六年级数学下册教案-第4单元 1比例的意义和基本性质人教版

1　比例的意义和基本性质
第1课时　比例的意义
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一、教学内容
比例的意义。(教材第40页)
二、教学目标
1．理解比例的意义，会根据比例的意义组成比例。
2．经历知识的形成过程、发现过程和运用过程，培养分析概括能力，体验从实践中学习的方法，感受数学知识与日常生活的密切联系。
3．感受生活中处处有数学，激发学习的兴趣，体会事物间的相对联系，培养探究精神。
三、重点难点
重点：理解比例的意义，掌握组成比例的关键条件。
难点：判断两个比能否组成比例。
教学过程
一、情境引入
师：同学们，我们每天的大课间都要举行什么仪式？(升国旗仪式)
师：那么你们知道在哪些地方可以看到国旗吗？
学生相互说一说。
教师课件出示出现在不同地方的国旗画面。
师：这些国旗一样吗？有什么不同？
学生回答：这些国旗大小不同。
师：国旗都是按照标准尺寸“按比例”放大或缩小的。这就是我们今天要学习的内容——比例。(板书课题：比例的意义)
二、学习新课
1．比例的意义。
(课件出示教材第40页情境图)
师：操场上、教室里的两面国旗的长和宽的比值有什么关系？
组织学生观察每面国旗的长和宽，求出每面国旗的长和宽的比值。
操场上的国旗：2.4∶1.6＝(板书)
教室里的国旗：60∶40＝(板书)
师：通过计算，你发现了什么？两面国旗长和宽的比值都是
明确：国旗的长和宽的比值都相等，这也是国旗的标准尺寸。
师：这两个比的比值相等，我们就可以把这两个比用等号连接起来，写成一个等式。
2.4∶1.6＝60∶40或＝(板书)
明确：像这样表示两个比相等的式子叫做比例。(板书)
2．找比例。
师：在这三面国旗的尺寸中，你还能找出哪些比可以组成比例？
学生小组合作完成，教师巡视。
明确：(1)①每面国旗的长与宽的比值组成比例：
5∶＝2.4∶1.6
5∶＝60∶40
2.4∶1.6＝60∶40
②每面国旗的宽与长的比值组成比例：
∶5＝1.6∶2.4
∶5＝40∶60
1.6∶2.4＝40∶60
(2)每两面国旗的长与长、宽与宽的比值组成比例：
5∶2.4＝∶1.6
5∶60＝∶40
2.4∶60＝1.6∶40
师：既然国旗是“按比例”制作的，那是不是国旗中任意数据组成的比都能构成比例呢？
学生思考，交流讨论，然后汇报。
教师指出：只有对应的量之间的比，比值才相等，才可以写成这样的比例。
师：同学们想一想，判断两个比能否组成比例，关键是什么？
学生小组内讨论，并汇报结果。
教师强调：判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
三、巩固反馈
1．完成教材第40页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
第1题：(1)能组成比例，6∶10＝9∶15。
(2)不能组成比例。
(3)能组成比例，∶＝6∶4。
(4)能组成比例，0.6∶0.2＝∶。
第2题：可以组成8个比例。即
3∶1.5＝4∶2　3∶4＝1.5∶2
2∶1.5＝4∶3　2∶4＝1.5∶3
1.5∶3＝2∶4　1.5∶2＝3∶4
4∶3＝2∶1.5　4∶2＝3∶1.5
2．完成教材第43页“练习八”第1题。(点名学生回答)
(从左到右)不能组成比例；能组成比例，30∶2＝120∶8；不能组成比例；能组成比例，100∶5＝200∶10。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
比例的意义
2.4∶1.6＝　60∶40＝
2.4∶1.6＝60∶40或＝
表示两个比相等的式子就叫做比例。
教学反思
1．注重从学生已有的知识出发，让学生主动建构知识。在教学“比例的意义”时，让学生自己探索，在探索中发现规律，得到结论。让学生处于积极探索的状态，唤醒了学生学习中一些零散的体验，并在教师的引导下主动将这些体验“数学化”，提炼出数学知识。
