题。
(课件出示教材第56页练习十第2题)
师：这幅图纸有什么特点？它的比例尺有什么特点？
明确：这是缩小后的图纸，比例尺的前项是1。
组织学生独立完成，汇报结果，集体订正。
(2)教学教材第56页练习十第4题。
(课件出示教材第56页练习十第4题)
师：这幅图有什么特点？它的比例尺有什么特点？
明确：这是放大后的图，比例尺的后项是1。
组织学生独立完成，汇报结果，集体订正。
2．求图上距离或实际距离。
(1)教学教材第57页练习十第8题。
师：已知比例尺和实际距离，求图上距离怎么求？已知比例尺和图上距离，求实际距离怎么求？
学生讨论交流，点名学生回答。
组织学生独立完成教材第57页练习十第8题，集体订正。
(2)教学教材第57页练习十第5、7题。
(课件出示教材第57页练习十第5题)
组织学生认真读题，说一说已知什么。求什么。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
(课件出示教材第57页练习十第7题)
组织学生认真读题，说一说已知什么。求什么。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
3．比例尺的应用。
教学教材第57页练习十第9题。
(课件出示教材第57页练习十第9题)
组织学生认真读题，理解题意。
点名学生说一说如何确定小明、小丽、小红的位置。
学生独立进行计算，并在题图中标出三个人的位置，教师巡视指导。
三、巩固练习
1．完成教材第56页“练习十”第3题。(学生独立完成，集体订正)
(1)团结路在图上的长度为6 cm。
18000 m＝1800000 cm
6∶1800000＝1∶300000
(2)
2．完成教材第58页“练习十”第11题。(用图上1 cm表示实际距离200 m，小组合作完成，相互交流)
四、课堂小结。
通过本节课的练习，你有哪些收获？
板书设计
比例尺(练习课)
第5题 解：设上海到杭州的实际距离是x cm。
3.4∶x＝1∶5000000
x ＝17000000
17000000 cm＝170 km
答：上海到杭州的实际距离是170 km。
第7题 解：设地图上两地之间的长度是x cm。
1900 km＝190000000 cm
x∶190000000＝1∶40000000
x ＝4.75
答：地图上两地之间的长度是4.75 cm。
教学反思
1．本节课的重点和难点在于熟练掌握比例尺、图上距离和实际距离三者之间的变换，我通过形式多样的习题指导和讲解，使学生深刻理解了比例尺的概念和意义，体会到了比例尺这一数学知识给我们生活带来的便利。在一定程度上，也使学生体会到了学习数学知识的乐趣，培养了学生热爱数学的情感。
2．我先用几个简单的概念计算题回顾引入比例尺的相关知识，让学生充分热身。紧接着，我通过引导组织学生动手探究、小组交流的方式，帮助学生多次应用比例尺来解决生活实际问题，保证了学生的课堂兴趣，也提高了学生将某些实际问题转换成所学知识的能力。本节课不仅对学生的解决问题能力提出了要求，也对学生发现问题、提出问题等方面的能力进行了训练，全面开拓了学生的思维。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离是6 cm，甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，匀速行驶，经过4 h相遇。已知甲、乙两车的速度比为7∶8，甲、乙两车的速度各是多少？
分析：根据题中的图上距离和比例尺，可以列方程求出A、B两地的实际距离，再根据“路程÷时间＝速度”求出两车的速度和，最后用按比例分配的知识分别求出两车的速度。
解答：解：设A、B两地的实际距离是x cm。
＝
x ＝18000000
18000000 cm＝180 km
180÷4＝45(km/h)
45×＝21(km/h)
45×＝24(km/h)
答：甲车的速度是21 km/h，乙车的速度是24 km/h。
第4课时 图形的放大与缩小
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一、教学内容
图形的放大与缩小。(教材第59页、第60页例4)
二、教学目标
1．从数学的角度认识放大与缩小现象，体会图形相似变化的特点。
2．掌握图形的放大或缩小的方法，能在方格纸上按一定的比将简单的图形放大或缩小。
3．激发学习数学的兴趣和求知欲，在学习活动中感受数学的乐趣。
三、重点难点
重点：通过图形的放大和缩小体会图形的相似性。
