北师大版九年级数学下册 3.7 切线长定理（Word版 含答案）

北师大版九年级数学下3.7
切线长定理（含答案）
一、选择题
1．如图1，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB等于(　　)
图1
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图2，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　)
图2
A．4
B．8
C．4
D．8
3．如图3，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，则AF的长为()
图3
A．5
B．10
C．7.5
D．4
4．如图4，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是(
)
图4
A．∠1＝∠2
B．PA＝PB
C．AB⊥OP
D．PA2＝PC·PO
5．2019·深圳模拟如图5，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数是(　　)
图5
A．32°
B．48°
C．60°
D．66°
6．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是劣弧AB上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是(　　)
图6
A．56°
B．60°
C．62°
D．不可求
7．把直尺、三角尺和圆形螺母按图7所示放置在桌面上，∠CAB＝60°，D为切点，若量得AD＝6
cm，则圆形螺母的外直径是(　　)
图7
A．12
cm
B．24
cm
C．6
cm
D．12
cm
二、填空题
8．如图8，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．
图8
9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的长为8，BC的长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．
图9
10．如图10，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.
图10
11．如图11所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15
cm，则△PEF的周长是________cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.
图11
12．如图12所示，⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．
图12
三、解答题
13．一个夹角为120°的墙角处放置了一个圆柱形的容器，俯视图如图13，在俯视图中⊙O与两边的墙分别切于B，C两点(圆柱形容器的直径不易直接测量)．
(1)写出图中相等的线段；
(2)请你设计一种可以通过计算求出⊙O的直径的测量方法(写出主要解题过程)．
图13
14．如图14，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.
求：(1)BF＋CE的长；
(2)△ABC的周长．
图14
15．如图15，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
图15
附加题
如图16，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E，连接OE.
(1)求证：EB＝EC＝ED.
(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，找出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
图16
参考答案
1．[答案]
B
2．[答案]
B
3．[解析]
A　设AF＝x，
根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，
则有9－x＋6－x＝5，
解得x＝5，
即AF的长为5.
4．[解析]
D　如图，连接OA，OB.
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，
∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，
∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．
设OP交AB于点D，易证△PAD∽△POA，
∴PA∶PO＝PD∶PA，
∴PA2＝PD·PO.
故D错误．
5．[解析]
D　∵CA，CD是⊙O的切线，
∴CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA.
∵∠ACD＝48°，
∴∠CAD＝∠CDA＝66°.
∵CA⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DBA＋∠DAB＝90°，∠CAD＋∠DAB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAD＝66°.
6．[答案]
C
7．[解析]
D　设圆形螺母的圆心为O，与AB切于点E，连接OD，OE，OA，如图所示．
∵AD，AB为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC.
又∵∠CAB＝60°，
∴∠OAE＝∠OAD＝∠DAB＝60°.
在Rt△AOD中，∠OAD＝60°，AD＝6
cm，
∴tan∠OAD＝tan60°＝，即＝，
∴OD＝6
cm，
∴圆形螺母的外直径为12
cm.
8．[答案]
44
[解析]
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.
9．[答案]
6　
[解析]
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝17，∴△ABC的内切圆⊙O的直径为×2＝6.故答案为6.
10．[答案]
60
[解析]
连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝6－2＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°.
11．[答案]
30　65　
[解析]
∵PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，
∴PA＝PB＝15
cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝30
cm，即△PEF的周长是30
cm.连接OA，OB，OD，如图．∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠AOB＝65°，即∠EOF＝65°.
12．[答案]
2
[解析]
如图，设⊙O与AB，AC边的延长线及BC边分别相切于点F，D，E，连接OD，OE.∵⊙O与△ABC中AB，AC边的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.
又∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形．设OD＝r，则CD＝CE＝r.∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，则⊙O的半径是2.
13．解：(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)(答案不唯一)连接OB，OA.
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝60°.
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB.
在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠OAB＝AB，
∴⊙O的直径为2
AB.
故只需测得AB的长，就可求出⊙O的直径．
14．解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∴BF＝BD，CE＝CD，
∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.
(2)如图，连接OE，OF，OA.
∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，
∴∠OEA＝90°，∠OAE＝∠BAC＝30°，
∴OA＝2OE＝2
.
由勾股定理，得AE＝＝3，
∴AF＝AE＝3，
∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，
即△ABC的周长是20.
15．解：设AF＝x.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°，
∴DA⊥AB，CB⊥AB.
又∵OA，OB是⊙O的半径，
∴AD，BC是⊙O的切线．
又∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1，
∴FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF2＝CD2＋DF2，即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x＝，
∴DF＝1－x＝，
∴S△CDF＝CD·DF＝×1×＝.
附加题
[解析]
(1)连接BD，OD，已知ED，EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得ED＝EB，进而得OE垂直平分BD，而BD⊥AC(圆周角定理的推论)，则OE∥AC.由O是AB的中点，可得E是BC的中点，由此可证得结论．(2)由(1)知：BC＝2EB＝2ED，则所求的比例关系式可转化为()2＝DF·DC，即DE2＝DF·DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF＝∠C即可．①若∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°，则∠DEF的EF边与线段DC相交，那么交点即为所求的点F；②若∠DEC＝∠C，即180°－2∠C＝∠C，∠C＝60°，则点F与点C重合，点F仍在线段DC上，此种情况也成立；③若∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°，则∠DEF的EF边与线段DC的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F.
解：(1)证明：如图，连接OD，BD.
∵∠ABC＝90°，OB为⊙O的半径，
∴EB为⊙O的切线．
∵ED，EB是⊙O的切线，
∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO＝90°.
又∵OE＝OE，
∴Rt△EDO≌Rt△EBO，
∴∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，即OE∥AC，
∴＝.
∵OA＝OB，
∴EB＝EC，
∴EB＝EC＝ED.
(2)存在．在△DEC中，
∵ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①若∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°，在线段DC上存在满足条件的点F.
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
证明：∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DCE∽△DEF，
∴＝，
∴DE2＝DF·DC，
即(BC)2＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②若∠DEC＝∠C，则△DEC为等边三角形，
即∠DEC＝∠C＝60°，此时，点C即为满足条件的点F，
于是，DF＝DC＝DE，
仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③若∠DEC＜∠C，
即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°，
所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.