五年级数学下册教案-第4单元 4约　分-人教版（4课时）

4　约　分
第1课时　最大公因数
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一、教学内容
认识公因数及找最大公因数的方法。(教材第60页例1、例2)
二、教学目标
1．使学生结合问题，理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。
2．使学生学会用公因数、最大公因数的知识解决简单的实际问题，体验数学与生活的密切联系。
3．在学生探索新知的过程中，培养学生学好数学的信心及小组成员之间互相合作的意识。
三、重点难点
重点：理解公因数与最大公因数的概念。
难点：掌握求两个数的最大公因数的方法。
四、教学准备
教师准备：课件PPT、长方形纸。
学生准备：长方形纸。
教学过程
一、复习引入
1．什么是因数？
2．写出下列各数的所有因数。
18　　24　　35　　55　　19　　36
二、学习新课
1.认识公因数与最大公因数。
(课件出示教材第60页例1)
师：同学们找找8和12的因数有哪些？(组织学生交流，指名学生回答)
指出：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12。从而得出8和12公有的因数是1,2,4。
师：同学们知道还可以用什么方法表示吗？
学生讨论，教师用课件演示集合图。
师生共同总结：用画图的形式表示几个数的公因数比较直观。像1,2,4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。
2.探究找最大公因数的方法。
(课件出示教材第60页例2)
师：怎样求18和27的最大公因数？
学生独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数。
小组讨论，互相启发，再在全班交流指出找最大公因数的方法。
(方法一)根据两个数的公因数和最大公因数的意义，先分别找出18和27的因数，再圈出它们的公因数和最大公因数。
它们的公因数1,3,9中，9最大。
(方法二)看18的因数中，哪些是27的因数：
(方法三)看27的因数中，哪些是18的因数：
师：请大家观察18和27的最大公因数与它们的公因数有什么关系？
师生共同总结：①两个数的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最大公因数是较小数；公因数只有1的两个数叫互质数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1。
②几个数的最大公因数是它们公因数的倍数，它们的公因数是最大公因数的因数。
3.探究求两个数的最大公因数的其他方法。
引导学生看教材第61页的“你知道吗？”，指导学生自学用分解质因数和短除法来求两个数的最大公因数。
师：如何求24和36的最大公因数？
(1)分解质因数法：
先把24和36分解质因数：
24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
然后求出24和36公有的质因数的积，2×2×3＝12,12就是24和36的最大公因数。
(2)短除法：
24和36的最大公因数为2×2×3＝12。
教师指出：两个数所有公有质因数的积，就是这两个数的最大公因数。
三、巩固反馈
完成教材第61页“做一做”第1～3题。(指名学生回答，集体订正)
第1题：16的因数：1,2,4,8,16；24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24；16和24的公因数：1,2,4,8，其中最大公因数是8。
第2题：左边：4号、12号
右边：9号、18号
中间：1号、2号、3号、6号
第3题：4　12　1　1　1　发现：成倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，互质的两个数的最大公因数是1。
四、课堂小结
怎么找两个数的最大公因数？
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最大公因数
例1：8的因数有1,2,4,8；12的因数有1,2,3,4,6,12。
8和12公有的因数是1,2,4，其中4是最大公因数。
公因数：几个数的公有的因数。