难点：会按一定的比将图形放大或缩小。
教学过程
一、情境引入
(出示教材第59页的图)
师：说一说，图中反映的是什么现象。
学生讨论交流。
师：哪些是放大？哪些是缩小？
明确：第一幅图是缩小；第二幅图是放大；第三幅图是放大；第四幅图是放大。
师：由此说明，生活中存在许多放大与缩小的现象，现在我们就从数学的角度来研究“图形的放大与缩小”。(板书课题：图形的放大与缩小)
二、学习新课
教学教材第60页例4。
(1)探究放大的意义。
(课件出示教材第60页例4)
师：按2∶1放大图形是什么意思？
明确：按2∶1放大，就是把图形的各边放大到原来的2倍。
组织学生画出放大后的图形，教师巡视，发现学生在画图过程中遇到的问题。
师：你是怎么画的？
明确：计算各图形放大后的边长：正方形的边长为3格，放大到原来的2倍后变为6格；长方形的长为4格，宽为2格，放大到原来的2倍后，长变为8格，宽变为4格；直角三角形的两条直角边长分别为3格、4格，放大到原来的2倍后，两条直角边长分别变为6格、8格。
课件展示画出放大后的图形如图：
师：通过数一数或者量一量的方法，看看三角形斜边的长度，你发现了什么？
发现：放大后的三角形的斜边也变为原来的2倍。
师：观察一下放大后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？
学生思考，小组讨论交流，汇报结果。
小结：一个图形如果按2∶1放大后，图形各边的长度放大到原来的2倍，但图形的形状没有变。
(2)探究缩小的意义。
师：如果把放大后的正方形按1∶3，长方形按1∶4，三角形按1∶2缩小。各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画看。
学生在方格纸上画一画。
课件出示缩小后的图形。
师：按1∶3,1∶4,1∶2缩小分别是什么意思？
明确：按1∶3,1∶4,1∶2缩小，就是把图形的各边缩小为原来的，，。
师：观察一下缩小后的图形与原来的图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？
学生思考，小组讨论交流，汇报结果。
三、巩固反馈
1．完成教材第60页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
2．完成教材第63页“练习十一”第1题。(点名学生回答)
图形D。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
板书设计
图形的放大与缩小
一个图形如果按2∶1放大后，图形各边的长度放大到原来的2倍，但图形的形状没有变。
一个图形如果按1∶3缩小后，图形各边的长度缩小到原来的，但图形的形状没有变。
结论：图形的各边按相同的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。
教学反思
1．图形的放大与缩小属于图形与几何领域中图形的变化方面的内容，比例的知识属于数与代数领域的内容。教材将图形的放大与缩小纳入比例单元中，将两条线交织在一起，体现数形结合的思想，使知识形成和发展的基础更加扎实。
2．在教学中通过强调“原来的长方形”“变化后的长方形”，使学生更容易认识到研究图形放大与缩小时图形的变化特点。另外，这一课时的内容也着重考查学生准确画图的能力，这也是本课时的难点。学生通过自己动手画图，可以更深刻地了解到：要把一个图形按一定的比放大或缩小，只要把图形的各边按一定的比放大或缩小即可。教师还要及时引导学生观察放大或缩小前后的图形，通过对比使学生认识到：放大或缩小前后，图形的大小变了，但形状没变。这样，根据学生的思维特点，借助直观图形，充分让学生动手操作，可以使学生积极主动地、全身心地投入课堂，从而比较轻松地认识和掌握图形放大或缩小的特点。
3．我的补充：
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备课资料参考
【例题】一个多边形的面积为48 cm2。如果把这个多边形先按3∶1放大，再按3∶4缩小，最后得到的图形的面积为多少？
分析：将一个多边形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的2倍；把一个多边形按3∶4缩小，它的面积就缩小到原来的2。
解答：48×2×2＝243(cm2)
答：最后得到的图形的面积是243 cm2。
解法归纳：解决这类问题要先明确是将图形放大还是缩小，再弄清楚放大或缩小的比，最后根据图形放缩后面积的变化规律解决问题。