2．给予学生自主探究的时间、自由驰骋的思考空间，允许他们有不同的想法、不同的方法，在开放式、个性化的学习中生成灵感，碰撞智慧。正是学生用自己独特的学习方式来解决问题，课堂才变得生动和真实，学习才显得如此活泼和有效。数学的学习成了充满灵性的创造过程，成了放飞心灵的快乐之旅。课堂已不仅是学科知识传递的殿堂，更是智慧培育的圣殿。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】已知三个数分别是3、4、6，请添上一个数使得这四个数能够组成比例，求所有满足条件的数。
分析：比例的意义是表示两个比的比值相等，根据已知三个数，可求得3∶4＝，4∶3＝；3∶6＝，6∶3＝2；4∶6＝，6∶4＝六个比值，再根据比值相等来确定添上的数。
解答：(1)当比值为或时，有3∶4＝6∶8或4∶3＝6∶4.5，此时符合条件的数为8和4.5。
(2)当比值为或2时，有3∶6＝4∶8或6∶3＝4∶2，此时符合条件的数为8和2。
(3)当比值为或时，有4∶6＝3∶4.5或6∶4＝3∶2，此时符合条件的数为4.5和2。
综上所述，所有满足条件的数为2、4.5、8。
解法归纳：先从三个数中任选两个求比值，再根据比例的意义即第三个数求出第四个数。注意要分情况讨论。
相关知识阅读
比和比例的历史
比和比例是谁发现的，谁先使用的，现在还难以确定。不过，在我国古代的数学专注《九章算术》里记载了当时世界上最先进的比例的算法。在外国，早在公元前5世纪就有了有关比和比例的思想。而且，公元前3世纪，欧几里得在他的著作《几何原本》中，又作了系统的阐述。这就说明比和比例的概念在很早以前就产生了。比与分数和除法之间也有着密切联系。由此可以推测：人类首先认识了自然数，而后又产生了分数和四则运算，在这个基础上，经过人们的不断探索和研究，逐渐产生了比和比例的概念。可见，比和比例也是世界历代数学家集体智慧的结晶。
第2课时　比例的基本性质
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一、教学内容
比例的基本性质。(教材第41页例1)
二、教学目标
1．知道比例各部分的名称，理解比例的基本性质。
2．会根据比例的性质判断两个比能否组成比例。
3．经历探究比例基本性质的过程，培养观察、分析、推理和概括的能力，发展数学思维。
三、重点难点
重点：根据比例的基本性质判断两个比能否组成比例。
难点：理解比例的基本性质。
教学过程
一、复习引入
师：什么叫做比例？
明确：表示两个比相等的式子就叫做比例。
师：应用比例的意义，判断下列哪两个比可以组成比例。
6∶3和8∶5　　0.2∶2.5和4∶50
明确：6∶3和8∶5不能组成比例；0.2∶2.5和4∶50能组成比例。
师：同学们，在学习比时我们也学习了比的基本性质，比的基本性质是什么？
引导学生回忆比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
师：比例是否也有类似的性质呢？这就是这节课我们要学习的内容。(板书课题：比例的基本性质)
二、学习新课
1．认识比例各部分的名称。
组织学生阅读教材第41页第一段
(1)认识比例的项。
师：什么叫做比例的项？
组成比例的四个数，叫做比例的项。例如：在2.4∶1.6＝60∶40中，2.4、1.6、60和40都叫做这个比例的项。
(2)认识比例的外项和内项。
教师板书：2.4∶1.6＝60∶40
师：什么叫做比例的外项和内项呢？
明确：在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
师：如果把上面的比例写成分数形式：＝，这个比例的外项和内项分别是什么？
学生思考，讨论交流并汇报。
教师强调：外项仍然是2.4和40，内项仍然是1.6和60。
2．探究比例的基本性质。
(课件出示教材第41页例1)
计算下面比例中两个外项的积和两个内项的积。比较一下，你能发现什么？
(1)2.4∶1.6＝60∶40　(2)＝
学生独立完成，小组内交流，教师点名学生汇报。