最大公因数：公因数中最大的一个。
例2：18和27的最大公因数是9。
求最大公因数的方法：列举法、分解质因数法和短除法。
教学反思
1．《课程标准》指出：“学生是学习的主人，教师是教学学习的组织者、引导者与合作者。”本课是在学生掌握了因数、倍数、找因数的基础上进行教学，通过找公因数的过程，让学生懂得找公因数的基本方法。引出公因数和最大公因数的概念，并探索出求最大公因数的方法。在教学的每一个环节，注重让学生快乐学习，享受学习的过程。
2．在求18和27最大公因数的过程中，有的学生用列举法，有的用筛选法……孩子们在分享不同方法的过程中，体会到了解决问题策略的多样性。要鼓励学生选择自己喜欢的方法，关键是能理解、懂应用。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】已知a＝2×3×5×7，b＝2×2×3×5×5，你能求出a与b的公因数和最大公因数吗？
分析：两个数的公有因数叫做这两个数的公因数。两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此求解。
解答：a＝2×3×5×7
b＝2×2×3×5×5
公因数有1,2,3,5,6,10,15,30。
最大公因数是30。
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互质数
公因数只有1的两个数，叫互质数。
互质的几种特殊情况：
①任何两个质数是互质数。
②1和任何自然数(0除外)互质。
③相邻的两个自然数(0除外)互质。
④一个质数和一个合数，它们不是倍数关系时就是互质数。
互质的注意点：
①这里所说的“两个数”是指除0以外的所有自然数。
②“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数”。
③三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的，例如：2、3、5两两互质。另一种不是两两互质的，例如：4、8、9不是两两互质。
④互质的两个数相乘，所得的积不一定是合数。例如：1和任何不是0的自然数互质，但1乘任何不是0的自然数，所得的积不一定是合数。
第2课时　最大公因数的应用
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一、教学内容
最大公因数的应用。(教材第62页例3)
二、教学目标
1．结合实际问题，使学生进一步理解公因数和最大公因数的意义。
2．经历用公因数、最大公因数的知识解决简单的实际问题的过程，体验数学与生活的密切联系，体验知识迁移、推理判断的学习方法。
3．在学生探索新知的过程中，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。
三、重点难点
重点：找公因数和最大公因数的方法。
难点：运用公因数与最大公因数解决实际问题。
四、教学准备
教师准备：课件PPT、长方形纸、正方形纸。
学生准备：长方形纸、正方形纸。
教学过程
一、情境引入
剪纸是我国传统的民间艺术之一，具有很强的普及性、装饰性和趣味性。剪纸可用于点缀墙壁、门窗、房柱、镜子、灯和灯笼等，剪纸本身也可作为礼物赠送他人。
有一张长方形纸片，它的长是12厘米、宽是8厘米。要把这张长方形的纸剪成边长是整厘米的正方形。剪完后没有剩余。正方形的边长可以是几厘米呢？
二、学习新课
解决铺地砖问题。
(课件出示教材第62页例3)
师：从题中，同学们知道了什么？
(引导学生审题，理解题意)
明确：在贮藏室的长方形地面上铺正方形地砖。地面长16 dm，宽12 dm。
师：王叔叔对于地砖有什么要求？
引导学生提到一些重点要求，例如：整块，整分米，教师标出这些重点要求。
师：整分米是什么意思？整块呢？
每位同学都拿出一张纸，在上面画一个长方形代表长16分米、宽12分米的贮藏室地面，为每组同学准备几种正方形纸片，代表了几种边长为整分米的正方形地砖，动笔在纸上画一画，或者动手铺一铺，小组内展示交流，选出符合条件的方砖。
指名学生汇报，得出方案。
明确：边长1分米、2分米、4分米的地砖确实符合要求。
师：为什么不选择边长3分米和5分米的地砖呢？
引导学生回答：要满足用整块地砖铺满地面的要求，地砖的边长必须是12和16公有的因数。3只是12的因数而不是16的因数；5既不是12的因数，也不是16的因数。
12和16的公因数有1,2,4，其中最大公因数是4。