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放大尺
放大尺是利用平行四边形原理，用4根木尺制成平行四边形形状的，可用来放大绘制图画、地图的简单仪器。放大尺由4根20 cm长的直尺构成，每根直尺都等距离地钻上多个小孔，然后将4根直尺安装好。使用时，在放大尺下铺上一张白纸，原图放在大头针下，用大头针描绘原图，铅笔芯就会在白纸上画出临摹图。移动固定支点的位置，就能改变放大倍数。放大尺的结构虽然简单，但实用性却很强，用它绘画，比例准确，大小可调，用起来十分方便。
第5课时 用比例解决问题
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一、教学内容
用比例解决问题。(教材第61～62页例5、例6)
二、教学目标
1．使学生能正确判断应用题中涉及的量成什么比例关系，能利用正、反比例的意义正确解答实际问题。
2．进一步提高运用已学知识进行分析、推理的能力，培养和发展发散思维。
3．感受数学知识与实际生活的密切联系，提高应用数学的能力。
三、重点难点
重点：掌握用正、反比例知识解答实际问题。
难点：正确分析题中的比例关系，列出方程。
教学过程
一、情境引入
1．先根据条件说出下面各题的数量关系式，再说出两种相关联的量成什么比例，并列出相应的等式。
(1)一台机床5小时加工40个零件，照这样计算，8小时加工64个。
(2)一列火车行驶360 km。每小时行90 km，要行4小时；每小时行80 km，要行x小时。
教师引导学生回答。
(1)工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系。
(2)路程＝行驶的速度×时间，路程一定，行驶的速度和时间成反比例关系。(80x＝360)
2．引入新课。
从上面可以看出，生产、生活中的一些实际问题，应用比例的知识也可以列出等式。所以我们以前学过的一些实际问题，还可以应用比例的知识来解答。这节课，我们就来学习用正、反比例知识解决问题。(板书课题：用比例解决问题)
二、学习新课
1．用正比例解决问题。
(课件出示教材第61页例5)
(1)李奶奶家上个月的水费是多少钱？
师：你是怎样想的？怎样算的？说一说。
学生可能会这样想：要求李奶奶家上个月的水费是多少钱，就必须知道李奶奶上个月用水的吨数和水的单价。从张大妈家上个月用水8吨，水费28元中，可以算出水的单价是28÷8＝3.5(元)，然后就能计算出李奶奶家上个月的水费是3.5×10＝35(元)。
师：题里涉及到哪些数量，什么数量是一定的？
明确：题中涉及到用水的吨数和水费(水的总价)，虽然没有出现水的单价，但是我们知道水的单价是一定的。它们的数量关系式是水的总价÷吨数＝水的单价(一定)，所以还可以用正比例关系解答。
因为每吨水的价钱是一定，所以水费和用水的吨数成正比例关系。也就是说，两家的水费和用水吨数的比值相等。
组织学生设未知数，根据正比例的意义列方程解答。
点名学生板演，集体订正。
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8x＝28×10
x＝35
小结：解决这个问题的关键是找到不变的量，只要两个量的比值一定，就可以用正比例关系列方程解答。
(2)王大爷家上个月的水费是42元，上个月用了多少吨水？
明确：因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水吨数成正比例关系，从而有＝。即可以利用正比例关系列方程求解。
组织学生独立思考、列方程求解，然后汇报。课件演示：
解：设王大爷家上个月用了y吨水。
＝
28y＝42×8
y＝12
2．用反比例解决问题。
(课件出示教材第62页例6)
一个办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。
(1)原来5天的用电量现在可以用多少天？
组织学生认真读题，理解题意，交流、讨论解题方法，然后汇报。
明确：当总的用电量一定时，用电时间与单位时间内的用电量成反比例关系，也就是说，每天的用电量与用电天数的乘积是一定的。
组织学生设未知数，根据反比例的意义列方程解答。
点名学生板演，集体订正。
解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
25x＝100×5
x＝500÷25
x＝20
小结：解决这个问题的关键是找到哪两个量的乘积一定，只要两个量的乘积一定，就可以用反比例关系解答。
