南海区2023届高一学业水平测试
数学试题202012
本试卷共4页,总分150分,考试时间120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必填写答题卡上的有关项目
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如
而改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的
答案无效
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回
第|卷(选择题,共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.如图,已知全集U={1,2,3,4,,集合A={,3,5},则图中
U
阴影部分表示的集合是()
A.{2,4}
B
{1,2,3,4,5}
D.必
命题“x∈R,2x2+1>0”的否定是
A.x∈R,2x2+1≤0
B.彐x∈R,2x2+1>0
C.彐x∈R,2x2+1≤0
彐x∈R,2x2+1<0
3.下面的图象中可作为函数y=f(x)的图象的是(
B
A
C
D.
n
设x∈R,则
<0”是“0A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
南海区2023届高一学业水平测试数学第页共④贡
1.已知a>0,b>0,a+b=1,则
A.ab≤±
C.
log2+1og22-2
D
b
a,a≤b
2.对任意两个实数a,b,定义minl,b}=
,若f(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关
h
a>b
于函数F(x)=mn(x),g(x)的说法正确的是()
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有两个实数根
C.函数F(x)在(-√2,0)上单调递增,在(0,√2)上单调递减:
D.函数F(x)有最大值为0,无最小值
第Ⅱ卷(非选择题90分)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.求值:log;16+162=
14.若关于x的不等式x2-2ax+a≤0的解集为,则实数a的取值范围是
15.用二分法计算∫(x)=x2+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值,参考数据如下:
f∫(1)=-2
f(15)=0.625
f(125)=-0.984
f(1375)=-0260f(1435)=0162f(1.4605=-0064
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)可取为
16.log中的xa要分别满足x>0.a>0且a≠1小明同学不知道为什么,请你帮他解释为
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)设函数∫(x)z√2x-3的定义域为集合M,不等式x2-4x+3>0的解集
为N.(1)求集合M,M:2)求集合M∩N,MUN:(3)写出集合(M∩N)与(MUN)
的关系
18.(本题满分12分)已知f(x)=√F
(1)求证f(x)在[0+)上是增函数;(2)①a,b∈R',猜想!+b2
a+b
2与
的大小关系
②证明①的猜想的结论;国求函数x2-x+(0南海区2023届高一学业水平测试数学第3页共4页南海区2023届高一学业水平测试
数学试题
2020年12月
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
1．答案：A
解析：阴影部分表示的集合是．
2．命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
2．答案：C
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，即“”的否定是“”
3．下面的图象中可作为函数的图象的是（
）
A
B
C
D
3．答案：D
解析：根据函数的定义，对于定义域中的任意，都有唯一确定的与之对应，故选D．
4．设，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．答案：B
解析：由，解得，由于，所以“”是“”的必要而不充分条件．
5．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．答案：A
解析：选项B，C是奇函数，选项D是偶函数，但在上单调递减，只有选项A符合题意．
6．函数与的图象（
）
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线对称
6．答案：C
解析：因为与关于原点对称，所以函数与的图象关于原点对称．
7．定义在上的奇函数满足且对任意的正数，有，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
7．答案：C
解析：因为任意的正数，有成立，所以函数在上单调递减，又，作出函数的图象如图所示，由可知当时，，当时，．由图可知不等式的解集是．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数则下列选项中，正确的是（
）
A．的最大值为1，没有最小值
B．的最小值为0，没有最大值
C．没有最大值，没有最小值
D．的最大值为1，最小值为0
8．答案：B
解析：函数的图象如图所示，有图可知，的最小值为0，没有最大值．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（
）
A．函数的图象过原点
B．函数是偶函数
C．函数是单调减函数
D．函数的值域为
9．答案：AD
解析：将点代入，得，解得，所以，该函数过原点，是奇函数，在上单调递增，值域为，故选AD．
10．如图，某池塘里的浮萍面积(单位：)与时间(单位：月)的关系式为（，且；且）．则下列说法正确的是（
）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍每月的增长率为1
D．若浮萍面积蔓延到所经过的时间分别为
，则．
10．答案：BCD
解析：将，分别代入，得，解得，，，
过点，浮萍每月增加的面积不相等，当时，，
每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1，
若浮萍面积蔓延到所经过的时间分别为，则，，，
因为，所以，，即．
11．已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．答案：ABD
解析：，当且仅当时取等号，故A正确；
因为，，，所以，所以，选项B正确；
，所以C错误；
正确，故选ABD
12．对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（
）
A．函数是偶函数
B．方程有两个实数根
C．函数在上单调递增，在上单调递减
D．函数有最大值为0，无最小值
12．答案：ABD
解析：作出函数的图象如图所示，由图可知，
函数是偶函数，方程有两个实数根，
函数在上单调递减，在上单调递增．
函数有最大值为0，无最小值．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．求值：