明确：(1)在2.4∶1.6＝60∶40中，两个外项的积是2.4×40＝96，两个内项的积是1.6×60＝96，两个内项的积等于两个外项的积。
(2)在＝中，两个外项的积是3×15＝45，两个内项的积是5×9＝45，两个内项的积等于两个外项的积。
验证其他的比例有没有这个规律，举例说明，检验发现。如：∶0.5＝1.2∶，两个外项的积是×＝0.6，两个内项的积是0.5×1.2＝0.6，外项的积等于内项的积。
教师总结：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。(板书)
师：分数形式的比例中，比例的基本性质有什么特点？
学生观察、汇报：等号两端的分子、分母交叉相乘的积相等。(课件出示)
师：你能用字母表示比例的基本性质吗？
学生思考，相互交流。
教师指出：比例的基本性质用字母表示：a∶b＝c∶d，ad＝bc。(板书)
3．比例的基本性质的应用。
师：根据比例的基本性质可以帮助我们快速地判断出两个比是否可以组成比例。请大家判断下面哪组中的两个比可以组成比例。
10∶5和7∶4　　∶和11∶22
思路：要用比例的基本性质判断每组中的两个比是否能组成比例，则需要用假设法求解。即先假设每组中的两个比成比例，再看它们的内项和外项的积是否相等。若相等，则组成比例；若不相等，则不能组成比例。
明确：①假设10∶5和7∶4可以组成比例，则10∶5＝7∶4，两个外项的积是10×4＝40，两个内项的积是5×7＝35,40≠35，所以假设不成立，即10∶5和7∶4不能组成比例。
②假设∶和11∶22可以组成比例，则∶＝11∶22，两个外项的积是×22＝，两个内项的积是×11＝，＝，假设成立，即∶和11∶22可以组成比例。
师：请同学们想一想，我们已经学习了几种判断两个比能否组成比例的方法？
学生思考、交流、汇报。
教师小结：一种是根据比例的意义，看两个比的比值是否相等；另一种是根据比例的基本性质，看两个外项的积和两个内项的积是否相等。
三、巩固反馈
1．完成教材第41页“做一做”。(点名学生回答)
(1)不可以组成比例。
(2)可以组成比例。
(3)可以组成比例。
(4)不可以组成比例。
2．完成教材第43页“练习八”第5题。
(1)不可以组成比例。
(2)可以组成比例。
(3)可以组成比例。
(4)不可以组成比例。
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
比例的基本性质
　
a∶b＝c∶d?ad＝bc
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
教学反思
1．“探究”是本课最重要的一个环节，在这个环节中主要引导学生怎样努力去发现比例的“秘密”，归纳出规律性的结论。整个环节力求体现学生自主探索、独立思考、合作交流的学习过程，从中提高学生的数学学习的能力。
2．教学设计中还特别注意发展学生的个性，如要求学生用自己的语言归纳比例的基本性质等。在“应用”这个环节中，强调及时应用及时反馈，重视在练习中发挥教师的指导作用，使练习的针对性更强，巩固练习在层次上由易到难，在形式上由封闭走向开放，让学生的聪明才智得到充分的发挥，真正主动学习，成为学习的主人。
3．在今后的教学时还要注意以下两点：(1)注重从学生已有的知识出发，主动建构知识。(2)给予学生自主探究的时间、自由驰骋的思考空间，允许他们有不同的想法、不同的方法，在开放式、个性化的学习中生成灵感，碰撞智慧。
4．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】把4、6、10、15组成不同的比例。
分析：根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，先把这四个数写成一个乘法等式，即4×15＝6×10，然后调整内项和外项，组成不同的比例。
根据等式4×15＝6×10，若将4和15作为内项，6和10就是外项，这样可以写出4个比例；若将6和10作为内项，4和15就是外项，这样可以写出4个比例，一共可以写出8个比例。