(2)现在30天的用电量原来只够用多少天？
组织学生独立思考、列方程求解，然后汇报。课件演示：
解：现在30天的用电量原来只够用y天。
100y＝25×30
y＝750÷100
y＝7.5
三、巩固反馈
完成教材第62页“做一做”。
第1题：
解：设要用x元。
＝
x ＝4.5
第2题：
解：设可以买x支。
1.5×4＝2x
x ＝3
3．一辆汽车3小时行驶210 km，如果速度不变，这辆汽车从甲地到乙地共行驶5小时。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
解：设甲、乙两地之间的距离是x km。
＝
x ＝350
4．李师傅要生产一批零件，每小时生产45个，需要4小时完成。如果每小时生产60个，需要几小时完成？
解：设需要x小时完成。
45×4＝60x
x ＝3
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
板书设计
用比例解决问题
例5 解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
＝
8x＝28×10
x＝35
答：李奶奶家上个月的水费是35元。
例6 解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
25x＝100×5
x＝500÷25
x＝20
答：原来5天的用电量现在可以用20天。
教学反思
1．由于解答时是根据比例的意义来列等式的，学生可以巩固和加深对简易方程的认识。在教学上要十分重视从旧知识中引出新知识，因为在这个过程中，蕴涵抽象概括的方法。
2．学生一般都不喜欢用比例方法，而喜欢用算术方法解答问题。把学生从传统的算术方法中释放出来是教学的关键。因为习惯很难改变，一种新的思维方法需要时间去接受，所以对于用比例来解决问题必须在以后的课堂中经常提到。改变他们传统的思维习惯，也是为了和初中学习的新知识接上轨道。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】在100米赛跑中，小强离终点还有10米时，小亮离终点还有20米。如果小强和小亮按原来的速度继续冲到终点，那么当小强冲到终点时，小亮还差多少米到达终点？
分析：参加赛跑的两人的速度一定，在相同的时间内，两人所跑的路程的比也是一定的，则当小强到达终点时，小强和小亮所跑的路程比是。据此列出方程解答即可。
解答：设当小强冲到终点时，小亮还差x米到达终点。
＝
＝
x ＝
答：当小强冲到终点时，小亮还差米到达终点。
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用比例解决问题顺口溜
数量关系很重要，前后联系很微妙。
先把关系写上边，解题思路它领先。
计划实际在左面，上下对比一条线。
具体数量要体现，不变数量是关键。
按量填数看得准，最后再把问题填。
根据等式列方程，算术方法也简单。
第6课时 练习课
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一、教学内容
比例的应用练习。(教材第63～64页练习十一第2～5、8题)
二、教学目标
1．进一步认识图形的放大与缩小现象，能在方格纸上按一定的比例将简单图形放大或缩小。
2．提高运用比例知识解决简单的实际问题的能力。
3．经历解决问题的过程，总结解决问题的方法，感受数学知识的广泛应用。
三、重点难点
重难点：按一定的比将简单图形放大或缩小，并能运用比例知识解决实际问题。
教学过程
一、复习回顾
1．你能说一说图形放大或缩小后的特点吗？
学生独立思考，并在小组内互相说一说，教师点名汇报。
2．正比例和反比例的意义分别是什么？
学生在小组内讨论交流，教师点名汇报。
二、指导练习
1．教学教材第63页练习十一第2题。
(课件出示教材第63页练习十一第2题)
(1)先组织学生读题，理解题意，再组织学生自己选定比例尺画图。
教师用投影仪投影展示较好的作业。
(2)组织学生观察A，B，C三个三角形，集体回答第(1)题和第(2)题。
(三角形B和三角形C可以由三角形A放大后得到，三角形A和三角形C可以由三角形B缩小后得到)
(3)组织学生观察三角形A和三角形B，并思考它们的面积有什么变化。
教师提示：假设三角形A的两条直角边都为2，因为三角形B是按4：1将三角形A放大后得到的，所以三角形B的两条直角边都为8。然后组织学生分别求出三角形A和三角形B的面积，最后比较它们面积的大小。
学生通过计算发现，三角形B的面积是三角形A的16倍。