．
13．答案：6
解析：．
14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
．
14．答案：
解析：由题意可知，，解得．
15．用二分法计算的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为）可取为
．
15．答案：
解析：，且，故近似解，可取．
16．中的，要分别满足，且，小明同学不知道为什么，请你帮他解释
．
16．答案：由，①，得②，在①②两式中相同，在①中有且，又对任意的实数，，即．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
设函数的定义域为集合，不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）求集合，；
（3）写出集合与的关系．
17．解析：（1）函数的定义域为集合，由，…………………………1分
得，，…………………………………………………………………………2分
由得或，或，……………………………………………3分
（2），或，，…………………………6分
．…………………………………………………………………………8分
（3）．…………………………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）
已知．
（1）求证在上是增函数；
（2）①，猜想与的大小关系；
②证明你的猜想的结论；③求函数的最值．
18．（1）且，………………………………………………………………1分
，…………………………………………………………2分
，，．…………………………………………………………4分
，即，所以在是增函数……………………………5分
（2）①，而，知，
当时，，．……………………………………………7分
方法2：
如图，点，点是的中点，，，，交于点，知，．
由图知……………………………………………………………………………7分
②………………………………………………………8分
．……………………………………9分
，，．……………………………………10分
③．
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，无最大值．…………12分
③解法二：，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，无最大值．………………………………………………………………12分
19．（本题满分12分）若函数
（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数图象；
（2）写出函数的值域、单调区间；
（3）在①②，③这三个式子中任选出一个使其等于，求不等式的解集．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
19．解析：（1）函数图象如图所示：
……………………………………5分
（2）由图象可得函数的值域为，……………………………………6分
单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）
…………………………………………………………10分
解，得，由图知原不等式的解集为或．………………………12分
…………………………………………………………10分
由图知原不等式的解集为．……………………………………………………………………………12分
……………………………………………………………10分
由，得，由图知原不等式的解集为．……………………………12分
20．（本题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率．
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在年期间的具体人口增长模型．（精确到0.0001）
（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿?
（参考数据：，，，，）
20．解析：（1）由题意知，设年期间的我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，当时，，………………………………………………………………2分
有即，…………………………………………………………3分
两边取自然对数得，………………………4分
即．……………………………………………………………………………5分
因此，我国在年间的具体人口增长模型为．…………………6分
（2）将代入，得，…………………………………………7分
即，，
从而．…………………………………………………………………10分
从而，…………………………………………………………………11分
故大约在1990年我国人口总数达到13亿．……………………………………………………………12分
注：如果答1989年扣1分．
21．（本题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．
21．解析：（1）由题意得：函数是奇函数，定义域为．………………………1分
，，得．…………………………………………………………………3分
经检验，时，是奇函数．………………………………………………………………………4分
（2），任取，且，
则，
，又，，，
故在上单调递增．………………………………………………………………………6分
对任意的，不等式成立，即，又因为是奇函数，所以，……………………………………………………………………8分
所以，即恒成立，…………………………………………………10分
因为（当且仅当时等号成立），……………………………………11分
所以．………………………………………………………………………12分
22．（本题满分12分）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．
（1）求函数解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）当函数有且只有一个零点时，求的值．
22．解析：（1）当时，，………………………………………………………1分
当时，，……………………………………………………………2分
当时，，……………………………………………………………………………………3分
所以…………………………………………………………4分
（2）画图象（3分），如图
…………………………………………………………7分
（3）当时，直线逆时针旋转时与图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线无交点．
此时，所以，
所以，解得或．
当时，，解得在内．
当时，，不在]内，
当时，，由，解得，
因为，所以，即，
当时，直线过点，这两点都在的图象上，
当时，直线与射线有一个交点，
当或时，直线与的图象无交点，
所以．…………………………………………………………………………12分
另法：设
（i）若有唯一零点，则，
（ii）若有唯一零点，则(舍去），
（iii）若有唯一零点，则．
综上所述，当时，有两个零点．当时，函数有且只有一个零点．…………………………………………………………………………………………………………12分