解答：4和15作内项：
6∶4＝15∶10　10∶4＝15∶6
6∶15＝4∶10　10∶15＝4∶6
6和10作内项∶
4∶6＝10∶15　15∶6＝10∶4
4∶10＝6∶15　15∶10＝6∶4
解法归纳：根据比例的基本性质，把两个乘积相等的式子改写成比例，最多能写出8个比例。
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2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割(黄金比例)。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割中两个比的比值最简单的方法，是计算斐波契数列1、1、2、3、5、8、13、21、…后二数之比2÷3,3÷5,5÷8,8÷13,13÷21，…的近似值，即0.618。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
第3课时　解比例
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一、教学内容
解比例。(教材第42页例2、例3)
二、教学目标
1．理解解比例的意义。
2．会根据比例的基本性质或比例的意义正确地解比例，掌握解比例的方法。
3．经历解比例的过程，感受数学知识的内在联系，体验应用知识解决问题的乐趣，培养灵活的思维能力，激发学习数学知识的热情。
三、重点难点
重点：理解解比例的意义，掌握解比例的方法。
难点：能根据比例的基本性质正确解比例，运用解比例解决实际问题。
教学过程
一、复习引入
1．回答下列问题。
(1)什么是比例？比例有几项？分别是什么？
(2)比例的基本性质是什么？
学生思考，小组交流，集体汇报。
2．引入新课。
师：如果我们已经知道比例中的三项，可以把另一项求出来吗？今天我们一起来探讨这个问题。(板书课题：解比例)
二、学习新课
1．解比例的意义。
组织学生阅读教材第42页第一段。
师：什么叫做解比例？
学生小组内交流，分组汇报。
教师总结：求比例中的未知项，叫做解比例。(板书)
2．教学教材第42页例2。
(课件出示教材第42页例2)
组织学生认真读题，理解题意。
师：你从题中知道了什么？怎样理解“它的高度与原塔高度的比是1∶10”？
学生思考，小组内交流，然后汇报。
明确：埃菲尔铁塔的高是320 m；埃菲尔铁塔模型与埃菲尔铁塔的高度比是1∶10，埃菲尔铁塔模型的高度∶埃菲尔铁塔的高度＝1∶10。
师：这道题怎么列比例式解答呢？
学生思考。
教师板书：
解：设埃菲尔铁塔模型的高度是x m。
x∶320＝1∶10
点名学生指出这个比例的外项、内项，并说明知道哪三项，求哪一项。
师：怎样把比例式转化为方程式？
明确：根据比例的基本性质转化。
板书：10x＝320×1。
师：这样解比例就变成解方程了。怎样解这个方程？
明确：根据乘法各部分间的关系，把x看作一个因数，根据一个因数＝积÷另一个因数，可以求出x。
板书：x＝320×1÷10＝32。
小结：解比例可以根据比例的基本性质把比例转化为方程，然后用解方程的方法来求未知项x。
3．教学教材第42页例3。
(课件出示教材第42页例3)
学生独立练习，求出未知项。同学之间互相交流，发现问题，及时解决，并汇报，教师归纳并板书。
解：2.4x＝1.5×6
x＝
x＝3.75
注意：解方程要写“解”，那么解比例也要写“解”。
三、巩固反馈
1．完成教材第42页“做一做”。(学生独立完成，集体订正)
第1题：(1)x＝7.5
(2)x＝
(3)x＝0.6
第2题：解：设应加入水x mL。
100∶x＝1∶150
x＝15000
2．完成教材第44页“练习八”第9、10题。
第9题：解：设化成水后的体积是x dm3。
x∶50＝9∶10
x＝45
第10题：(1)5∶8＝40∶x
解：5x ＝320
x ＝64
(2)x∶＝∶
解：x ＝
x ＝
(3)2.5x＝2×5