所以可以选边长是1分米、2分米和4分米的地砖，最大的是4分米。
三、巩固反馈
完成教材第63页练习十五第5、6题。(指名学生回答，集体订正)
第5题：因为70与50的最大公因数是10，所以剪出的小正方形的边长最大是10 cm。
第6题：48和36的最大公因数是12。所以每排最多有12人。
男生：48÷12＝4(排)
女生：36÷12＝3(排)
四、课堂小结
谈谈在解决有关最大公因数的实际问题中有哪些需要注意或不太懂的地方。
板书设计
最大公因数的应用
教学反思
1．本节课是一堂数学实践活动课。在调查并了解了学生的经验之后，发现学生对于装修、铺地砖这样的事情是有感性认识的。为此，在教学时，挖掘生活中的数学素材，使学生发现数学就在身边，感受数学的作用，从而激发学生学习数学的兴趣。在新课开始之前，先让学生说一说自己家的装修情况，以此激发学生的学习兴趣，引发学生的研究兴趣，从而让学生根据生活经验提出自己需要解决的问题。
2．数学源于生活，生活中处处充满数学。数学是对客观世界的数量关系和空间关系的一种抽象。因此，在教学中，一方面要尽可能地让抽象的数学概念在生活中找到原形，另一方面要创造条件，使学生能够用学到的知识去理解日常生活中有关的数学现象，并能解决一些数学问题。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？(画出示意图)
分析：把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，需要找出30和24的最大公因数，这个数就是尽可能大的正方形的边长。
解答：30和24的最大公因数是6，所以尽可能大的正方形的边长是6厘米。
30÷6＝5
24÷6＝4
5×4＝20(个)
答：至少可以裁20个。
解法归纳：此题考查了图形的裁剪。正方形的最大边长是长方形长和宽的最大公因数。
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装修的学问
老虎家的那个破地方太烂了，特别是那泥地，特别爱长草，怎么办呢？于是老虎想把他的房子装修一下，并想请哼哼做参谋。与哼哼商量后，他们决定在这个周末把这事儿给办了。
到了星期六，老虎和哼哼找来了森林里所有的大力士，有狮子、大象、河马、熊等等，他们都是搬运工。还请来了一些心灵手巧的小动物，如兔子、松鼠等，他们都是铺瓷砖的。开工了！一大堆难题拦住了他们：铺什么样的瓷砖？需要多少块呢？这两个问题都留给了参谋长哼哼。哼哼拿出卷尺，量了一下泥地，长正好是20分米，宽正好是16分米，他想：就用块数少的正方形瓷砖吧，要边长最长，面积最大，还要正好铺完。他把这个想法告诉了老虎，老虎十分赞同。可是，还有一个问题：瓷砖到底要多大呢？要多少块？哼哼在一旁算了起来……过了一会儿，哼哼大叫：“我知道啦！需要20块面积16平方分米的正方形瓷砖。”
“你怎么知道的呀？”老虎不知什么时候变成了一头好问的老虎。
“先找20的因数有：1,20,2,10,4,5；16的因数有：1,16,2,8,4；它们的公因数有1,2,4，最大公因数是4，那用的正方形瓷砖的边长就是4分米，4×4＝16(平方分米)，用的正方形瓷砖的面积就是16平方分米。再用长20分米除以4分米等于5列，宽16分米除以4分米等于4排，4排乘5列等于20块。所以需要20块面积16平方分米的正方形瓷砖。你懂了吗？”哼哼认真地说。
“懂了，懂了。哼哼，你真是让我佩服得五体投地啊！”老虎感慨道。
“哈哈哈……”在欢笑声中，大家工作着。到了晚上就完工了。老虎请大家吃了一顿美味的晚餐。
第3课时　约　分
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一、教学内容
认识最简分数及约分的方法。(教材第65页例4)
二、教学目标
1．使学生理解最简分数和约分的意义；掌握约分的方法，能正确进行约分。
2．使学生经历约分的探索过程，进一步发展数感，培养观察、比较、抽象、概括的能力。
3．使学生在自主探索、合作交流中，体验成功的愉悦，进一步树立学好数学的信心。
三、重点难点
重点：归纳、概括出最简分数的概念及约分的方法。
难点：利用分数的意义、约分等知识解决生活中简单的问题。
教学过程
一、情境引入
今天八戒途经蛋糕店，这里的蛋糕真是香飘千里。八戒毫不犹豫地买下一个大蛋糕。可是，美味不可独享，怎么也得给师傅留一块。