师：三角形的面积和边长是按相同的比变化的吗？
学生回答，教师组织学生分组探讨三角形B和三角形C的面积变化，从而检验刚刚的回答。
2．教学教材第63页练习十一第3、4题。
(课件出示教材第63页练习十一第3题)
组织学生认真读题，理解题意。
师：同一时间、同一地点，影长和高度有什么特点？
明确：同一时间、同一地点，小兰和这棵树的高度和影长的比相同。此题可用正比例的知识解答。
学生独立完成，集体订正。
(课件出示教材第63页练习十一第4题)
组织学生认真读题，理解题意，找出题中不变的量，确定解题方法。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
3．教学教材第64页练习十一第5、8题。
(课件出示教材第64页练习十一第5题)
组织学生认真读题，理解题意。
师：题中什么量是一定的？
明确：工作总量是一定，即工作效率和工作时间的乘积一定。此题可用反比例的知识解答。
学生独立完成，集体订正。
(课件出示教材第64页练习十一第8题)
组织学生认真读题，理解题意，找出题中不变的量，确定解题方法。
学生独立完成，点名学生板演，集体订正。
三、巩固练习
完成教材第64页“练习十一”第6、7、9、10题。(学生独立完成，集体订正)
第6题：
解：设从北京到长沙需要x小时。
11∶30－9∶00＝2小时30分＝2.5小时
＝
x ＝
<6，从北京到长沙6小时能到。
第7题：
解：设全程需要x小时。
＝
x ＝6
第9题：
(1)解：设每小时应收割x公顷。
40×0.3＝30x
x ＝0.4
(2)40×0.3×8＝96(t)
(3)答案不唯一，如提问：如果每小时收割0.8公顷，那么需要多少小时才能收割完？
解：设需要x小时才能收割完。
40×0.3＝0.8x
x ＝15
第10题：
解：设x小时能够返回原地。
72×10＝90x
x ＝8
四、课堂小结
通过本节课的练习，你有哪些收获？
板书设计
练习课
第4题 解：设运行15周要用x小时。
＝
x ＝26.5
答：运行15周要用26.5小时。
第8题 解：设平均每天要读x页。
30×8＝6x
x ＝40
答：平均每天要读40页。
教学反思
1．知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自已已有的知识和经验主动地加以“构建”。学习完“比例尺”和“图形的放大与缩小”后如果像以前那样，只通过教师讲解教材中相应的习题进行巩固，学生显然兴趣不大，所以我从学生的心理需求出发，通过让学生自已确定比例尺的大小，然后作图计算等，尝试用已有的知识去探究验证新的知识及规律。这一教学过程，不仅使课堂充满了探索的气息，让学生体会到数学知识在实践应用中与地理等学科的密切联系，也使学生感受到探究学习所带来的快乐，从而进一步激发学生的学习兴趣。
2．在运用比例知识解决实际问题的教学过程中，我循循善诱，创设问题，引导学生逐步明确解题思路，寻求解题方法。需要完善的是，如果能让学生主动提出问题并解决，将进一步发展和提高学生解决问题的能力。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】宣宣计划买一些笔记本送给贫困地区的小朋友，由于笔记本降价20%，现在用同样多的钱可以多买8本，宣宣原计划买多少本笔记本？
分析：根据题意，由总价不变可知，单价和数量成反比例的关系。设宣宣计划买x本笔记本，列方程：x×1＝(x＋8)×(1－20%)，解方程求解即可。
解答：解：设宣宣计划买x本笔记本。
x×1＝(x＋8)×(1－20%)
0.2x ＝6.4
x ＝32
答：宣宣原计划买32本笔记本。
解法归纳：解答此题的关键是明确单价和数量成反比例的关系，列方程求解即可。
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阶梯水价和阶梯电价
阶梯水价，是在合理核定居民用水及各类企业营业用水基本用量的基础上，对定量以内的用水实行低价，超过基本用水量的部分实行超量累进加价；对公共服务用水实行低价，对合理工业生产用水实行中价，对营运用水实行高价。阶梯水价的基本特点是用水越多，水价越贵。
阶梯电价，是指把用户平均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。阶梯电价的具体内容是：第一阶梯为基数电量，此阶梯内电量较少，电价也较低；第二阶梯电量较高，电价也较高一些；第三阶梯电量更多，电价更高。对居民用电实行阶梯电价可以提高能源效率。