解：2.5x ＝10
x ＝4
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
解比例
求比例中的未知项，叫做解比例。
例2　解：设这座模型的高度是x m。
x∶320＝1∶10
10x ＝320×1
x ＝
x ＝32
例3　解比例：＝。
解：2.4x＝1.5×6
x ＝
x ＝3.75
教学反思
1.要求比例里的未知项，不但可以根据比例的意义、除法中各部分之间的关系来求，还可以根据分数的基本性质、比的基本性质来求出比例中的未知项，也能根据刚学的比例的基本性质来求。教学时应根据比例式的特点，让学生选择不同的方法(即根据不同的依据)求解比例，这样可以让学生在复习相关知识的同时联系新学的知识，重新建构新的知识体系，并对比能使用的方法，找出更方便的解题方法。
2．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】已知比例9∶3＝15∶5。
(1)若9增加6，要使比例仍然成立且比例的两个内项不变，则5应该怎样变化？
(2)若9变为原来的，要使比例仍然成立且3和5保持不变，则15应该怎样变化？
分析：(1)9增加6，变为15，是9的倍。因为比例的两个内项不变，则内项的乘积不变，所以外项的乘积也不变。根据积的变化规律可知，5应变为原来的，即3。
(2)9变为原来的，因为5不变，则比例的外项乘积也变为原来的。根据比例的基本性质，两个内项的乘积也变为原来的，又因为3不变，根据积的变化规律，15应变为原来的，即10。
解答：(1)＝　5×＝3
答：5应该变为原来的，即3。
(2)15×＝10
答：15应该变为原来的，即10。
解法归纳：要使比例成立，需要保证两外项的乘积等于两内项的乘积，根据积的变化规律进行解答。
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从头顶至脚跟，均分为8部分，现实中为7.5。
头宽为四分之三个头高，肩宽约为两个头高，腰宽一个头高，腰高为八分之三的位置，胯部在身体的中央。
这是理想中的女性人体比例，在古典美感中，八头身的比例是被认为最美的。现代人的比例大约是7.5头身，而服装画中较喜爱九头身。
第4课时　练习课
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一、教学内容
比例的概念及基本性质、解比例的练习。(教材第43～44页练习八第2、6、7、8、11题)
二、教学目标
1．进一步理解比例的意义和基本性质。
2．进一步掌握解比例的方法，并能解决相关的实际问题。
3．经历比例基本性质的应用过程，体会知识之间的内在联系和广泛应用。
三、重点难点
重点：应用比例的意义和基本性质解比例。
难点：运用解比例的方法解决实际问题。
教学过程
一、复习回顾
师：什么是比例？什么叫做解比例？解比例的依据是什么？
学生思考，小组内先说一说，再点名学生回答。
师：比例的基本性质是什么？
学生思考，点名学生回答。
二、指导练习
1．教学教材第43页练习八第2题。
师：根据什么判断最方便？(比例的基本性质)
分小组完成，小组内互相检查，集体订正。
2．教学教材第43页练习八第6题。
组织学生认真读题，理解题意。
师：他们都在描述心跳的什么？(速度)
师：对，他们都是用一定时间内的心跳次数来描述心跳的速度。小红的说法对吗？你是怎样想的？
学生思考，小组内讨论交流，得出结果并汇报。
教师总结：分别写出时间和心跳次数的比，并比较两个比的比值是否相等。
3．教学教材第43页练习八第7题。
师：各小组比一比，看谁写得又快又多？
分小组完成，小组内互相检查。
4．教学教材第44页练习八第8题。
在各小组内点名学生板演，教师巡视，发现学生存在的问题并指出。
教师点评板演并订正。
5．教学教材第44页练习八第11题。
(课件出示教材第44页练习八第11题)
师：1∶20是什么意思？
学生思考、交流。
教师指出：1∶20指汽车模型和汽车对应部位的尺寸的比都是1∶20。可以根据这个数量关系设未知数列比例式求解。