想啊，想啊，八戒想出了这样的四种分法：①平均分成两块，给师傅留下；②平均分成四块，给师傅留下；③平均分成六块，给师傅留下；④平均分成八块，给师傅留下。
师：请同学帮帮八戒，哪种分法给师傅留的最多？(板书：约分)
引导学生发现：四种分法给师傅留的都一样多。
师：为什么给师傅留的都是一样多？你能用学过的知识解释一下吗？(小组讨论，指名汇报)
汇报：用四个分数表示这四种分法为、、、。利用分数的基本性质，知道这四个分数是相等的，所以四种分法留给师傅的都一样多。
二、学习新课
1.探索约分的过程。
(课件出示教材第65页例4)
组织学生把化成分子和分母比较小且分数大小不变的分数。
学生先进行尝试，引导学生想出多种方法进行约分。
明确：要把化成分子和分母比较小且分数大小不变的分数，可以用分子和分母的公因数(1除外)去除。
(方法一)一般地，先从最小的公因数2开始除起得，再除以15和12的公因数3，直到除到分子和分母只有公因数1为止。
(方法二)为了简便，可以直接用30和24的最大公因数6去除，使分子和分母除了1以外没有其他的公因数。
2.认识约分及最简分数。
师：说一说什么是约分？
学生独立思考并回答，教师总结归纳：和相比，分子和分母都变小了，但是分数的大小没有变化。像这样，把一个分数化成和它相等，但是分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
师：约分中要注意什么？(小组讨论，指名汇报)
引导学生回答：(1)约分是一个过程，是把一个分数化成和它相等，但是分子和分母都比较小的分数的过程。
(2)约分的根据是分数的基本性质，所以约分前、后分数的大小是相等的。
师：说一说什么是最简分数？
学生独立思考并回答，教师总结归纳：的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。约分时，通常要约成最简分数。
师：怎样约分比较简便？(小组讨论)
师生共同总结：如果能快速看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。
三、巩固反馈
完成教材第65页“做一做”第1、2题。(指名学生回答，集体订正)
第1题：、、、、是最简分数。＝，＝，＝，＝。
第2题：
四、课堂小结
说一说在约分的过程中有哪些需要注意的地方。
板书设计
约　分
例4：＝＝　　　＝＝
＝＝
教学反思
1．本节课充分运用了知识的迁移，调动了学生的知识积累，使学生学得轻松、愉快，同时感悟了知识的形成过程。这节课以八戒的故事引入，激发了学生学习的兴趣和学生的求知欲。为本节课的成功教学作了很好的铺垫。
2．引导学生主动探索，让全体学生通过观察、探究、展示、交流、小结等活动，一步一步地从化简分数的具体过程中抽象出约分的概念。学生也在约分的探究学习中，相互交流了自己的想法和做法。通过合作交流促进了学生对约分方法的理解和掌握。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，用5约了一次，得。原来的分数是多少？
分析：根据题意可知：把这个分数用2约了两次，用3约了一次，用5约了一次，相当于分子、分母都除以2，再除以2，再除以3，除以5，根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘2，再乘2，乘3，乘5还原回去即可。
解答：＝＝
答：原来的分数是。
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数学家的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密立了一份遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女儿，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”
而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎，而问题就发生在他的遗嘱内容。
如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？
第4课时　约分(练习课)
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一、教学内容
约分及其应用。(教材第66页练习十六第1、3、7题)
二、教学目标
