苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(word版 含解析)

6.2
黄金分割
同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
已知是线段的黄金分割点，且，，则长约为（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
中，，在边上截取，连接，若点恰好是线段的一个黄金分割点，则的度数是（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
如果点为线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
如图，中，，，是的平分线，则的面积与的面积的比值是（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
现已知线段，点是线段的黄金分割点，，那么线段的长约为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知点是线段的黄金分割点，，若，则
A.
B.
C.
D.
?
8.
已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式的值不等于的是（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，如图，五边形的条边相等，个内角相等，则图中共有黄金三角形的个数是（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
如图所示，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等于，这样的三角形叫做黄金三角形．已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形，以此类推，第个黄金三角形的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?
11.
是长为的线段的黄金分割点，则________．
?
12.
如图，中，是的黄金分割点，过点作交于，若，则________．
?
13.
美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．李老师身高厘米，下半身长与身高的比值是，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________（结果精确到）．
?
14.
美是一种感觉，一矩形的长为，宽为，当矩形的宽与长的比值是黄金比值时，这样的矩形给人一种美感．试问长不变，宽增加________时，给人的美感效果最佳．
?
15.
有些植物茎上，相邻两张叶子成的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳，这一度数与________角成黄金比例．
?
16.
要使点是线段的黄金分割点，那么线段、、应满足的数量关系是________．
?
17.
若点是的黄金分割点，则线段、、满足关系式________．
?
18.
如果点是线段的黄金分割点，且，那么的值为________．
?
19.
已知线段，点是靠近点的的黄金分割点．点是靠近点的黄金分割点，则________．
?
20.
报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长米，那么报幕员要至少走________米报幕．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，共计60分
，
）
?
21.
如图，在五角星图形中，，，两点都是的黄金分割点，，求的长．
?
22.
（1）已知线段的长为，是的黄金分割点，求的长；
（2）求作线段的黄金分割点，要求尺规作图，且使．
?
23.
在中，为边上一点，过点作交与点，连接.若.
点是线段的黄金分割点吗？请说明你的理由；
已知，计算黄金比.
?
24.
如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长．
?
25.
在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图，图，图中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
（2）如图中，平分交于，取的中点，连接?并延长交?的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：与之间的数量关系是________．
?
26.
如图，是的直径，点在上，，过点作直线分别交直线和于点、，连接，，．
（1）求的度数；
（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦的长；
③在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
B
【解答】
解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故选．
2.
【答案】
C
【解答】
解：∵
点是线段的一个黄金分割点，
∴
，
∵
，
∴
，
即，
而，
∴
，
∴
，
设，则，，
∴
，
而，
∴
，
∴
，解得，
即．
故选：．
3.
【答案】
D
【解答】
解：∵
，
∴
是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：，，，．
故选．
4.
【答案】
A
【解答】
解：设，．
∵
中，，，
∴
．
∵
是角平分线，
∴
．
∴
，
∴
．
∵
，，
∴
．
∴
，
即，
，
（负值舍去）．
则．
∵
与底边分别为，时，高度相等，
∴
的面积与的面积的比值是：．
故选：．
5.
【答案】
A
【解答】
把米长的线段进行黄金分割，分成的较长线段的长，
6.
【答案】
A
【解答】
解：∵
点是线段的黄金分割点，
∴
．
故选：．
7.
【答案】
C
【解答】
解：当时，
，
，
故选.
8.
【答案】
C
【解答】
解：∵
点是线段的黄金分割点，且，
∴
，
设，则，，
∴
；
；
；
．
故选．
9.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意，得
图中的黄金三角形有、、、、、、、、、、、、、、，，，，，，共个．
故选
10.
【答案】
C
【解答】
解：∵
，
∴
的周长为；
的周长为；
的周长为；
依此类推，第个黄金三角形的周长为；
故选：．
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
11.
【答案】
【解答】
解：∵
点是线段的黄金分割点，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：．
12.
【答案】
【解答】
解：∵
，
∴
，
∴
，
∵
是的黄金分割点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为．
13.
【答案】
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，
则根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：设宽增加，
根据题意得，
解得，
即长不变，宽增加时，给人的美感效果最佳．
故答案为．
15.
【答案】
或
【解答】
解：，
，，
所以与或的角成黄金比例．
故答案为或．
16.
【答案】
【解答】
解：∵
点是线段的黄金分割点，
∴
．
故答案为．
17.
【答案】
【解答】
解：∵
点是的黄金分割点，
∴
．
故答案为．
18.
【答案】
【解答】
∵
点是线段的黄金分割点，且，
∴
，
19.
【答案】
【解答】
解：由题意得，，，
∴
．
故答案为：．
20.
【答案】
【解答】
解：报幕员要走的路程为：（米）．
故答案为：．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
21.
【答案】
解：∵
、两点都是的黄金分割点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
而，
∴
，
∴
．
【解答】
解：∵
、两点都是的黄金分割点，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
而，
∴
，
∴
．
22.
【答案】
解：（1）由于为线段的黄金分割点，
则，
或；
（2）如图，点是线段的一个黄金分割点．
【解答】
解：（1）由于为线段的黄金分割点，
则，
或；
（2）如图，点是线段的一个黄金分割点．
23.
【答案】
解：点是线段的黄金分割点.
证明：∵
，
，
∴
，
∴
.
又，
∴
.
∴
，
即，
又，
∴
∴
为线段的黄金分割点；
由知，，
即，
∴
，
即，
，
，
.
所以黄金比为.
【解答】
解：点是线段的黄金分割点.
证明：∵
，
，
∴
，
∴
.
又，
∴
.
∴
，
即，
又，
∴
∴
为线段的黄金分割点；
由知，，
即，
∴
，
即，
，
，
.
所以黄金比为.
24.
【答案】
解：∵
为线段的黄金分割点，且，为较长线段，
∴
．
【解答】
解：∵
为线段的黄金分割点，且，为较长线段，
∴
．
25.
【答案】
解：（1）
（2）
【解答】
解：（1）
（2）
26.
【答案】
解：（1）∵
是的直径，，
∴
，
则，，
设，则，，
又，∴
，
∴
，．
∴
．
（2）①有三个：，，．
∵
，，
∴
是黄金三角形；
∵
，．
∴
是黄金三角形；
∵
，
∴
；
又，
∴
．
∴
，
∴
是黄金三角形；
②∵
是黄金三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，，
∴
；
③存在，有三个符合条件的点、、，
如图所示，
ⅰ以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线、得到点、；
ⅱ以为腰的黄金三角形：点与点重合．
【解答】
解：（1）∵
是的直径，，
∴
，
则，，
设，则，，
又，∴
，
∴
，．
∴
．
（2）①有三个：，，．
∵
，，
∴
是黄金三角形；
∵
，．
∴
是黄金三角形；
∵
，
∴
；
又，
∴
．
∴
，
∴
是黄金三角形；
②∵
是黄金三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，，
∴
；
③存在，有三个符合条件的点、、，
如图所示，
ⅰ以为底边的黄金三角形：作的垂直平分线分别交直线、得到点、；
ⅱ以为腰的黄金三角形：点与点重合