学生独立完成，教师巡视，发现问题并指正。
教师板书解答过程并订正。
(1)解：设轿车的实际长度是x cm。
24.3∶x＝1∶20
x ＝24.3×20
x ＝486
(2)解：设模型车的长度是y m。
y∶11.76＝1∶20
20y ＝11.76
y ＝0.588
三、巩固练习
完成教材第44页“练习八”第12～15题。(学生独立完成，教师巡视，集体订正)
第12题：
解：设这个将军俑的实际高度是x cm。
19.6∶x＝1∶10
x＝ 196
196 cm＝1.96 m
第13题：
解：设模型的高度是x cm。
35 m＝3500 cm
3500∶x＝ 500∶1
x＝ 7
第14题：(1)3∶8＝15∶40
3∶15＝8∶40
40∶8＝15∶3
40∶15＝8∶3
8∶40＝3∶15
8∶3＝40∶15
15∶40＝3∶8
15∶3＝40∶8
(2)2.5∶0.5＝2∶0.4
2.5∶2＝0.5∶0.4
0.4∶2＝0.5∶2.5
0.4∶0.5＝2∶2.5
0.5∶2.5＝0.4∶2
0.5∶0.4＝2.5∶2
2∶0.4＝2.5∶0.5
2∶2.5＝0.4∶0.5
第15题：(1)足球与篮球的单价之比是∶＝4∶3。
(2)解：设篮球的单价是x元。
4∶3＝40∶x
x＝ 30
(3)答案不唯一，如提问：篮球的单价是36元，足球的单价是多少？
解：设足球的单价是x元。
4∶3＝x∶36
x ＝48
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计
练习课
第11题：
(1)解：设轿车的实际长度是x cm。
　24.3∶x＝1∶20
x ＝24.3×20
x ＝486
答：轿车的实际长度是486 cm。　　　　
(2)解：设模型车的长度是y m。
　y∶11.76＝1∶20
20y ＝11.76
y ＝0.588
答：模型车的长度是0.588 m。
教学反思
1．本堂练习课的主要目的是通过解决实际问题进一步巩固学生对知识和方法的掌握情况。学生在两方面存在短板，一是对比例的意义、基本性质及解比例的方法掌握得不够熟练，二是解决实际问题时不能快速、准确地分析题意、获取信息并找到解决问题的方法。
2．因此在实际教学过程中，我先通过复习引入，帮助学生回忆相关知识和方法，为后面的练习做铺垫。在实际解决问题的过程中，通过让学生自由讨论、相互交流，以及教师及时提问引导，提高学生分析问题的能力。在解题过程中，让学生独立完成，熟练掌握相关计算。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】一个玻璃瓶内装有盐水，原来盐是水的，加入15克盐后，盐占盐水的。玻璃瓶内原有盐水多少克？
分析：设玻璃瓶内原有盐x克，根据题意可列出下表：
盐的质量/克 水的质量/克 盐水的质量/克
原有 x 5x 6x
加入15克盐后 x＋15 5x 6x＋15
根据“加入15克盐后，盐占盐水的”，得此时盐与盐水的质量比是1∶3，结合上表可得到比例：(x＋15)∶(6x＋15)＝1∶3。根据比例的基本性质求出x的值，即可得到玻璃瓶内原有盐的质量，再用玻璃瓶内原有盐的质量乘6，即可得到玻璃瓶内原有盐水的质量。
解答：解：设玻璃瓶内原有盐x克。
(x＋15)∶(6x＋15)＝1∶3
6x＋15＝ 3×(x＋15)
x＝ 10
10×6＝60(克)
答：玻璃瓶内原有盐水60克。
解法归纳：解此类题时，可先列表分析题意，考虑数量之间对应的比例关系，从而使解题思路更清晰。
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人口出生性别比是一个重要的衡量男女两性人口是否均衡的标志。国际上一般以每出生100个女性人口相对应出生的男性人口的数值来表示。绝大多数国家的人口生育史说明，在不进行人为性别选择干涉的情况下，新生婴儿的性别比在102～107之间。这是由人类生殖过程的生物学特性决定的。对这个数值的任何人为控制和改变，都会对人口的两性结构造成严重危害。