1．通过教学，巩固学生对最简分数和约分的概念的理解，能熟练应用约分的方法进行约分，培养学生灵活应用约分和最大公因数的知识解决问题的能力。
2．经历练习的过程，体验练习提高、熟练运用的学习方法，感受运用数学知识解决问题的乐趣，进一步激发学习的兴趣。
三、重点难点
重点：正确、熟练地进行约分。
难点：运用约分和最大公因数解决实际问题。
教学过程
一、基础练习
1．把下面的分数化成分母是12而大小不变的数。
　　　　　　　　　　　
2．求下面各组数的最大公因数。
(1)40和85　　　　(2)24和32
(3)70和90
二、指导练习
1.教学教材第66页练习十六第1题。
(课件出示教材第66页练习十六第1题)
组织学生观察图片。
师：第一个圆平均分成了几份？蓝色部分占多少？用分数怎样表示？第二个圆呢？(小组讨论，指名学生回答)
引导学生回答：第一个圆平均分成了16份，蓝色部分有12份，用分数表示；第二个圆平均分成了8份，蓝色部分有6份，用分数表示。
师：怎样确定蓝色部分和红色部分哪个多一些？为什么？
使学生明确：要比较蓝色部分和红色部分哪个多，就是比较和的大小。应先将分数进行约分，再进行比较。
2.教学教材第66页练习十六第3题。
(课件出示教材第66页练习十六第3题)
师：什么是最简分数？(引导学生思考，指名学生回答)
使学生明确：分子与分母只有公因数1，这样的分数叫最简分数。
师：怎样把一个分数化成最简分数呢？(引发学生思考，小组讨论)
学生自主进行将和化成最简分数，教师巡视，指名学生板书。
3．教学教材第66页练习十六第7题。
(课件出示教材第66页练习十六第7题直线图)
师：观察直线，同学们发现了什么？(学生小组讨论，指名汇报)
使学生明确：直线上0～1之间的部分被平均分成了4段，每一段占。
师：现在给出的分数，看着好像都不能在直线上表示，怎么办呢？
引导学生观察给出分数的特点，明确这些分数都不是最简分数，可以先进行约分，再在直线上表示。学生自主约分，并将分数表示在直线上，教师指名回答，集体订正。
三、巩固练习
完成教材第66页练习十六第4、5、6题。(指名学生回答，集体订正)
第4题：第1,3,4个分数没有化成最简分数。
＝＝　　　　＝＝
＝＝
第5题：兰兰喜欢的照片占总数的比为＝，兰兰不喜欢的照片有80－35＝45(张)，兰兰不喜欢的照片占总数的比为＝。
第6题：略。　提示：标有的篮子里放标有，，，的桃子；标有的篮子里放标有，，的桃子。
四、课堂小结
你有哪些收获？还有什么不明白的地方？
板书设计
约分(练习课)
第1题：＝　　　＝　　　＝
蓝色部分和红色部分同样多。
第3题：＝＝　　　　　　＝＝
第7题：＝　＝　　＝　　　＝　　　＝
教学反思
1．约分的知识实际上对学生来说并不是太难的内容，但在实际运用中却掌握得不够理想。这主要还是与学生综合运用知识的能力较弱有很大的关系。约分的知识涉及求两个数的公因数、最大公因数以及分数的基本性质等相关知识。学生要对每个部分的知识都掌握得很扎实后，将这些知识进行综合运用，才能很好地掌握约分的方法。
2．在课堂教学时，发现学生基本上是能够理解约分的含义并掌握约分的方法，主要的问题还是在于约不完全。找公因数的速度较慢，找不全，不能正确判断出两个数的最大公因数等，都是学生约分约不好的主要原因。只有通过反复的练习和纠正才能逐步提高学生约分的能力。
3．我的补充：
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备课资料参考
典型例题准备
【例题】一个分数约成最简分数是，原分数的分子与分母之和是90，原分数是多少？
分析：最简分数是分子、分母同时除以一个相同的数(0除外)得到的，可以将的分子、分母同时乘x，假设原分数是，再列方程求解。
解答：设原分数是。
2x＋3x＝90
x ＝18
2x＝2×18＝36
3x＝3×18＝54
答：原分数是。
解法归纳：利用分数的基本性质可以在保证分数的大小不变的情况下将其转化为其他形式。
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约分的历史说法
在我国古代的数学著作《九章算术》中，就介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则用较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。这种方法被后人称为“更相减损术”。